精品解析：湖北武汉市洪山区2025-2026学年上学期期末检测八年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．受阅官兵齐声高喊“正义必胜、和平必胜、人民必胜”的口号，口号中的汉字有些具有对称性，下列汉字中是轴对称图形的是（ ） A. 和 B. 平 C. 必 D. 胜 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 点关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. _____． 12. 制造高性能显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（）的超薄有机膜．经测量，该薄膜的厚度非常薄，仅为毫米，数值用科学记数法表示为_____． 13. 计算的结果是_____． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 15. 已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 16. 如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）如图1，是边上一点，先画出的中线，再在线段上画点，使得； （2）如图2，是边上一个格点，先画出的高，再在射线上画点，使得． 22. 甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． （1）若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； （2）若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； （3）若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 23. 已知是等腰直角三角形，，点为边上一点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）如图1，若，点为边的中点，连接，交于点，连接． ①求的度数； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由： （2）如图2，若，点与点关于对称，连接与交于点，．请直接写出的值．（用含的代数式表示）． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点． （1）直接写出的形状； （2）若点的坐标为，求点的坐标； （3）①求证：； ②的面积_____．（用含的代数式表示．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．受阅官兵齐声高喊“正义必胜、和平必胜、人民必胜”的口号，口号中的汉字有些具有对称性，下列汉字中是轴对称图形的是（ ） A. 和 B. 平 C. 必 D. 胜 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】∵轴对称图形的定义为：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 又∵“和”“必”“胜”均找不到满足条件的直线，“平”可找到一条竖直对称轴，沿其对折后直线两旁部分完全重合 ∴符合条件的是选项B， 故选：B． 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式分母不为0的性质求解即可． 本题考查分式有意义的条件，掌握理解分式的分母不能为0是解题关键． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0 ∴ ∴ 故选：A． 3. 点关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特点，是解题的关键．根据点关于y轴对称时，横坐标取相反数，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：点关于y 轴对称的点的坐标为． 故选：A． 4. 两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握判断三条线段能否构成三角形的方法：在具体应用三角形的三边关系时，只要两条较短的线段的长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴第三根木棒的长不可能是，故此选项不符合题意； B．∵， ∴第三根木棒的长可能是，故此选项符合题意； C．∵， ∴第三根木棒的长不可能是，故此选项不符合题意； D．∵， ∴第三根木棒的长不可能是，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，熟练掌握同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，故A选项正确； 由积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，可得，故B选项错误； ，故C选项错误； 由同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，故D选项错误； 故选：A． 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否符合分式的相关性质． 【详解】解：由分式的分子分母同时乘同一个不为0的整式，分式值不变， A选项：当，时，左边，右边，，故A错误，不符合题意； B选项：当，时，左边，右边，，故B错误，不符合题意； C选项：分母，不能将分子分母的3直接约去，当，时，左边，右边，，故C错误，不符合题意； D选项：， ，变形正确，故D正确，符合题意； 故选D． 7. 如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识的性质和作图是解题的关键．根据作图意义解答即可． 【详解】解：①作图是的垂直平分线，点P是的中点，无法证明一定是等腰三角形，不符合题意； ②作图得到，一定是等腰三角形，符合题意； ③作图是的垂直平分线，则，一定是等腰三角形，符合题意； ④作图是是的平分线，不能判定一定是等腰三角形，不符合题意； 综上可知，能判断一定是等腰三角形的图形有②③， 故选：B． 8. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 9. 如图，在中，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可以求出，，由折叠的性质可知，根据三角形外角的性质可以求出结果． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ，， ， 又是的外角， ， . 故答案为：C． 10. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式及整体代入法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用完全平方公式对两边平方，得，再由，将两边同时除以，得，把代入，即可求解． 【详解】解：由， 对等式两边平方，得，即， ， 由题意得， 将两边同时除以，得到，即， ， 解得， 故选：C． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，根据任何非零数的零次幂都等于可得结果. 【详解】解：， . 故答案为：. 12. 制造高性能显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（）的超薄有机膜．经测量，该薄膜的厚度非常薄，仅为毫米，数值用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将用科学记数法表示，需确定系数和指数即可解答． 