10.2二倍角的三角函数（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

10.2 二倍角的三角函数 第十章 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，熟记并能灵活运用二倍角公式及其变形. 能利用二倍角公式进行三角函数的求值、化简与证明，掌握公式应用的基本方法. 经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会特殊化的数学思想，提升逻辑推理能力. 新课导入 在前面的学习中，我们已经学习了和与差的三角函数公式，你还记得、、的表 达式？ 当和角公式中时，,那么二倍角的三角函数能否用单角的三角函数表示？ 这就是我们本节课的核心探究内容——二倍角的三角函数. ① ② ③ 新知探究 探究一：二倍角公式的推导 结合和角公式，令，如何推导、、的表达式？ 余弦二倍角：； 正切二倍角：； 正弦二倍角：； 为什么有额外的定义域限制？有什么性质？ 由于分母不为 0,且正切本身有意义 故且 新知探究 结合同角三角函数基本关系，如何推导出的变形形式？ 将 变形可得如下形式： ① ②。 代入可得： 以上这些公式都叫作倍角公式，倍角公式是和角公式的特例． 即时训练 1.（   ） A． B． C． D． A 2.已知，，则（    ） A． B． C． D． D 3.（   ） A．1 B． C． D． B 解 解. 解 知识小结 二倍角公式 （1）正弦二倍角：； （2）余弦二倍角：； （3）正切二倍角：； （4）余弦二倍角的变形： ① ②。 典例分析 例1 已知 , , 求 , , 的值. 【分析】先求，再用二倍角公式依次计算，最后求。 解：因为 , , 所以 . 于是 , , . 典例分析 例2 证明： 【分析】 等式的左边较繁，需对等式的左边进行化简，并注意将的三角函数化成的三角函数。 证明：左边： 因此，等式成立. 典例分析 例3 化简 . 三角恒等变换. 【分析】利用降幂公式,将原式转化为余弦的和差形式，再用和角公式化简. 解法1 由倍角公式 , 得 原式 典例分析 【分析】先利用两角和差的正弦公式展开,再对平方项展开合并，最后化简得到结果. 解法2 典例分析 例4 证明：. 【分析】通过切化弦、通分、辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，逐步化简左边式子，最终证明其等于右边的 1. 证明：左边 典例分析 因此，等式成立. 典例分析 例5 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，怎样截取能使这个矩形的面积最大？ 【分析】先设圆心角为变量，用和表示矩形的长和宽，得到面积表达式,再利用正弦函数的最值性质解答. 解：如图，设∠AOB=θ，且θ为锐角，半圆的半径为R． 面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O， 且两边长分别为 这个矩形的面积为 典例分析 所以，当（为锐角） 即时，矩形ABCD的面积取得最大值 此时，． 答：当这个矩形在半圆直径上的两个顶点到圆心的距离都是半圆半径的时，所截取的矩形的面积最大． 巩固提升 题型1 利用二倍角公式化简、求值 1.化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【分析】根据同角三角函数的平方关系，商数关系及二倍角公式即可求解． 解：原式 B 巩固提升 题型1 利用二倍角公式化简、求值 2.求值：（    ） A． B． C． D． 【分析】利用二倍角的正切公式化简即可求出结果. 解：因为， 所以 . D 巩固提升 题型2 利用二倍角公式证明恒等式 3.求证：． 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系证明即可. 证明：左边 右边． 巩固提升 题型2 利用二倍角公式证明恒等式 4.求证：. 【分析】将等式左边切化弦，结合二倍角的正余弦公式化简即可作答. 证明：左边 右边 所以原式成立. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 二倍角的三角函数 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 核心公式体系 正弦二倍角 sin 2α = 2sin α cos α 余弦二倍角 cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α 正切二倍角 tan 2α = 2tan α 1 - tan²α 降幂公式（重要变形） sin²α = 1 - cos 2α 2 cos²α = 1 + cos 2α 2 避坑指南 🚫 陷阱一：公式的适用范围 使用 tan 2α 公式时，必须保证 α ≠ kπ + π/2 且 2α ≠ kπ + π/2 (k ∈ Z)。即 α ≠ kπ/2 + π/4。 当 α = π/4 时，tan α = 1，分母为0，公式失效。 ⚠️ 陷阱二：忽视角的范围 在利用 sin²α 或 cos²α 开方求 sinα、cosα 时， 务必根据 α 所在的象限判断符号。 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 🔄 陷阱三：对“二倍”理解僵化 “二倍角”是相对的。不仅 2α 是 α 的二倍， α 也是 α/2 的二倍， 4α 是 2α 的二倍， (α + β) 是 (α + β)/2 的二倍。 通关秘籍 1️⃣ 升幂缩角，降幂扩角 遇到次数高、角度小的式子，考虑降幂公式；遇到次数低、角度大的式子，考虑二倍角公式展开。 例：cos²15° - sin²15° = cos 30° 2️⃣ “1”的妙用 常数 1 可以代换为 sin²α + cos²α， 或 tan(π/4)。 例：1 + sin 2α = (sin α + cos α)² 3️⃣ 弦切互化 遇到同角三角函数式中同时含有 sin, cos, tan 时，通常将切化弦（通分），或将弦化切（齐次式除以 cos）。 💡 向量应用示例 若向量 a = (cos x, sin x)， b = (cos x, -sin x)， 则 a · b = cos²x - sin²x = cos 2x。 $