精品解析：安徽宿州市埇桥区2025-2026学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷

2025-2026学年度第一学期九年级期末质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 3. 如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到年底全国新能源汽车保有量约为万辆，预计年底将达到万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，已知是的直径，的弦于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点．若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（ ） A. B. C. D. 10. 根据如图所示的二次函数的图像，做出了如下判断： ①当时，函数有最小值为0；②若点在二次函数图像上，则；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为：④若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则或．其中说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 如果，则___________． 12. 在一个不不透明的口袋中装有5个白球，若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，经过多次实验发现摸到白球的频率稳定在0.2附近，则黑球大约有_____个． 13. 如图，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，若，则的值为___________． 14. 已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点、、的坐标分别是，，． （1）仅用直尺，画出中边上的高；（不写作法，保留作图痕迹） （2）以为位似中心，在第一象限画出放大为原来的2倍的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 18. 阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 宿州万达广场CBD双子楼是宿州市的标志性建筑．某数学兴趣小组用无人机测量双子楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得双子楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得双子楼底端B的俯角为，点均在同一平面内，求双子楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于，两点，与直线交于，两点，恰有，连接，．求证： （1）； （2）为的切线． 六、（本题满分12分） 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： （4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 七、（本题满分12分） 22. 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则．” 某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究： （1）【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且．试猜想：的值（不必说明理由）： （2）【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且．试猜想的值，并证明你的猜想： （3）【拓展应用】如图4，在四边形中，，，，点分别在线段上，且．求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点C是的中点时，求m的值； （3）过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级期末质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 2. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，． 当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定： ∵， ∴当时，方程有两个相等的实数解， 当且时，方程有两个不相等的实数解． 综上所述，说法C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 3. 如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 4. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 5. 新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到年底全国新能源汽车保有量约为万辆，预计年底将达到万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并列出正确的代数式是关键． 根据增长率公式写出每年的保有量，并列出方程即可． 【详解】解：∵年底新能源汽车保有量为万辆，年平均增长率为， ∴年底保有量为万辆， ∴年底保有量为万辆， 又∵年底预计达到万辆， ∴可列方程为． 故选：C． 6. 如图，已知是的直径，的弦于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，先利用垂径定理得到弧的关系，再结合圆心角与弧的对应关系，最后依据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：是的直径，， 由垂径定理，得， ， 的度数为， 故的度数也为， 即， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点．若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识． 四边形是平行四边形，则，，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则，，故A正确，D正确； ∴，，故B错误，C正确； 故选：B． 8. 顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金三角形，先根据为黄金三角形，，求出，再根据为黄金三角形，求出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴． 故选：D． 9. 如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、特殊角的三角函数值以及坡比，过点作于点，延长交于点，先用坡角得到，，再证明是矩形，得到，再用坡比计算即可得到． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则， ，， ， ， ， ， ， ，， 平行于，， 是矩形， ， ， ， 斜坡的坡度为， ， ， ． 故选：D． 10. 根据如图所示的二次函数的图像，做出了如下判断： ①当时，函数有最小值为0；②若点在二次函数图像上，则；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为：④若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则或．其中说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断①正确；根据两个点关于抛物线对称轴对称，可判断②正确；待定系数法求出抛物线的函数解析式，再根据抛物线的平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，即可判断③错误；联立方程组，消去y得，当一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点时，其判别式，解方程可得，即可判断④正确． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的开口向上，当时，函数有最小值为0，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 又∵点在二次函数图像上，， 则点关于对称轴对称， 则，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标为，且过点， 设此抛物线的表达式为， 把点代入，得， 解得：， ∴此抛物线的表达式为， 将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为，故③错误； 联立方程组， 消去y得，， 整理，得：， 若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点， 则， 解得，，故④正确； 其中说法正确的个数为3． 故选：C． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例性质交叉相乘，可得，等式两边同时除以即可求出． 【详解】解： ， 交叉相乘得：， 即 ， 整理得：， ． 故答案为：． 12. 