【详解】解：由题意，将的小数点向右移动5位得到， ，即， 故答案为：． 13. 计算的结果是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由于分母相同，直接合并分子后约分即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 15. 已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查因式分解、分式的化简求值、完全平方公式以及分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过因式分解验证结论①；利用完全平方公式求值，即可判定结论②；由平方非负性即可证明结论③；通过解分式方程，即可判定结论④． 【详解】解：对于结论①，，成立； 对于结论②，当，时，，故，成立； 对于结论③，，故，成立； 对于结论④，方程即， ， ， ，当时，解整式方程得，此为原分式方程的增根，故原方程无解， 当时，原分式方程无解， 当或时，分式方程无解，故结论④错误， 故答案为：①②③． 16. 如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式及多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据平方差公式及完全平方公式化简，最后将两个结果相加． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．先计算括号内的运算，把除法转化为乘法，约分后可得到答案． 【详解】解：原式 当时，原式． 20. 如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明是关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明，则，由即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）如图1，是边上一点，先画出的中线，再在线段上画点，使得； （2）如图2，是边上一个格点，先画出的高，再在射线上画点，使得． 【答案】（1） 如图，线段，点即为所求， （2） 如图，线段，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握网格的特征是解题的关键． （1）根据网格的特征找到的中点，连接,相交于点,再连接并延长交于点N即可； （2）根据网格的特征构造，则与的交点即为点E,作，与的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． （1）若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； （2）若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； （3）若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 【答案】（1），， （2）甲车的平均行驶速度； （3） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得到乙车的平均行驶速度为，利用时间路程速度即可解答； （2）根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可； （3）由题意得甲车所用时间为，乙车所用时间为，根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得到乙车的平均行驶速度为， 则甲车到达B地用时，乙车到达B地用时， 甲车用时是乙车用时的（倍）； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意得，，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲车的平均行驶速度是； 【小问3详解】 解：由题意得甲车所用时间为：，乙车所用时间为：， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，即甲车的平均行驶速度是． 故答案为：． 23. 已知是等腰直角三角形，，点为边上一点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）如图1，若，点为边的中点，连接，交于点，连接． ①求的度数； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由： （2）如图2，若，点与点关于对称，连接与交于点，．请直接写出的值．（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①由，可知平分 ，根据是等腰直角三角形，，，可求得，垂直平分，可知，则，即可求解； ②由①可知，，，则，进而可知为等腰直角三角形，得，，则，，即，延长，交于点，则，，可知为等腰三角形，得，再证，得，可得结论； （2）过作交于点，易证，可得，再由可得，，由对称可得，，，所以易证为等边三角形，，在上截取，连接，易得，，进而得解． 【小问1详解】 解：①∵，则， 即平分 ， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，故， 又∵是中点， ∴，且，垂直平分， ∴，则， ∴； ②，理由如下： 由①可知，，，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，则，， 即， 延长，交于点，则，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过作交于点， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴，， 连接、，由对称可知，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在上截取，连接， 则为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称问题等内容，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点． （1）直接写出的形状； （2）若点的坐标为，求点的坐标； （3）①求证：； ②的面积_____．（用含的代数式表示．） 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） （3） ①证明：过作，交延长线于点， 则， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， ； ② 【解析】 【分析】（1）由绝对值及完全平方的非负性可得，进而判断的形状即可； （2）将关于对称得到，过分别作轴、轴，先证，得到点，再根据中点坐标公式求点即可； （3）①过作，交延长线于点，先证，再证即可求解； ②设，则，利用中点公式列出方程组，得到，，再利用待定系数法得到直线的解析式，进而得到，得点的横坐标为，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：， ，解得， ，即， 为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：将关于对称得到，过分别作轴、轴， ， ，，即， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，即， 由对称可知为中点，则， 即； 【小问3详解】 ①略 ②解：由（2）知，设，则，又， ，解得，即，， 设直线的解析式为， ，解得， 即， 令，解得， 故，则， 又，且由①知为中点， 点的横坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $