21.2平行四边形(十大题型)2025-2026 学年 人教版八年级数学下册

21.2平行四边形（十大题型） 1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 2．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 3．如下图，在中，，，的平分线交于点．求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出和的长度． 根据平行四边形的性质得到，，推出，根据平分，能证出，根据等腰三角形的判定得到，根据，代入即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ， ． 4．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    【答案】，． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得对边平行，对角相等，根据平行线的性质即可求出这个平行四边形其余各内角的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵比大， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 6．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 7．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 9．如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 11．如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 12．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与之间的距离取决于直线的位置，有两种情况：当直线位于直线和之间时，距离为两段距离之和；当直线位于直线和同侧时，距离为两段距离之差的绝对值. 【详解】解：有两种情况，如图： （1）直线与的距离是； （2）直线与的距离是； 故答案为：或. 13．如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【答案】与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度．点到直线的距离为 【分析】两条平行线，其中一条直线上一点到另一条直线的距离即为两条平行线间的距离，据此结合的长度即可解答； 根据平行线间的距离处处相等即可得到点到的距离． 【详解】解：与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，而题中且在上，∴的长度就是这两条平行线间的距离． 点到直线的距离同样是 ，由于，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直距离相等，∵到的垂直距离为，那么到的垂直距离也必然是． 【点睛】本题考查两条平行线间的距离，掌握两条平行线间的距离的定义是解题的关键． 14．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 15．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由于三条直线互相平行，需考虑在与之间或同侧两种情况，分别计算距离． 【详解】解：分两种情况： 当在，之间时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 当，在同侧时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 综上所述，与的距离为或， 故答案为：7或17． 16．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 17．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 18．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 19．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 20．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误； B、∵，，邻角相等，∴不能得出四边形是平行四边形，错误； C、∵，，∴四边形是平行四边形，正确； D、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误． 故选：C． 21．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 22．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 23．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需让即可列方程求解． 【详解】解：∵在四边形中，，要使其成为平行四边形，必须满足， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 24．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 25．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 26．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有 个；如图②，作，则图②中的平行四边形有 个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 27．如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 28．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 29．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 30．如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 31．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 32．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 33．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 34．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 35．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 36．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 37．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是 ，依据是 ． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图的性质，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据尺规作图的结果，得到四边形两组对边分别相等，再依据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时的长度等于半径的长度，的长度等于半径的长度 即， ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形． ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 38．在四边形中，，相交于点．若，，那么当 ，且 时，四边形为平行四边形． 【答案】 4 5 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理得和分别是对角线和的一半. 【详解】解：， 当， 时， 四边形为平行四边形． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形． 39．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 40．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由推出，再用证明，从而得到， （2）由推出，结合，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 41．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理． （1）根据平行四边形的性质可得，，由点，，，分别是，，，的中点，可得，，，，进而得到，，即可证明； （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明： 的对角线，相交于点， ，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 42．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 43．已知如图，在中，点、分别在、上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 44．如图，平行四边形，分别延长，至点，，使，连接，分别交，，于点，，．求证：．（请用两种方法证明） 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练运用平行四边形的性质构造全等三角形是解题关键． 法一，通过证明可得，，再通过证明可得，，作差后得到； 法二：连接，，通过证明可得，，从而得到．由，，可判定四边形是平行四边形，因此． 【详解】证明：①法一： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． ②法二：如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 45．如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角相等即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， ． 46．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 47．图1是工人师傅想要制作的一种四边形模板，标准的模板要求，，，且． (1)如图2所示，该模板在制作过程中不慎摔坏了一个角，导致无法测量的度数与，的长度，现测得，，，通过计算判断该模板损坏前是否标准． (2)现将模板修补完整，工人师傅需要在上找一点，并将模板沿切割成两块材料，且两块材料最终能拼接成一个矩形，在图3中找到点的位置（点与点不重合），并画出拼接好的矩形（不用证明）． 【答案】(1)该模板损坏前标准，计算判断见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长，交于点C，连接，可得，由，，得，得，即得故该模板损坏前是否标准． （2）作的垂直平分线交于点E，在射线上取点H，使，连接，证明，得，得，可得，得四边形是平行四边形，由，得是矩形． 【详解】（1）解：延长，交于点C，连接， ∵四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故该模板损坏前标准． （2）解：作的垂直平分线交于点E，连接，在射线上取点H，使，连接， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， 故矩形ADCH符合要求． 【点睛】本题主要考查三角形与四边形综合．熟练掌握四边形内角和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，是解题的关键． 48．问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 49．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 50．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2平行四边形（十大题型） 知识点一 ：平行四边形的性质 1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示. 利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长. 例： 如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6. 2.平行四边形的性质 （1） 边：两组对边分别平行且相等. 即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）角：对角相等，邻角互补. 即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°. （3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD （4）对称性：中心对称但不是轴对称. 3.平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF. （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半. （3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD. 知识点二 ：平行四边形的判定 4.平行四边形的判定 （1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□. （2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□. （3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□. （4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□. （5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□. 例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形. 知识点三：两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 知识点四：中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 题型一、平行四边行的性质求解 1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如下图，在中，，，的平分线交于点．求的长． 4．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    题型二、平行四边行的性质证明 6．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 7．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 8．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 9．如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 10．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 题型三、平行线间的距离应用 11．如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 12．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 13．如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 14．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 15．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 题型四、判断能否构成平行四边行 16．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 17．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 18．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 19．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型五、添条件成为平行四边行 21．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 23．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 24．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 25．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 题型六、判断平行四边行的个数 26．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有 个；如图②，作，则图②中的平行四边形有 个． 27．如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形． 28．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 29．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 题型七、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 31．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 33．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 题型八、平行四边行的判定 36．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 37．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是 ，依据是 ． 38．在四边形中，，相交于点．若，，那么当 ，且 时，四边形为平行四边形． 39．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 40．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 题型九、利用平行四边行的性质和判定证明 41．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 42．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 43．已知如图，在中，点、分别在、上，．求证：． 44．如图，平行四边形，分别延长，至点，，使，连接，分别交，，于点，，．求证：．（请用两种方法证明） 45．如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 题型十、平行四边行的性质和判定综合应用 46．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 47．图1是工人师傅想要制作的一种四边形模板，标准的模板要求，，，且． (1)如图2所示，该模板在制作过程中不慎摔坏了一个角，导致无法测量的度数与，的长度，现测得，，，通过计算判断该模板损坏前是否标准． (2)现将模板修补完整，工人师傅需要在上找一点，并将模板沿切割成两块材料，且两块材料最终能拼接成一个矩形，在图3中找到点的位置（点与点不重合），并画出拼接好的矩形（不用证明）． 48．问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 49．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 50．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $