分类透析导数在解题中的综合应用策略(一) 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

分类透析导数在解题中的综合应用策略(一) 导数是高中数学的重点知识和精华内容，它不仅拓展了学生学习的领域,使学生能以导数为工具,更加深入地研究中学数学出现的有关问题,加强同学们对高中数学知识的深刻理解和直观认识.导数的出现和引入大大丰富了高中数学的知识体系,拓宽了解决各类问题的思路,特别对研究曲线的切线、函数的单调性与极值、求解参数的取值范围及有关各种最值问题开辟了新的途径,带来了极大的便利，能化解或避免解题过程中出现的一些繁琐的计算而使问题迅速获解.本文结合经典实例以导数为工具,可巧妙解决各类试题中的一些常见热点问题，供同学们参考与借鉴. 类型一、求函数和解析几何中曲线的切线方程 例1.已知二次函数为.(1)求函数在点处的切线方程；(2)求过点的函数的切线方程. 【解析】(1)由于点在二次函数的图象上,即为切点.对求导,得.则切线的斜率,故函数在点处的切线方程为. (2)显然点不在函数的图象上,设切点,且.由,知函数在点处的切线斜率为,则所求切线方程,即.又点在切线上,代入有,解得或,得切点或；当切点为时，对应切线方程为，当切点为时，对应切线方程为；故所求切线方程为或. 【点评】导数与函数及解析几何的结合是通过导数的几何意义将它们之间实现了完美的融合,求函数图象和曲线切线的斜率或切线方程是导数在函数和解析几何中的重要应用之一,也是高考考查的重点,应熟练掌握.采用导数求切线要比常规方法(即判别式法)简捷得多,注意题中两个问题的区别,是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”,前者是切点,而后者不一定是切点. 类型二、求函数解析式(或曲线方程)中参变量的取值范围 例2.已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围. 【解析】因函数在区间上是增函数,则,即对恒成立;令(),只需成立即可;当时, 恒成立,知在上递减,则,得. 【点评】利用导数求函数解析式(或曲线方程)中含参变量的最值或取值范围时,其原理为:若函数在区间上递增(减),等价于()对恒成立.另外,本题可用均值不等式求解,因,则(当且仅当即时取等号)，即,从而得;在用均值不等式求最值时,要注意:一正数,二定值,三等号能成立,这三点要切记,否则易出错. 类型三、求函数图象(或曲线)上的动点到定直线距离的最小值 例3.已知点是曲线上的一个动点,直线的方程为.试确定点的坐标,使点到直线的距离最小,并求出最小距离是多少? 【解析】设平行于且与曲线相切的直线为,此时的切点到直线的距离最小,则该切点就是满足条件的点,设切点.由,得,则切线的斜率,即得,而,即所求点,且点到直线的距离最小.故所求点,所求最小距离为. 【点评】对于这种求函数图象(或曲线)上的动点到定直线距离的最值问题,是先设出平行于定直线且与曲线相切的直线,再设出切点坐标,并利用导数的几何意义及题中条件将切点坐标求出,最后将问题转化为求切点到该定直线的距离这样的简单事情而获解,从而确实可看出导数求解的方便与简洁，还体现出导数应用的魅力无限. 类型四、证明曲线(或函数图象)所具有的某些几何性质 例4.设抛物线方程为,为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.求证:三点的横坐标成等差数列. 【证明】依题意设,,且,.由,得,则切线的斜率分别为.于是切线方程为,即；同理知切线方程为.又切线都经过点,将点的坐标代入分别得 ①, ②.将①②两式相减并因式分解后，再将方程的两边同时约去因式()(注意:因为是不同的两切点,所以因式),可化简得,由等差数列的性质知成等差数列，即已证得三点的横坐标成等差数列. 【点评】对于这种条件中涉及过同一点作曲线的两条切线问题的各类题型,利用导数为工具来证明或求解的确具有得天独厚的优势,此操作方法可大大简化运算过程而使问题迅速获解.在证明过程中，要充分利用以导数为工具，将两切线,用各自切点的横坐标来表示出切线方程,注意到点均在两切线上，将其坐标分别代入两切线方程中，就得到两个方程①②；将①②两式相减其目的是为了消去含的常数项，这一操作是证明中的关键一步和技巧，在含有三个变量的同一等式中，通过因式分解与化简就能得到等式，利用等差中项的性质就恰好知道成等差数列，从而使命题轻松获证。 类型五、求函数解析式(或曲线方程)中含字母系数的值 例5.若存在过点的直线与函数和函数的图象都相切，求实数的值. 【解析】设过点的直线与函数的图象相切于点,得切线方程为,即，又因点在切线上，则有,解得或.当时，知切线与函数的图象相切，将两个方程消去后得一个关于的一元二次方程，由,可得；当时，知切线与函数的图象相切,将两个方程消去后得一个关于的一元二次方程，由,可得；综上所述可得或.故实数或. 【点评】先设过点的直线与函数的图象相切于切点是关键，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，把切线方程用点斜式写出并化简表示为，然后将点的坐标代入上述切线方程中求出的值有两个，进而分情况把两函数图象的公切线方程写出来,并抓住两图象的公切线必和另一图象(即抛物线)相切，这个是解题的转折点，最后利用判别式才能把字母系数的值求出；通过联立方程组用消元法得到一个一元二次方程，由判别式求出字母系数的值是问题获解的关键环节. 【跟踪训练题】 1.已知曲线和相交于一点.求两曲线在点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是多少? 2.若函数有3个零点，求实数的取值范围. 3.已知点是曲线上的一个动点,直线.求点到直线的距离的最小值. 4.设抛物线的焦点为,准线为,过点作一直线与抛物线交于两点,再分别过点作抛物线的切线,这两条切线的交点记为.(1)求证:切线与互相垂直,且点在准线上；(2)若为坐标原点,求证:为一定值. 5.已知直线与抛物线和分别相切于点和点,且.求实数的值. 跟踪训练题答案与解析 1.解:易解得两曲线和的交点.由,得,知曲线在点处的切线斜率,得其切线方程为.由,得,知曲线在点处的切线斜率,得其切线方程为.由于与轴分别相交于和,则.故为所求. 2.解:令,得;设,则,易得在和上递增,在和递减;问题等价于和两函数的图像有3个交点,而,且,画出的图像分析可得:或. 3.解:设平行于且与曲线相切的直线为,并设切点.由,得,则切线的斜率,且,解得,而.故切点到直线的距离为所求最小值. 4.证明:(1)依题意设切点,.由,得,则切线 的斜率分别为,得切线方程,即 ①；同理,切线方程 ②.由①②解出,,即得交点.又,设直线方程为,代入方程中,整理得,由韦达定理得.设切线的斜率分别为,且,即.而点的纵坐标,而抛物线的准线方程为,故交点在抛物线的准线上. (2)由(1)知,为定值. 5.解:设切点,且,.由,得易得曲线在点处的切线方程是即.同理,曲线在点处的切线方程是.因为直线是的公切线,所以在点处的切线方程与在点处的切线方程相同,从而比较两个方程中对应的系数得,且,由题意知，解得.则公切线的斜率,于是,化简得,解得,或(舍去).故实数. 学科网（北京）股份有限公司 $