在一个不不透明的口袋中装有5个白球，若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，经过多次实验发现摸到白球的频率稳定在0.2附近，则黑球大约有_____个． 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：由摸到白球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可． 解：设黑球个数为：x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到白色球的概率为0.2， ∴， 解得：x=20， 故黑球的个数为20个． 故答案为20． 13. 如图，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 通过作垂线构造直角三角形，利用证明，再结合得到三角形的相似比，进而通过面积比和反比例函数的几何意义求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， ，， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 第二象限内的点在反比例函数的图象上， ，， ． 故答案为：． 14. 已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）由二次函数开口向下，对称轴为直线，在上，最小值出现在处，代入求值解方程； （2）由条件可知抛物线开口向下，点离对称轴更近，根据当时与时两点关于对称轴对称，结合二次函数性质求的范围即可． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， 由于图象开口向下，在时， 当函数在处取得最小值，， 由题意，解得； 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为直线，且当时，均满足， ∴抛物线开口向下，点离对称轴更近， ∵当时与时两点关于对称轴对称， 且， 解得， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算顺序是解题关键． 先分别计算乘方、二次根式、特殊角三角函数值和负整数指数幂，再按运算顺序合并同类项，最终得到结果． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点、、的坐标分别是，，． （1）仅用直尺，画出中边上的高；（不写作法，保留作图痕迹） （2）以为位似中心，在第一象限画出放大为原来的2倍的． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作三角形的高，正方形的性质，位似变换等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）取点，连接，，，交于点，可知四边形为正方形，可知，点即为所求； （2）根据位似图形的性质即可画出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【答案】 解：当中时，四边形为正方形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， 是等腰三角形， ，， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形． 【详解】略 18. 阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 宿州万达广场CBD双子楼是宿州市的标志性建筑．某数学兴趣小组用无人机测量双子楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得双子楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得双子楼底端B的俯角为，点均在同一平面内，求双子楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，延长交直线于点，可求得，结合，可求得． 【详解】 解：延长交直线于点． 平行于地面，垂直于地面， ，． ， ． 在中，，， ． 双子楼的高度为． 20. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于，两点，与直线交于，两点，恰有，连接，．求证： （1）； （2）为的切线． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据相似三角形的判定方法证明，再由相似三角形的性质即可求证； （）连接，延长交于点，连接，则，再结合圆周角定理得，所以，然后通过切线的判定方法即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： （4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 【答案】（1）； （2） （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计量的计算， 扇形统计图，用样本估计总体，掌握统计量的计算是解题关键． （1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第、个数的平均数得到； （2）先算出乙款组人数占样本的比例，再用乘以该比例得到对应圆心角； （3）分别计算甲、乙款样本中“非常满意”的比例，再用各自总人数乘以该比例，最后相加得到总人数估计值； （4）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据，则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故． 答：，． 【小问2详解】 解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人， 则其对应圆心角：． 答：． 【小问3详解】 解：乙款组人数为人， 组人数占比为， 组人数占比为， 组人数为人， 在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， 在甲组用户中，非常满意的人数为人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问4详解】 解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek的结果数为种， 故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为． 答：． 七、（本题满分12分） 22. 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则．” 某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究： （1）【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且．试猜想：的值（不必说明理由）： （2）【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且．试猜想的值，并证明你的猜想： （3）【拓展应用】如图4，在四边形中，，，，点分别在线段上，且．求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： 如图2，过点A作交于点M，作交的延长线于点N， 同（1）可知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则， 在长方形中，，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，在正方形中，，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，利用在长方形中，，证明，再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可； （3）先证是等边三角形，设，过点C作，垂足为，交于点，则，，再证，进而得． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图1，过点A作交于点M，作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 则四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 是等边三角形， 设， 过点C作，垂足为，交于点，则， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， 又， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点C是的中点时，求m的值； （3）过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）当点E的坐标为时，线段的长最大，最大值为； 【解析】 【分析】（）先由求出，，然后代入求出的值即可； （）先求出，，根据中点坐标可得，则有，然后求出的值即可； （）先证明，则，再求出，，，再由勾股定理得出，再代入，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标． 【小问1详解】 解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， 当时，，， ∴，， ∵点是的中点时， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点不与点，重合， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $