专题08 因式分解的方法选择与综合应用（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题08 因式分解的方法选择与综合应用 目录 典例详解 类型一、提公因式法的深度应用 类型二、公式法分解的识别与选择 类型三、分组分解法的策略与技巧 压轴专练 类型一、提公因式法的深度应用 1． 提公因式的三个层次 ① 系数：最大公约数； ② 字母：各项公有字母的最低次幂； ③ 多项式：整体视为公因式。 2． 易错点与难点 ① 符号公因式：首项为负时先提负号； ② 提尽公因式：检查括号内是否还有公因式； ③ 公因式为多项式时的识别。 【重要性质】 ① 因式分解第一步永远是提公因式； ② 提公因式后括号内项数与原多项式项数相同； ③ 公因式可以是单项式，也可以是多项式。 例1．（2023七年级上·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 变式1-1．（2023八年级上·福建泉州·竞赛）若，则的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 变式1-2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．把作为一组，作为一组，分别展开，再把作为一个整体，继续展开，然后进行因式分解即可． 【详解】解： ． 类型二、公式法分解的识别与选择 1． 公式法类型 ① 平方差公式：两项、平方、相减； ② 完全平方公式：三项、首尾平方、中间±2倍积。 2． 选择策略 ① 两项式先考虑平方差； ② 三项式先考虑完全平方； ③ 四项及以上考虑分组后使用公式。 【重要性质】 ① 平方差公式中“平方”包括系数平方； ② 完全平方公式判断标准：中间项绝对值=首尾平方根积的2倍； ③ 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解。 例2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解． ③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：①，②； （2）解：① ； 故答案为：． ② 故答案为：． ③ ； 故答案为：． 变式2-1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 变式2-2．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）发现与探索． (1)根据小明的解答将因式分解； (2)根据小丽的思考，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将改写为，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）根据题意，将化为，即可进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 无论a取何值都大于等于0，再加上， 则代数式大于等于， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握，． 变式2-3． （25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 类型三、分组分解法的策略与技巧 1． 分组分解适用情况 ① 四项多项式； ② 六项多项式； ③ 对称或轮换结构。 2． 分组策略 ① 一分组：分成两组，每组提公因式后出现公因式； ② 二分组：分成三组，其中两组可用公式，再与第三组提公因式； ③ 三分组：分组后各组分别分解，再整体提取。 例3．（25-26八年级上·广西桂林·期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【详解】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 变式3-1．（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【答案】(1) (2) (3)S的最小值为6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键． （1）根据题意分组分解即可； （2）将变形为，再按照分组分解法可得，根据a，都是正整可求出a、b的值，进而可求出的值； （3）先由得，然后整体代入S中得，再将S分组，然后转化成，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值． 【详解】（1） ； （2）由得， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ； （3）由得， ， ， ，， ， 当，时， ， ∴S的最小值为6． 变式3-2．（25-26八年级上·湖南·月考）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键． （1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 变式3-3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 先利用计算公式，将变形为，结合因式分解的公式，得到，对 部分先提取公因式y，再利用十字相乘法进行因式分解，得到，再整体提取公因式，对余下部分利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 一、解答题 1．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握添项法与十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）将原式变形后解答即可； （2）用十字相乘法因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级下·全国·月考）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 3．（25-26八年级上·全国·期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式 2 (2)2024   (3) 【分析】（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数； （2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果； （3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数． 【详解】（1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次， 故答案为：提公因式，． （2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为，结果的次数为， 故分解因式，需要提公因式次，结果为， 故答案为：，； （3）解：原式 … ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法-提取公因式法．关键是通过连续提公因式，得出提公因式的次数与结果的次数的关系． 4．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ，当时，有最小值是2． 