数学二模模拟卷01（浙江专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B B C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理：， 所以由正弦定理， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以，（3分） 由余弦定理， 因为，，所以，所以， 所以的面积.（6分） （2）因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得,（10分） 因为，所以，即， 所以的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）在中，由， 得，则， ，由四边形是矩形，得，（2分） 又平面，且， 所以平面.（4分） （2）（i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，而，则， 由，得，即有，（7分） 取中点，连接，则，又，则， 所以.（9分） （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量，则，取，得，（12分） 设平面的法向量为，则，取，得，（13分） 设平面与平面的夹角为，则，（14分） 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由表中数据得，， ， ，， 所以，， 所求回归直线方程为.（5分） （2）（i）零假设为:是否了解中国民间传统文化与性别相互独立， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 所以可以认为成立， 因此，不能认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联.（9分） （ii）由题意易知抽取的7份调查表中，有4份调查表来自男性调查表，有3份调查表来自女性调查表， 则的所有可能取值为0，1，2，3， ,，,，（13分） 的分布列为 0 1 2 3 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由于，是椭圆上两点， 故，解得， 故椭圆方程为（4分） （2）设直线， 联立则， 设,且， 则，（6分） 故 ，（9分） （3）直线直线， 联立两直线的方程可得，（10分） 则 ， 故，解得，（13分） 因此,故点在定直线（位于椭圆内部之间的部分）上运动， 而在直线上，由于直线和互相平行，则两直线间的距离为定值. 要在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值，则为直线与椭圆的交点（不同于）， 故（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为在点处的切线方程为，即. 所以切线的斜率为，且当时，. 因为，所以， 所以，所以.（4分） （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令，得或， 设，所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以存在唯一，使．（7分） 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值．（10分） （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即.（13分） 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．－15 C．20 D．－20 4．已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 5．设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，则数列的前10项和为（   ） A．9 B．10 C．100 D．99 7．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（）.若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．设随机变量服从，若，则 C．已知随机变量服从，若，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 10．如图，这是函数（，）的部分图象，则（    ） A． B．图象的一个对称中心为点 C．图象的一条对称轴为直线 D．在上单调递增 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，且，，则数列的通项公式是 . 13．已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 14．双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分） 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下: 宣传天数x 1 2 3 4 5 不了解的人数 120 100 90 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程. (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表: 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联? （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表， 再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望. 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 18．（17分） 已知点，是椭圆上两点，点A，B分别为E的左、右顶点，如图所示，过作直线l交椭圆E于M，N两点（M在N的左侧，且与A，B不重合），连接，交于点P.    (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求； (3)在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．－15 C．20 D．－20 4．已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 5．设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，则数列的前10项和为（   ） A．9 B．10 C．100 D．99 7．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（）.若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．设随机变量服从，若，则 C．已知随机变量服从，若，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 10．如图，这是函数（，）的部分图象，则（    ） A． B．图象的一个对称中心为点 C．图象的一条对称轴为直线 D．在上单调递增 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，且，，则数列的通项公式是 . 13．已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 14．双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分） 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下: 宣传天数x 1 2 3 4 5 不了解的人数 120 100 90 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程. (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表: 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联? （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表， 再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望. 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 18．（17分） 已知点，是椭圆上两点，点A，B分别为E的左、右顶点，如图所示，过作直线l交椭圆E于M，N两点（M在N的左侧，且与A，B不重合），连接，交于点P.    (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求； (3)在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除运算以及加减运算，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：D. 3．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．－15 C．20 D．－20 【答案】A 【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令的幂指数为零，再代入展开式通项即可求得常数项. 【详解】二项式定理展开式的通项为， 常数项需满足：，可得：，则常数项为：. 故选：A. 4．已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用齐次化思想求出，再利用两角和差的正切公式即可. 【详解】因，则， 得或， 因，则，则. 故选：B 5．设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的运算性质得到，再由投影向量计算公式即可求解. 