高考客观题中的分类讨论思想策略应用 讲义-2026届高三二轮专题复习

高考客观题中的分类讨论思想策略应用讲义 在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,需把所要研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一进行研究和解决的数学思想,称之为分类讨论思想.分类讨论既是一种重要的数学思想,也是一种逻辑方法,更是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的思维方法,并能揭示数学对象之间的内在规律与联系,有助于人们总结归纳数学知识,使所学知识条理化、问题解决既完整又充满逻辑推理性.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的灵活性、探索性和综合性,它能训练一个人的思维条理性、缜密性和概括性,从而在高考试题中占有非常重要的位置;因此学生只有掌握了分类讨论的思想方法,在解题中才不会出现漏解的情况.本文举例说明分类讨论思想在高考客观题中的解题应用,以供借鉴. 一、在数学原始概念、性质及公式中的分类讨论 有些数学概念、性质、公式就是通过分类的形式给出的,如绝对值定义,指数函数、对数函数的性质,等比数列的前n项和公式等都需要分情况才能表述清楚和完整. 例1.已知等比数列的公比为,若其前项和(),则实数的取值范围为( ) A. B. C.　 D. 【解析】因(),则,且.(1)当时,成立.(2)当时,;①若时,则,有成立; ②若时,则,有成立;③若时,则,有成立;④若时,则当为正偶数时,,此时,即不成立.综上可得实数的取值范围为;选C. 【点评】在利用等比数列的前项和公式求和时,不要忽视的情况;另外,根据条件确定首项及由等比数列的定义知是解决问题的关键点和突破口.本题在问题讨论时要注意一级分类有:(1)和(2)两种情况;在处理(2)时,又要进行二级分类:分为上述①②③④共四种情况进行分类讨论,才使整个问题条理清晰、分类合理地圆满得到解决. 【变式训练1】若函数在定义域上恒有,则的取值范围是( ) A. B. C.　 D. 二、在涉及函数与方程有关问题中的分类讨论 在遇到求函数的零点、极值点、两图像的交点等问题,以及确定方程解的情况时,要对式子中含字母的系数进行定性讨论. 例2.若函数总有零点,则的取值范围为　　 ． 【解析】(1)当即时,则为一次函数,有一个零点为符合题意;(2)当时,则为二次函数有零点,只需,且,解得且;综合(1)(2)得的取值范围为. 【点评】由于函数含项是含有字母系数的,且题目中没有明确说明是一次函数还是二次函数,故需对分为一次函数和二次函数两种情况来讨论;同时为了满足题中条件使总有零点,这就要求的值既不能让一次函数的表达式变为,也不能让的取值使二次函数所对应的判别式. 【变式训练2】若关于的方程有实根,则实数的取值范围为　　． 三、在三角形或三角函数求值中的分类讨论 在证明或计算有关三角形中的边与角问题,需对三角形的形状进行分类处理;在碰到求一角的某个三角函数值时,当所属条件在不能确定的情况下,也需要分类加以讨论. 例3.已知钝角的三边长分别为;则边长的取值范围是( ) A. B. C.　 D. 【解析】不妨设边长是和所对的角分别为和;由于,则角或就是该三角形的最大内角,因为钝角三角形,则为钝角或为钝角.(1)当为钝角时,必有,解得;(2)当为钝角时,必有,解得.综合(1)(2)得边长的取值范围是;故选A. 【点评】在中,角所对的边为,设为最大角,则为最大边;当为钝角三角形时,则,由余弦定理可推出,且有这一条件不要被忽视了;另外一个钝角三角形的钝角只能有一个,但本题的钝角情况可以有两种.注意:本题若改为直角,可得或;改为锐角,可得. 【变式训练3】在中,已知;则的值等于( ) A. B. C.　 D.或 四、在计算几何图形里有关几何量中的分类讨论 在解决立体几何与解析几何一些相关问题的证明与计算中,常常因有些图形的位置、类型关系要进行讨论,如点、线、面的位置关系,圆锥曲线的类型分类等. 例4.点在直二面角的棱上,两条长等于的线段分别在平面内,它们与都成的角,则的长等于　　 ． 【解析】过两点分别作于,于;因二面角为直二面角,则,,易证两等腰,且.(1)当两垂足在点的同侧时,连接;因,则垂足重合于,且就是二面角的平面角,此时易求.(2)当两垂足在点的异侧时,连接;此时,在中,易得,因,在中,可得.综合(1)(2)得或. 【点评】本题需对线段的相对位置关系进行讨论,其实在两种情况中分别等于和;要注意防止讨论出现不全面、不彻底的情况,分类要做到既不重复又不遗漏,使解题方法和途径达到完美与合理. 【变式训练4】已知椭圆的离心率,则　　 ． 五、在题中所含参数变化而引起的分类讨论 在含有参数的问题求解中,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或者由于不同的参数值要运用不同的证明方法或求解策略,需对参数的允许值进行全面的讨论. 例5.设集合, ,若,则实数的取值范围为　　 ． 【解析】显然,若要使,则,于是有,解得或当(取等号时集为单元素集)时,集合表示一个圆心为、半径为的圆面;当时,集合表示一个圆心为、小半径为和大半径为的圆环面.从而满足条件的问题可转化为:(1)当圆心落在两动直线与之间时,点,则,解得满足题意;(2)当圆心落在两动直线之外时,则只需两动直线至少有一条与动圆有交点,于是或,解得,并注意提前“或”,即得;综合(1)(2)得的取值范围为. 【点评】本题首先要判断,再根据得出或是关键点;由参变量的取值变化来确定集表示一个圆面或圆环面,然后按圆心的位置借助数形结合分情况讨论;严格遵循分类讨论的步骤和原则进行,做到不重复也不遗漏. 【变式训练5】设函数,若对于任意的都有成立,则实数的值为　　 ．        六、在排列组合问题中因受限制条件引起的分类讨论 在解决排列组合的实际问题中,由于题中条件而确定某些位置是“特殊位置”,或某些元素是“特殊元素”时,常需根据实际情况的不同情形分类求解. 例6.从分别写有数字的张卡片中任取张,排成一个三位数,若可当用，则可得到　　 个不同的三位数(用数字作答). 【解析】可按特殊元素分成两大情况来完成:(1)不含卡片的三位数的情况,因数字不能排在百位上,则百位又是特殊位置应优先考虑,则这样的三位数有个.(2)含卡片的三位数的情况,又分成:①含不含的情况有个;②含也含的情况有个.综合(1)(2)得不同的三位数有个. 【点评】解决这类问题的关键就是要分情况完成,且分类要按一个标准来分:要么按特殊元素分类,要么按特殊位置分类;且分类不能出现混乱的局面,也不要出现重复或遗漏.本题要注意数字出现时不能在百位上,可当用即在的情况下再乘以就完成. 【变式训练6】从中任取2个数字，从中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有　　 个(用数字作答).    变式训练题答案答案与解析 1.解析:①当时,函数在上是递减的,且由对数函数的性质得;由,可得,即且,解得.②当时,函数在上是递增的,且由对数函数的性质得;由,可得,即且,解得.综合①②得且;故选B. 2.解析:(1)当时,得或;若时,方程无解不合题意;若时,方程有一个实数根为,符合题意.(2)当时,得且,由方程有解知,即可解得,或且.综合(1)(2)得的取值范围为. 3.解析:因,且为的一个内角,得,;(1)当为锐角时,由,得,则,于是有;(2)当为钝角时,由,得,此时不合事实.综合(1)(2)得;选C. 4.解析:(1)当椭圆焦点在轴上时,即有;则,解得.(2)当椭圆焦点在轴上时,即有;则,解得.综合(1)(2)得或. 5.解析:(1)当时,对都有成立;(2)当时,由可得,令,则对恒成立,知在上递增,则,只需;(3)当时,同理得,易得在上递增,在上递减,则,只需;因(1)(2)(3)要同时成立得. 6.解析:需要对0和5进行讨论:(1)若含0而不含5,则个位一定是0,有个;(2)若含5而不含0,则个位一定是5,有个;(3)若含5且含0,则个位一定是0或5,有个.综合上述情况共有个. 学科网（北京）股份有限公司 $