解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为______； (2)分解因式：______； (3)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1)9 (2) (3)有最大值4 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，因式分解是解题的关键． （1）由题意知，，可得，然后作答即可； （2）根据，作答即可； （3）由题意知，，由，可知，进而可得当时，有最大值，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：多项式是一个完全平方式，， ； 故答案为：9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：由题意知，， ， ， 当时，有最大值4． 5．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值为； (3)12 【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 6．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式重新分组，通过配方法凑成两个完全平方式的差，再利用平方差公式进行分解； （2）先将式子分组，把用完全平方公式分解，再与剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了分组分解法、平方差公式和完全平方公式的因式分解，解题关键是合理分组，先分解可分解的部分，再提取公因式完成整体分解． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．前三项用完全平方公式因式分解；中间两项提公因式；最后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）8； （3）6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，能够读懂题意是解题的关键． （1）根据题干信息，利用分组分解法解答即可； （2）先将通过变形得到，然后得到，进而求出的值即可； （3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值． 【详解】解：（1）解： ． （2）解： ， ∵,, ∴, ∴, ∴, 解得， 故． （3）解：由，得， ∴ ， ∵， ∴，当且仅当时成立， ∴S的最小值为6． 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）分别求出，，把作为一个整体，进行多项式乘以多项式的计算，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）将作为一个整体，进行多项式乘以多项式的计算，完全平方公式的计算，进而得到，把转化为，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 11．（22-23八年级下·四川达州·期中）阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08因式分解的方法选择与综合应用 目录 典例详解 类型一、提公因式法的深度应用 类型二、公式法分解的识别与选择 类型三、分组分解法的策略与技巧 压轴专练 典例详解 类型一、提公因式法的深度应用 1. 提公因式的三个层次 ①系数：最大公约数： ②字母：各项公有字母的最低次幂： ③多项式：整体视为公因式。 2. 易错点与难点 ①符号公因式：首项为负时先提负号； ②提尽公因式：检查括号内是否还有公因式： ③公因式为多项式时的识别。 【重要性质】 ①因式分解第一步永远是提公因式： ②提公因式后括号内项数与原多项式项数相同： ③公因式可以是单项式，也可以是多项式。 例1.(2023七年级上全国竞赛)己知x2+3x+1=0,则2x4+5x3+2x+5= 变式1-1.(2023八年级上福建泉州竞赛)若1+x+x2+x3=0,则1+x+x2+x2+..+x2018+x2019的和为 变式1-2.(2023八年级下.甘肃平凉·竞赛)分解因式：（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24. 类型二、公式法分解的识别与选择 公式法类型 ①平方差公式：两项、平方、相减： 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②完全平方公式：三项、首尾平方、中间±2倍积。 2. 选择策略 ①两项式先考虑平方差； ②三项式先考虑完全平方： ③四项及以上考虑分组后使用公式。 【重要性质】 ①平方差公式中“平方”包括系数平方； ②完全平方公式判断标准：中间项绝对值=首尾平方根积的2倍： ③分解要彻底，直到每个因式都不能再分解。 例2.(25-26八年级上山东烟台期中)【阅读材料】我们知道，多项式a2+2ab+b2可以因式分解为(a+b)2. 当一个二次三项式（如a2+6a+8)不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： a2+6a+8=a2+6a+9-9+8=(a+32-1 =[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2). 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： a2-2a-8=a2-2a+①-② -8=(a-12-9 =[(a-1)+3][(a-1-3]=(a+2(a-4) (2)将下列各式因式分解： ①a2-4a+3= ②a2+6a-16=; ③x2-2x+n2-9= 变式2-1.(24-25七年级下·安微安庆期末)对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因 式：x2-2ar-3a2=x2-2a+a2-a2-3a2=(x-a2-4a2=(x-a}2-(2a2 =(x-a+2a(x-a-2a=x+a(x-3a,像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法.请用以上方法分解因 式： (1)x2+2ax-15a2; (2)x4+x2+1. 变式2-2.(22-23八年级上·安徽阜阳期末)发现与探索. 2/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小明的解答：！ !小丽的思考： a-6a+5 1代数式(a-3)2+4 =a2-6a+9-9+5↓ 1无论a取何值(a-3)2 =(a-3)2-4 1都大于等于0，再加上4,1 !=(a-5)(a-1) !则代数式(a-3)2+4大于I !等于4，则(a-3乃+4有最} !小值为4。 (1)根据小明的解答将a2-12a+20因式分解； (2)根据小丽的思考，求代数式a2-12a+20的最小值 变式2-3. (25-26八年级上山东烟台期中)若多项式2(x2+y2)(x+y)2-(x2-y2)的值为0，则r+y的 值为 类型三、分组分解法的策略与技巧 1. 分组分解适用情况 ①四项多项式： ②六项多项式； ③对称或轮换结构。 2. 分组策略 ①一分组：分成两组，每组提公因式后出现公因式； ②二分组：分成三组，其中两组可用公式，再与第三组提公因式： ③三分组：分组后各组分别分解，再整体提取。 例3.(25-26八年级上·广西桂林·期中)将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分 组分解法.例如：am+an+bm+bn=(am+am)+(bm+bn)=am+n)+b(m+n=(a+b)(m+n.若a,b为 实数且满足ab-a-b-1=0,整式M=a2+3ab+b2-9a-7b,求整式M的最小值为 变式3-1.(23-24八年级上福建福州期末)材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方 法是分组分解法. 