【详解】依题意得， ， ， 因此在上的投影向量为. 故选：B 6．已知数列中，，则数列的前10项和为（   ） A．9 B．10 C．100 D．99 【答案】C 【分析】由题设可得，即可得到数列是首项为，公差为2的等差数列，进而根据等差数列的求和公式求解即可. 【详解】由，则， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 则数列的前10项和为. 故选：C． 7．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 8．已知函数（）.若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将零点问题转化为需有两个极值点的问题，再令，求导判断单调性即可. 【详解】令，即，故， 又有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，定义域为，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点， 令，则，令得， 令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增， 又的极小值为，且当时，. 要使有两个不同的零点，则直线与函数的图象需有两个不同的交点， 故，即，解得. 故要想有两个不同的变号零点，需满足，此时存在实数，使得有3个不同的正根，的取值范围为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．设随机变量服从，若，则 C．已知随机变量服从，若，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 【答案】ACD 【分析】根据概率公式、正态分布的性质、二项分布的期望、方差公式和独立性检验逐项判断即可. 【详解】对于A： ，所以A正确； 对于B： 因为变量，所以， 所以B错误； 对于C： 根据二项分布的期望和方差公式可得，， 解得，所以C正确； 对于D： 独立性检验中，若统计量大于临界值，则在的显著性水平下， 可判断分类变量与不独立，本题中，所以D正确. 故选：ACD. 10．如图，这是函数（，）的部分图象，则（    ） A． B．图象的一个对称中心为点 C．图象的一条对称轴为直线 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据函数图象求出函数解析式对选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，因为，所以，故A正确． 因为是在y轴右侧的第一个零点，所以，得，故． 因为，所以点不是图象的对称中心，故B不正确． 因为，所以直线是图象的对称轴，故C正确． 令，，解得，， 令，得，故D正确， 故选：ACD． 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BD 【分析】作出过点的截面，判断截面形状，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点位置，根据，的取值范围，判断C的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断D的真假. 【详解】对A：作出过的截面如下图：    延长和的延长线交于点，延长和交于点， 因为为中点，所以为中点，同理为中点. 则，即为的中位线， 连接，则过点，连接，则四边形为过点的截面， 所以平面截该正方体所得的截面是四边形，故A错误； 对B：连接，，如下图：    因为为正方体，分别为，中点，所以. 又，，平面，所以平面. 所以平面，又平面，所以平面平面.故B正确； 对C：当时，（），所以点在线段上， 所以，时取等号；，时取等号. 所以恒成立，而， 所以的最小值为不可能为，故C错误； 对D：因为，所以， 所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆周的. 所以点轨迹长度为：，故D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，且，，则数列的通项公式是 . 【答案】 【详解】由得：，又，所以数列是各项均为2的常数列，所以，即，又，所以，所以，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以，所以. 13．已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标公式得到的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 14．双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得； (2) 利用正弦定理以及三角恒等变换可得,即可得解； 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理：， 所以由正弦定理， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 由余弦定理， 因为，，所以，所以， 所以的面积. （2）因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）（i）由（1）的信息，结合三棱锥的体积公式求解；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在中，由， 得，则， ，由四边形是矩形，得， 又平面，且， 所以平面. （2）（i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，而，则， 由，得，即有， 取中点，连接，则，又，则， 所以. （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（15分） 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下: 宣传天数x 1 2 3 4 5 不了解的人数 120 100 90 80 70 (1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程. (2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表: 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联? （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表， 再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望. 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1) (2)（i）无关；（ii）分布列见解析，. 【分析】（1）利用表中数据和最小二乘法公式计算求解即可； （2）（i）根据表中数据计算由独立性检验的方法判断即可求解；（ii）由题意可得可能的取值为，结合超几何分布分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）由表中数据得，， ， ，， 所以，， 所求回归直线方程为. （2）（i）零假设为:是否了解中国民间传统文化与性别相互独立， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 所以可以认为成立， 因此，不能认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联. （ii）由题意易知抽取的7份调查表中，有4份调查表来自男性调查表，有3份调查表来自女性调查表， 则的所有可能取值为0，1，2，3， ,，,， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 18．（17分） 已知点，是椭圆上两点，点A，B分别为E的左、右顶点，如图所示，过作直线l交椭圆E于M，N两点（M在N的左侧，且与A，B不重合），连接，交于点P.    (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求； (3)在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将两个点的坐标代入方程即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入韦达定理化简即可求解. （3）先联立两直线的方程得交点坐标，可证明点在定直线（位于椭圆内部之间的部分）上运动，即可根据两平行线间距离为定值，判断为直线与椭圆的交点（不同于），即可求解. 【详解】（1）由于，是椭圆上两点， 故，解得， 故椭圆方程为 （2）设直线， 联立则， 设,且， 则， 故 ， （3）直线直线， 联立两直线的方程可得， 则 ， 故，解得， 因此,故点在定直线（位于椭圆内部之间的部分）上运动， 而在直线上，由于直线和互相平行，则两直线间的距离为定值. 要在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值，则为直线与椭圆的交点（不同于）， 故 19．（17分） 已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，根据切线的斜率为，及点在切线上列方程，求出的值； （2）（i）由（1）得，利用导数分析函数的单调性，即可证明存在唯一极小值；（ii）由（i）可得的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明. 【详解】（1）因为在点处的切线方程为，即. 所以切线的斜率为，且当时，. 因为，所以， 所以，所以. （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令，得或， 设，所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以存在唯一，使． 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $