9.2.3向量的数量积（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.2 向量运算 第九章 平面向量 9.2.3向量的数量积 学 习 目 标 1 2 3 理解向量数量积的定义，掌握零向量与任一向量数量积的规定，能熟练运用公式进行计算. 掌握向量数量积的核心性质，会用判定非零向量垂直，会用求向量的模长. 理解投影向量的概念，掌握向量数量积的交换律、数乘结合律和分配律并能灵活运用. 新课导入 在前面的学习中我们已经掌握了向量的线性运算（加法、减法、数乘），线性运算的结果仍为向量.那么向量与向量能否 “相乘”？如果能，运算结果是什么？ 如图是物体在力作用下发生位移的示意图，而力对物体做功的计算公式为: 仔细观察这个公式，你能发现什么？ 力和位移都是向量 而功是一个数量，这个数量由两个向量的模和夹角决定 这是一种新的向量运算，这就是本节课还要研究的课题——向量的数量积 新知探究 探究一：向量数量积的定义及相关性质 结合力做功的公式，我们可以得到向量数量积的定义: 已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量 叫作向量和的数量积,. 即 规定：零向量与任一向量的数量积为０． 注：数量积的记法为,不能写成或 运算结果为数量，而非向量 由向量的数量积公式变形可得： 新知探究 向量的数量积都有那些性质？如何得到这些性质？ ①夹角公式： ②自身数量积：由于此时夹角为0°，cos0=1, 则，即 ③垂直判定：当时，=90°，cos90°=0 则 ④特殊情况：当与同向时，；当与反向时， 即时训练 1.已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A．4 B． C． D．2 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合图形，由平面向量数量积的几何意义即可得到结果. 【详解】∵，∴为中点，则为直径，∴， 又∵在上的投影向量为，如图：   ∴为中点，则， ∴. 过作，垂足为点 ∴， A 知识小结 向量数量积的定义及相关性质 ①定义：已知两个非零向量、，其夹角为，则 ②垂直判定（充要条件）：； ③自身数量积与模长：，推导得模长公式； ④夹角计算公式：； ⑤共线特殊情况：与同向时，；反向时， 例1 典例分析 已知向量与的夹角为，，，分别在下列条件下求： （； （2）； （3） 【分析】利用向量数量积公式 ，根据夹角 的不同情况代入计算。 解：（1） （2）当时，或 若，则 若，则 （3）当时， 新知探究 探究二：投影向量及数量积的几何意义 设、为非零向量，,过点作所在直线的垂线，垂足为,则向量称为向量上的投影向量. ①投影向量的概念 由向量得到的变换称为向量向向量投影. ②数量积的几何意义 投影向量与向量的数量积之间有什么关系？ 右图三个向量 ， 和 构成一个直角三角形，下面，我们以该直角三角形为例，研究投影向量与向量的数量积之间的关系. 新知探究 设向量，的夹角为，由图可知： 当为锐角时，； 当为钝角时，。 可以验证，当，，时，均成立。 综上，对于向量，，向量在向量上的投影向量为 因为 所以 向量数量积的几何意义： 新知探究 由以上推导，你能总结出向量数量积的几何意义吗？ 向量和的数量积，等于向量在向量上的投影向量与向量的数量积，即. 投影向量与向量共线，其模长为,为与的夹角 ②当为 钝角时，投影向量与反向 ③当时，投影向量为零向量 ①当为锐角时，投影向量与同向 知识小结 投影向量及数量积的几何意义 ①投影向量：设、为非零向量，夹角为，将向所在直线作投影，得到的与共线的向量，称为在上的投影向量。 ②公式：在上的投影向量为 ③几何意义：两个向量与的数量积，等于上的投影向量与的数量积，即 (在上的投影向量) 新知探究 探究三：向量数量积的运算律 实数的乘法有交换律、结合律、分配律，向量的数量积是否也满足这些运算律？ 思考 ①交换律: 证明故相等 ②数乘结合律: ; (同理可由定义验证) ③分配律: 交换律与数乘结合律容易证明成立，数量积是否满足分配律？如何证明？ 对于分配律，我们用投影向量的概念进行证明： 如图，任取一点 ，作 ，，，则 设 于 ， 于 则向量 ，， 在向量 上的投影向量分别为 ， 和 当点 ，，， 按从左到右的顺序排列时，有 因此，向量的数量积满足分配律 新知探究 即时训练 2.已知非零向量与满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知及数量积定义求夹角余弦值. 【详解】因为 所以 所以，而 所以 所以. B 知识小结 向量数量积的运算律 ①交换律: ②数乘结合律: ③分配律: 典例分析 例2 已知，是夹角为的两个单位向量，， 求证：。 【分析】要证明两个非零向量垂直，只需证明它们的数量积为0。 证明：依题意，得，。 因为 所以 巩固提升 题型1 数量积的运算 1.已知方向相同，且，则等于（　　） A．16 B．256 C．8 D．64 【分析】根据向量的模的计算公式计算即得. 【详解】因 则. A 巩固提升 题型2 数量积和模关系问题 2.已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【分析】平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可. 【详解】因为 ， 所以 C 巩固提升 题型3 向量夹角的计算 3.已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【分析】将两边平方，根据数量积的运算律可求得的值，根据向量夹角公式即可求得答案. 【详解】因为 所以 所以，所以 又因为，所以 B 巩固提升 题型4 垂直关系的向量表示 4.若向量、满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由平面向量垂直可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为向量、满足：，，， 则 所以 所以 故. B 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 向量的数量积 苏教版 · 必修二 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 Designed for Mathematics 核心定义与公式 点击蓝色色块查看隐藏的关键内容 📌 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量 |a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b。 即：a·b = |a||b|cosθ 规定：零向量与任一向量的数量积为 0。 📐 几何意义 数量积 a·b 等于 a 的模 |a| 与 b 在 a 方向上的 投影 的乘积。 🔢 运算律与性质 01 运算律 交换律：a·b = b·a 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb) 02 重要性质 模长关系：a·a = a2 = |a|2 垂直判定：a ⊥ b ⇔ a·b = 0 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 ⚠️ 运算律陷阱 数量积不满足结合律和消去律。 (a·b)c ≠ a(b·c) （左边共线于c，右边共线于a） 若 a·b = a·c 且 a ≠ 0，不能推出 b = c （只能说明 a ⊥ (b-c)） ⚠️ 结果性质混淆 a·b 的结果是一个实数（标量），而不是向量。在进行混合运算时要特别注意，例如 a·b·c 是没有意义的写法（除非加括号）。 ⚠️ 投影是实数 向量 b 在 a 方向上的投影是 |b|cosθ，它是一个实数，不是向量，也不是长度。 当 θ 为钝角时，投影为负值。 ⚠️ 夹角范围与符号 向量夹角 θ 的范围是 [0, π]。 误区：a·b > 0 ⇒ θ 为锐角 正解：θ 为锐角 或 θ = 0 误区：a·b < 0 ⇒ θ 为钝角 正解：θ 为钝角 或 θ = π 解题技巧与模型 掌握通法，快速破题 🔄 求模长：平方化策略 当直接求 |a+b| 困难时，通常采用先平方再开方的方法。 |a+b| = √(a+b)2 = √(a2 + 2a·b + b2) 📐 求夹角：公式法 利用数量积定义求出 cosθ，再结合范围求 θ。 cosθ = a·b |a||b| 🌉 几何问题向量化 利用向量的数量积解决几何中的长度和角度问题。 例如：证明几何图形中的垂直关系，只需证明对应向量的数量积为 0。 $