数学二模模拟卷02（上海专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（每小题5分，共15分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… …………… …○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若集合，则 . 2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为 . 3．若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ． 4．已知，则 5．已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 6．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 7．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则 ． 8．一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率 ． 9．已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 10．若函数满足:对任意的，都有，且，则 . 11．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为 .    12．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13．设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A．，且， B．，，且 C．，且 D．，，且 14．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. (1)证明：面面； (2)若直线与底面所成的角为，求面与面夹角余弦值. 18．已知定义域为的函数且是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 19．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 21．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若集合，则 . 【答案】 【解析】得，则，则 故答案为： 2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为 . 【答案】/ 【解析】由题意，，，，，，则的乘方运算以为周期， 由，则， 故，，， 则z的虚部为. 故答案为：. 3．若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【解析】圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形， 设这个三角形为，，底面圆， ， 底面圆的面积， 则该圆锥的体积为. 故答案为：. 4．已知，则 【答案】 【解析】令，则，且； 代入目标表达式：； 利用诱导公式，得：； 用二倍角公式，代入，则. 故答案为： 5．已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【解析】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 6．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 【答案】28 【解析】解：因为的展开式中二项式系数之和为256， 所以，故，即该二项式为 设其展开式的通项为，则， 当时，即，此时该项为 故答案为：28. 7．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则 ． 【答案】36 【解析】设等差数列的首项为，公差为. 因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，又，所以. 又，所以，即. 联立解得，. 所以等差数列的通项公式为. 所以，，. 因此. 故答案为：36. 8．一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率 ． 【答案】/0.6 【解析】从7个球中依次取出2个球，共有种， 取出的球没有红球，即取的是白球或黑球，则有种， 所以从盒子里依次取出2个球，取出的球有红球的概率为：， 取出的球有红球，则第二次取出的球是红球，分两种情况， 第一次取非红球，第二次取红球有种， 第一次取红球，第二次取红球有种， 第二次取红球有种， 所以取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率为， 所以， 故答案为： 9．已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 10．若函数满足:对任意的，都有，且，则 . 【答案】/0.125 【解析】由， 得， 即， ， ， 累加可得：， 又， 得， 故答案为： 11．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为 .    【答案】 【解析】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 12．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【解析】由题意可设第分钟点距离地面的高度为米， 则， 又因为， 所以， 又因为， 所以． ，故①正确； 当，即时，取最大值，为，故②不正确； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟， 所以点每分钟旋转（米）， 同理可得点每分钟旋转（米）， 所以点在竖直方向上的速度低于40米/分，故③正确； 若到的距离等于15米， 则点在线段PM上， 则需， 所以不存在，使得时到的距离等于15米，④不正确． 故答案为：①③． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13．设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A．，且， B．，，且 C．，且 D．，，且 【答案】C 【解析】对于A，若，且，，若是平行直线，则它们可能都平行于的交线，所以A不正确； 对于B，，，且，可得都平行于的交线，所以B不正确； 对于C，且，可得，再由，，得到， 所以，且是的一个充分非必要条件，所以C正确； 对于D，由，，且，可能有都平行于的交线，所以D不正确； 故选：C. 14．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 15．a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若有放回的摸出n个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故，，其中. 期望，方差. 若一次性摸出n张卡牌，随机变量的可能取值有、、， 则，， 由结论（苏教版2019第121页）：当时，，得， 故，选项C正确； 特别地，取，，其中. 的分布为， 0 1 2 期望，方差 随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 显然；；. 故ABD不正确. 故选：C. 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于命题①、②：例如，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故①、②错误； 对于命题③：因为， 对任意，，可知存在， 使得，， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故③正确； 对于命题④：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故④错误； 故选：B 3、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. (1)证明：面面； (2)若直线与底面所成的角为，求面与面夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为，， 所以三角形是等腰直角三角形， 设，的中点为，连接， 所以， 因为点在底面的投影是的重心， 所以点在上，因为， 所以， 于是，所以， 因此四边形是平行四边形，所以， 因为面，所以面， 而面，所以面面； （2）建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为面， 所以是平面的一个法向量，， 因为直线与底面所成的角为， 所以， 解得，舍去， 所以该三棱台的高为，所以， 因为面面，面面， 面， 所以面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ，， 所以， 取，则 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此面与面夹角余弦值为. 18．已知定义域为的函数且是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 【答案】(1)2 (2)减函数， 【解析】（1）定义域为的函数且是奇函数， 则有，解得. 所以，函数定义域为， ，满足为奇函数， 所以实数k的值为. （2），由，可得， 则函数在R上单调递减，函数在R上单调递增， 所以在R上单调递减. 不等式，可得， 由函数单调性可知对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，有， 即t的取值范围为. 19．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)，与线性相关较强 (2)可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 (3)分布列见解析， 【解析】（1）相关系数为 故与线性相关较强 （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关； 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故， 故的分布列为. 0 1 2 20．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； （2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii）， ，由（i）可知：， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 21．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【答案】(1)不是“3阶自和函数”. (2) (3)证明见解析 【解析】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”. （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的. 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当时，在上单调递减，则必有，解得． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为. （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即. 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分) 4 謀 o 12 二、选择题（每小题5分，共15分） 13[AJB][C][D] 14[A]B][C][D] 箭 15[A][B][C[D] 16[AB][C][D] 妇 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ B ·G B 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.(18分) y E K L $$\overrightarrow { F _ { 1 } }$$ $$\overrightarrow { F _ { 2 } }$$ $$\overline { x }$$ $$F _ { 1 }$$ $$F _ { 2 }$$ $$\overrightarrow { M }$$ 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效! 数学第4页(共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. / 3. 4. 5. 6.28 7. 36 8./0.6 9. 10. /0.125 11. 12. ①③ 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13 14 15 16 C C C B 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（14分） 【解析】（1）因为，， 所以三角形是等腰直角三角形， 设，的中点为，连接， 所以，（2分） 因为点在底面的投影是的重心， 所以点在上，因为， 所以， 于是，所以， 因此四边形是平行四边形，所以，（4分） 因为面，所以面， 而面，所以面面；（6分） （2）建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为面， 所以是平面一个法向量，，（8分） 因为直线与底面的所成的角为， 所以， 解得，舍去， 所以该三棱台的高为，所以，（10分） 因为面面，面面， 面， 所以面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ，， 所以， 取，则 所以平面的一个法向量为，（12分） 所以， 因此面与面夹角余弦值为.（14分） 18．(14分) 【解析】（1）定义域为的函数且是奇函数， 则有，解得.（2分） 所以，函数定义域为，（4分） ，满足为奇函数， 所以实数k的值为.（6分） （2），由，可得， 则函数在R上单调递减，函数在R上单调递增， 所以在R上单调递减.（8分） 不等式，可得， 由函数单调性可知对于恒成立，（10分） 即对于恒成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立，（12分） 所以，有， 即t的取值范围为.（14分） 19．(14分) 【解析】（1）相关系数为 （2分） 故与线性相关较强（4分） （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关；（5分） （7分） 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关（8分） （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故，（10分） （11分） （12分） 故的分布列为. 0 1 2 （14分） 20．(18分) 【解析】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ，（2分） ， 点的轨迹的方程为；（4分） （2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：，（6分） 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值；（8分） ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值.（10分） （ii）， ，由（i）可知：，（12分） 设，即， ，可得，（14分） 又，，则，（16分） 又直线的斜率存在，， ， 综上：.（18分） 21．(18分) 【解析】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有，（2分） 令，则， 所以不是“3阶和函数”.（4分） （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的.（6分） 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则必有，解得．（7分） 当时，在上单调递减，则必有，解得．（8分） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：；（9分） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为.（10分） （3）对，有． 如果存在，使得，则必有，（12分） 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且．（14分） 设， 则， 因为，所以． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即. 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以，则．（16分） 因为， 所以当时，，当时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若集合，则 . 2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为 . 3．若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ． 4．已知，则 5．已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 6．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 7．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则 ． 8．一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率 ． 9．已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 10．若函数满足:对任意的，都有，且，则 . 11．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为 .    12．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13．设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A．，且， B．，，且 C．，且 D．，，且 14．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. (1)证明：面面； (2)若直线与底面所成的角为，求面与面夹角余弦值. 18．已知定义域为的函数且是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 19．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 21．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $