二项分布与超几何分布分类透析讲义(一)-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布与超几何分布核心考点，结合导数、独立事件、互斥事件、正态分布等知识，按应用场景分类型构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生建立概率模型的分析框架和解题思路。 讲义突出跨知识融合与问题情境化设计，如例1结合导数求概率最值培养数学思维，例4用正态分布监控生产过程强化数学语言表达。设置分层跟踪训练题，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

二项分布与超几何分布分类透析讲义(一) 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．下面例举二项分布与超几何分布在实际问题中的应用，二者都可以与其它概率统计知识及函数知识结合在一起进行考查；对于常见的一些题型介绍给大家，以供参考，旨在帮助同学们提高学习与解题的综合素养.因专题内容太多、题型丰富而分为两个讲义介绍，这里呈现的是讲义(一)部分. 类型一、二项分布与导数结合 例1.某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为( ),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点.(2)现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以(1)中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验? 【解析】(1)依题意，得件产品中恰有件不合格品的概率为，且.则.令，注意,得.当时，；当时，.从而知在上是递增的，在上是递减的，所以的最大值点为. (2)由(1)知，. (i)设表示余下的件产品中的不合格品件数,依题意知，则 .因,故元. (ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元.由上面计算知，故应该对余下的产品作检验. 【点拨】本题第(1)问是整个试题的核心，设表示件产品中取到不合格品的件数，由题意知()，先通过建立函数模型，再将函数求导利用研究函数单调性与最值的方法求出的最大值点为，这种借助导数求解概率最值问题的思维方法给人耳目一新与眼前一亮的感觉. 类型二、二项分布与独立事件 例2.在某商场的一次有奖促销活动中，有人成为幸运之星，这名幸运之星可获得两种奖品中的一种，并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为点、点、点、点、点、点)，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品.(1)求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；(2)设分别为获得两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望. 【解析】依题意，在这名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为(或).(1)要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则获奖品的人数可能为.则所求概率为. (2)由于,且；则，，；即的所有可能取值为.又因为，. 则；； . 所以随机变量的分布列为: 故的数学期望. 【点拨】因为名幸运之星每人获取或奖品的机会(概率)是相同的，完全是由抛掷一枚均匀骰子出现朝上的点数来确定,每人获得奖品的概率为，获得奖品的概率为，这如同是在做一个独立重复的试验；每人抛掷骰子次，即共做了次独立重复试验，由于分别为获得两种奖品的人数，则，，且，只要这些道理理解好了，问题就能迎刃而解. 类型三、二项分布与互斥事件 例3.现有位影视明星参加某电视台现场录制的娱乐活动节目，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，主办方制作了一款电脑软件:按下电脑键盘“”键则会出现模拟抛两枚质地均匀的骰子的画面，若干秒钟后在屏幕上出现两个点数和，并在屏幕的下方自动计算出的值.主办方有规定:每个人去按“”键，当显示出来的小于时则参加甲游戏，否则参加乙游戏.(1)求这个人中恰好有人参加甲游戏的概率；(2)用分别表示这人中去参加甲、乙游戏的人数，记等于与的乘积，求随机变量的分布列与数学期望. 【解析】(1)依题意知由屏幕出现的点数和形成的有序数对一共有个等可能的基本事件；而符合的基本事件有 ,共有个.则每人选择甲游戏的概率，选择乙游戏的概率.故这个人中恰好有人参加甲游戏的概率为 (2)依题意,,且；则,, ,，知的所有可能取值为.且,. 则； ； ； . 所以随机变量的分布列为 故的数学期望. 【点拨】根据古典概型，计算屏幕出现的点数和形成的有序数对共有个总的基本事件，再得出其中满足条件的含有个彼此互斥的基本事件,从而得到人中的每个人选择甲游戏的概率，选择乙游戏的概率是解题的关键所在；进而确定,是起到“拨开云雾见青天”的作用，并理解好()是解题的至关重要因素,两者取其一即可. 类型四、二项分布与正态分布 例4.为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，试验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸(单位:).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；(2)一天内抽查零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸: . 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸,. 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到). 附:若随机变量服从正态分布,则. ,. 【解析】(1)由题知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为.则；所以 .由题意知，故. (2)(i)由于尺寸落在之外的概率为.由正态分布知尺寸落在之外是小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理. (ii)由题知,.所以得，又因为，所以需对当天的生产过程检查，因此要剔除尺寸为零件的数据.剔除数据之后， ；而 ，所以. 【点拨】这是一道涉及正态分布与二项分布的概率与统计综合题，在企业生产与管理中,经常应用正态分布中的“准则”进行产品质量检测和工艺品生产过程质量控制；由于产品的尺寸几乎全部集中在内，而落在外取值的概率只有，这是一个小概率事件，一旦发生就表明生产异常而需检查生产过程.由于产品生产量足够大,应把每个产品的生产看作是在相同的条件下进行的试验，因此正确理解第(1)问中的随机变量是解题的关键所在. 【跟踪训练题】 1.某家畜研究机构发现成年牛中每头感染一种型疾病的概率是,且各头成年牛是否感染这种病是相互独立的.(1)记头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，求的最大值点.(2)以(1)中确定的作为的值.(i)若头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？(ii)该家畜研究机构新发现了一种血清对治疗成年牛患的这种型疾病有一定疗效，但能成功治好的概率为；农户家里养有头成年牛，打算让这家研究机构为这头成年牛预防和治疗这种病，已知需缴纳给研究机构的预防和治疗费用是每头牛为元，而患病不能成功治好的成年牛研究机构要赔偿农户每头为元，估计该研究机构能在农户那里所获取的收益是多少元？ 2.甲、乙两队进行篮球投篮比赛，每队3人，每人投篮1次，投中者为本队赢得2分，不中得0分；假设甲队中每人投中的概率均为，乙队中每人投中的概率分别为，且各人投中与否相互之间没有影响. (1)用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于6”这一事件，用B表示“甲队总得分多于乙队总得分”这一事件，求. 跟踪训练题答案与解析 1.解：(1)依题意，头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，且.则有，又因，令，解得.则当时,；当时,.即函数在上是递增的，在上是递减的；故的最大值点. (2)由(1)知，.(i)则头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是()，由于 ；显然当，即时，有；当，即(,且)时，有,于是得.从而知当时，. (ii)设在农户那里所获取的收益是元，表示头成年牛中所患型疾病的头数，则，于是；故元.故该研究机构能在农户那里所获取的收益大约是元. 2.解： (1)由题意知，的所有可能取值分别为则; 则的分布列为 0 2 4 6 故的数学期望为 (2)用C表示“甲得4分乙得2分” 这一事件，用D表示“甲得6分乙得0分” 这一事件.则，.故得. 学科网（北京）股份有限公司 $