例如：a+an+bm+bn=(am+an+(bm+bn)=a(m+n+b(m+n)=(a+b)(m+n). (1)分解因式：ab+a+b+1 (2)若a,b(a>b)都是正整数且满足ab-a-b-4=0,求a+b的值； (3)若a,b为实数且满足ab-a-b-5=0,S=2a2+3ab+b2+5a-b,求S的最小值 变式3-2.(25-26八年级上湖南月考)我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)的形式，这就是将多 项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可 以尝试用下面的办法来分解因式. 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a2+6a+8=a2+6a+9-1 =(a+3)}2-1 =[(a+3)+1][(a+3)-] =(a+4)(a+2. 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)x2-6x-27; (2)x2-2xy-3y2: 3(x2-2x[(x2-2x+4+3. 变式33.(24-25九年级下·安徽宣城自主招生)因式分解：x3-2x2y-7xy2-4y3= 压轴专练 一、解答题 1.（24-25九年级上安徽准南·月考)分解因式： (1)4x3-31x+15; (2)(b+c)x2-(b2+c2+3bcx+bc(b+c): 2.(25-26八年级下全国月考)(1)多项式(x+2)(2x-1)-2(x+2)可以因式分解成(x+m(2x+n,m, n为整数.求m-n的值 (2)己知(19x-31)(13x-17)-(17-13x)11x-23)可因式分解成(ax+b)(30x+c,其中a,b,c均为整数， 求a+b+c的值 3.(25-26八年级上·全国·期中)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(1+x)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3. ()上述因式分解的方法是法，共应用了次. (2)若分解因式1+x+x(x+1+x(x+1)2+…+x(x+1)224,则需要应用上述的方法 次，分解因式后的 结果是 (3)请用以上方法分解因式：1+x+x(x+1+x(x+1)2+…+x(x+1)(n为正整数). 4.(23-24八年级下·安徽宿州·期中)配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能 4/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题 例如：分解因式x2+2x-3, 原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1-4=(x+1)-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1. 例如：求代数式x2+4x+6的最小值. 原式=x2+4x+4-4+6=x2+4x+4+2=x+22+2. :(x+2≥0，·当x=-2时，x2+4x+6有最小值是2. 解决下列问题： (1)若多项式x2+6x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为； (2)分解因式：x2+6x-16=: (3)求代数式-x2-6x-5的最大或最小值. 5.(25-26八年级上辽宁鞍山月考)阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2这样的式子叫做 完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现 完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题 的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代 数式的最大值、最小值等. 例1：分解因式x2+2x-3. 原式=x2+2x+1-1-3=(x+1)-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1). 例2：求-2x2-4x+8的最大值. -2x2-4x+8=-2(x2+2x-4)=-2(x2+2x+1-5)=-2(x+12-5=-2(x+12+10≤10， 故当x=-1时，-2x2-4x+8的最大值为10. 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题， (1)利用配方法分解因式：x2-6x-27; (2)当x为何值时，多项式-2x2+8x-6有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数a,b,c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,求a+b+c. 6.(25-26七年级上·上海·期中)阅读下列解题的过程. 分解因式：a‘+4 解：a4+4=a4+4a2+4-4a2 5/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(a2+2)2-4a2 =a2+2+2aja2+2-2a） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)x4+64; (2)x4-30x2y2+49y4. 7.(25-26七年级下，全国课后作业)把下列各式分解因式： (1)x2-4y2-6x-4y+8. (2)m2-4mn-3m+6n+4n2. 8.(2025七年级上全国.专题练习)分解因式：4m2-12mn+9n2-4m+6n+1. 9.(25-26八年级上·福建泉州期中)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 2a-3ab-4+6b因式分解. 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=2a-3ab)-(4-6b)=a2-3b)-2(2-3b=(2-3b)(a-2); 解法二：原式=(2a-4-(3ab-6b)=2(a-2-3ba-2)=a-2)(2-3b). 【类比】(1)分解因式：ab+a+b+1; 【挑战】(2)若a,b(a>b)都是正整数且满足ab-a-b-4=0,求a+b的值； (3)若a,b为实数且满足ab-a-b-5=0,S=2a2+3ab+b2+5a-b,求S的最小值. 10.(24-25八年级下.江西景德镇·期中)因式分解 (1)川x+1)(x+2)x+3)x+6+x2: (2)x+y-2xy(x+y-2)+(xy-1)2. 11.(22-23八年级下·四川达州期中)阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法.例如：以 下式子的分解因式的方法就称为分组分解法. a2+2ab+b2+ac+bc 原式=(a2+2ab+b2)+ac+bc =(a+b2+c(a+b】 6/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =(a+b)(a+b+c). (1)试用“分组分解法因式分解：x2-y2+xz-yz. (2)已知四个实数，b,c,d,满足a≠b,c≠d,并且a2+ac=3k,b2+bc=3k,c2+ac=6k, d2+ad=6k,同时成立. ①当k=1时，求a+c的值； ②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b,c,d. 7/7