7.1 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方讲义2025-2026学年 苏科版数学七年级下册

第7章 幂的运算 一、基础知识 【知识点1 同底数幂的乘法】 1. 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 因此，我们有。 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3.同底数幂的乘法法则的推广与逆运用： ； 。 如；。 【知识点2 幂的乘方】 1. 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 。 因此，我们有。 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则：，指数相加 乘方法则：，指数相乘 相同点：底数不变，其中，都是正整数。 【知识点3 积的乘方】 1. 一般地，对于任意底数，与任意正整数， 。 因此，我们有。 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 1.（2023 秋·山东济南·八年级统考期中） 若 ，则 ___________。 【答案】160 【分析】本题考查了绝对值的非负性、同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握“几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0”的核心性质，以及同底数幂的乘法运算法则。先根据绝对值的非负性求出 和 的值，再利用同底数幂乘法的逆运算将待求式变形，代入计算即可。 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ，， 即 ，， ∴ 。故答案为：160。 2.（2024 秋·四川成都·八年级校考期末） 若 ，则 ___________。 【答案】20 【分析】本题考查了绝对值的非负性与同底数幂乘法的逆运算，解题核心是利用非负性求出 和 的值，再根据幂的运算法则对所求式子进行变形，代入数值计算即可。 【详解】解：∵ ，且绝对值具有非负性，即 ，， ∴只有当两个绝对值同时为 0 时，它们的和才能为 0， 即 ，， 解得 ，， ∴ 。故答案为：20。 3.（2024-2025学年七年级下册·浙江杭州·期末统考） 计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，核心是掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的运算规则，区分同底数幂乘法与幂的乘方、合并同类项的法则差异。 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加， 即：。故选：C。 4.（2025春·七年级下册·四川泸州龙马潭区·期末） 下列各式中，计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题核心考查同底数幂的乘法法则，同时辨析合并同类项的运算规则，是七年级幂运算的高频基础考点。 【详解】根据同底数幂相乘的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此逐一分析： 选项A：，而非，错误地使用了指数相乘的幂的乘方法则，故错误； 选项B：，严格符合同底数幂相乘的运算法则，故正确； 选项C：与不是同类项，无法直接合并相加，不能套用幂的运算规则进行指数相加，故错误； 选项D：，而非，既错误地将底数相加，又混淆了乘法与合并同类项的运算，故错误； 因此正确答案为B； 5.（2025·江苏苏州七年级下学期期末统考真题） 题目：已知x+y+4=0，则的值是_______。 正确答案： 详细解析： 本题核心考查同底数幂乘法的逆用与整体代入求值，核心法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，可逆用为。 ⑴ 由已知方程变形求整体的值：∵ ，∴ 移项可得 。 ⑵逆用同底数幂乘法法则化简待求式：。 ⑶整体代入计算：将代入，得。故答案为。 6.（2024·浙江杭州七年级下学期期中统考真题） 题目：已知，则的值是_______。 正确答案： 详细解析： 本题在同底数幂乘法逆用的基础上，加入幂的乘方逆用的考点，是该题型的高频进阶考法。 ⑴统一底数，逆用幂的乘方法则变形： 幂的乘方法则为，可逆用为，因此。 ⑵逆用同底数幂乘法法则化简待求式：。 ⑶由已知方程求整体的值并代入计算： ∵ ，∴ ，代入得。故答案为。 7.（23-24七年级下·江苏苏州·期中） 若整数是一个11位数，则的所有可能值是（ ） A．12，13，14 B．13，14，15 C．14，15，16 D．15，16，17 答案：B 详细解析：本题考查同底数幂乘法逆用以及整数位数的判断，核心是将式子变形为的整数次幂乘一个系数的形式，通过系数的范围确定指数。 ⑴ 幂的运算变形：根据同底数幂乘法的逆用， 将拆分为： 再根据积的乘方逆用， 可得：，因此。 ⑵确定系数的取值范围： 是后面带9个0，为10位数；要让是11位数，需要乘一个数后位数增加1位，即这个系数需满足： （若，结果仍为10位数；若，结果会变成12位数） ⑶ 求解的可能值： 已知，，，， 满足的指数为，即 解得，故选B。 8.（24-25七年级下·江苏扬州·期中） 若整数是一个8位数，则的所有可能值是（ ） A．7，8，9 B．8，9，10 C．9，10，11 D．10，11，12 答案：D 详细解析：本题考查同底数幂乘法的逆用，解题关键是通过幂的运算将式子转化为的幂乘单个系数的形式，结合整数位数的定义建立不等式。 ⑴幂的运算变形：逆用同底数幂乘法法则， 将拆分为：； 逆用积的乘方法则，合并底数为10的幂： ，因此。 ⑵确定系数的取值范围： 是后面带6个0，为7位数； 要让是8位数，需要乘的系数满足：； ⑶求解的可能值： 已知，，，， 满足的指数为，即 解得，故选D。 【题型2 幂的乘方及其逆用】 1.（2023·广东深圳·中考真题） 若，均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法运算，核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，结合指数相等求解代数式的值。 【详解】解：∵， ∴先逆用幂的乘方法则，将转化为以2为底的幂：， 同时将32转化为以2为底的幂：，∴原式可化为：， 根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，得：， ∵底数相同且不为0、1的幂相等时，指数必然相等， ∴，故答案为：。 2.（2024·四川广安·中考真题） 若，均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法运算，解题关键是统一底数为3，再利用幂的运算法则化简，最终通过指数相等求出代数式的值。 【详解】解：∵， ∴逆用幂的乘方法则，将转化为以3为底的幂：， 同时将81转化为以3为底的幂：，∴原式可化为：， 根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，得：， ∵底数相同且不为0、1的幂相等时，指数必然相等， ∴，故答案为：。 3.（2023·广西·中考真题） 若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详细解析】本题核心考查幂的乘方与同底数幂的乘法两大核心运算法则，与例题考点完全匹配。 1.处理幂的乘方：根据幂的乘方公式（底数不变，指数相乘），可得； 2.处理同底数幂乘法：根据同底数幂乘法公式（底数不变，指数相加），可得； 3.列方程求解：等式化为，根据“同底数幂相等，则指数相等”，得，解得。 4.（2025·山东济南·中考真题） 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【详细解析】本题是例题考点的进阶应用，在幂的乘方、同底数幂乘法的基础上，增加了底数的统一变形，是中考高频考查形式。 1.统一底数：根据幂的乘方运算法则，将等式左侧各项化为以2为底数的幂： ，； 2.合并同底数幂：根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，可得： ； 3.列方程求解： 等式化为，因此，解得，。 5.（2024·河北·中考真题） 若，则 。 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，将原式变形为同底数幂的形式，再整体代入求值。 【详解】解： 将代入上式得，原式，故答案为：。 6.（2023·内蒙古包头·中考真题） 若，则 。 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法运算，核心解题思路是先把不同底数的幂统一为同底数幂，再利用整体思想代入计算。 【详解】解： 将代入上式得，原式，故答案为：。 7.（24-25七年级下·江苏泰州·期中） 我们定义：三角形，四边形； 若，则 。 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【详解】 解：，，， 。故答案为： 。 【题型3 积的乘方及其逆用】 1.（2025·四川成都·中考真题） 已知正整数满足，则的值为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的逆运算，解题的关键是通过拆分高次幂、提取公因式，将等式右侧转化为完全平方的形式，进而求出正整数的值。 【详解】解： ，。 2.（2024·江苏苏州·中考真题） 已知正整数满足，则的值为（ ） A．192 B．168 C．144 D．120 【答案】 【分析】本题考查幂的运算法则的综合逆用，核心解题思路是利用同底数幂的乘法逆用拆分高次幂，提取公因式后将式子化为两个平方数的乘积，再逆用积的乘方得到完全平方形式，进而求解正整数。 【详解】解： ，。 3.（2023·青海西宁·中考真题） 计算： ． 【答案】 【分析】本题核心考点与例题完全一致，重点考查乘方的符号运算、同底数幂的乘法，核心难点是区分带括号与不带括号的负数乘方的符号差异，熟练掌握“负数的偶次幂为正，奇次幂为负”以及同底数幂的乘法法则是解题关键。 【详解】解： 1.先处理乘方运算，根据乘方的定义， （负数的偶次幂结果为正） 2.根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”，合并同底数幂： 原式。 4.（2024·四川攀枝花·中考真题） 计算： ． 【答案】 【分析】本题综合考查幂的乘方、乘方符号处理、同底数幂的乘法，与例题的考点高度匹配，需要分步处理每一项的符号与指数，再进行同底数幂的运算，是例题考点的进阶延伸。 【详解】解： 第一步：分别处理两项的乘方运算 ① 对于：根据积的乘方与幂的乘方法则， （负数的奇次幂结果为负） ② 对于：根据乘方的定义， （负数的偶次幂结果为正） 第二步：将化简后的两项相乘，根据同底数幂的乘法法则计算： 原式。 5.（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答。 【详解】解：∵，， ∴。 6.已知 ，，则 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】 【分析】本题与例题题型、考点完全一致，为中考幂的运算逆用的核心题型，考查逆用积的乘方与幂的乘方，解题关键是将目标底数拆分为已知底数的乘积，再逆用公式变形。 【详解】解：∵，， 先逆用积的乘方公式 拆分目标式： ， 再逆用幂的乘方公式，将指数拆分为已知幂的指数的倍数： ，，因此 ，故选A。 7.（2023·青海西宁·中考真题） 计算的结果是（　 　） A．-8 　 　B．8　 　 C．-1 　 　D．1 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键。先将高次幂拆分为同指数幂与单个底数相乘的形式，再逆用积的乘方公式简化计算，最后结合乘方的符号规则求解。 【详解】解：原式 。故选：A。 8.（2024·四川南充·中考真题） 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算、乘方的符号判断，核心解题思路是将指数不同的幂拆分为同指数幂，利用互为倒数的底数乘积为1简化运算。先把原式变形为，再逆用积的乘方公式求解。 【详解】解：原式 。 【题型4 利用幂的运算比较大小】 1.（2024·河北·中考真题） 已知，，，下列关于、、的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，解题关键是找到指数555、444、333的最大公因数111，将三个数转化为指数均为111的幂，再比较底数大小。 【详解】解：对、、进行幂的乘方逆变形： ， ， ， ∵，∴，即，故选：A。 2.（2025·浙江杭州·中考真题） 比较、、的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方的逆运用，先提取指数44、33、22的最大公因数11，将三个数转化为同指数的幂，再根据底数的大小关系确定最终的大小顺序。 【详解】解：利用幂的乘方逆运算变形得： ， ， ， ∵，且指数为正整数时，底数越大，幂的值越大， ∴，即，故选：C 3.（2023·广西北部湾经济区·中考真题） 比较大小： _______ 【答案】＞ 【分析】根据两数的特点，先利用幂的乘方公式的逆用，把它们变成底数分别为16和9，指数为3的形式，然后再比较大小。 【详解】解：，； ∵16＞9，∴，∴。 【点睛】本题考查了比较乘方的大小，解答本题的关键是逆用幂的乘方公式，把它们转化为指数相同的乘方的形式，再比较底数大小。 4.（2024·山东济南·中考真题） 比较大小： _______ 【答案】＞ 【分析】观察两个幂的结构，逆用幂的乘方运算法则，将两个式子转化为指数均为2的乘方形式，再通过比较底数的大小判断最终结果。 【详解】解：，； ∵243＞125，∴，∴。 【点睛】本题考查幂的乘方的逆用与实数大小比较，解题核心是利用的性质，将不同指数的幂转化为同指数幂，简化大小比较的过程。 5.（2023·广西北部湾经济区中考真题） 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详细解析】本题核心考查幂的乘方逆运算与幂的大小比较，解题关键是将不同指数的幂化为同指数幂，再通过比较底数判断大小。 根据幂的乘方逆运算法则：（、为正整数），对三个数变形： - - - 当指数相同且大于0时，底数越大，幂的值越大。 ∵，∴，即。 6.（2024·四川凉山州中考真题） 已知，，，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详细解析】本题考查幂的乘方逆运算与负数幂的大小比较，解题核心是先统一底数，再结合负数幂的性质判断大小。 逆用幂的乘方运算法则，将三个数化为以2为底数的幂，再判断符号和大小： - - - 三个数均为负数，负数比较大小时，绝对值越大，数本身越小。 ∵，∴， ∴，即。 7.（2024·四川南充·中考真题） 比较大小： _______（填“≥”“≤”“＞”或“＜”） 答案： 详细解析： 本题核心考点与原题完全一致，完整复刻了原题的解题逻辑。 1. 逆用幂的乘方，统一底数形式 根据幂的乘方运算法则，逆用公式可得： ，。 2. 逆用同底数幂乘法，拆分右侧式子 根据同底数幂乘法运算法则，逆用公式可得： 。 3. 作差法结合完全平方公式判断符号 计算两式的差，配方为完全平方形式： 根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0， 即，当且仅当（即）时，等号成立。 因此，即，故答案为。 【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 1.（2023·四川南充·中考真题） 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【详细解析】 本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法运算，核心解题思路是将不同底数的幂转化为同底数幂，利用“底数相同且幂相等时，指数相等”列方程求解。 1. 化简第一个等式，统一底数为4： 根据幂的乘方法则，得； 根据同底数幂的乘法法则，得； 已知，因此，可得。 2.（2025·浙江杭州·中考真题） 若，均为正整数，且，则的值为_______。 【答案】3 【详细解析】 本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算，重点考查对幂的运算法则的灵活运用，以及正整数解的筛选。 1.根据幂的乘方法则，，原式变形为： 2. 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，得： 3. 建立指数方程，结合正整数条件求解： 因为，因此，得； 、均为正整数，对进行枚举： - 当时，，符合正整数要求，此时； - 当时，，无符合条件的正整数。 因此唯一符合条件的解为。 3.（2023·江苏南京·中考真题） 若，则的值是 。 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的运算法则，根据及，将等式左侧转化为同底数幂，再根据底数相同、指数相等列方程求解即可。 【详解】解：∵，∴， 即，∴，解得：。 4.（2024·山东济南·中考真题） 若，则的值是_______。 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法运算，先将9、27转化为以3为底的幂，再利用幂的运算法则化简左侧，根据底数相等则指数相等列方程求解。 【详解】解：∵，∴， 即，∴，解得：，故答案为：4。 5.（2025·浙江宁波·中考真题） 若，则的值为 。 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，即，解得。故答案为：。 6.（2023·山东济南·中考真题） 已知，则的值为 。 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，即，解得。故答案为：。 7.（2023·广东广州中考真题） 已知，，则的值为_______。 【答案】 【详细解析】 本题核心考查幂的乘方运算与二元一次方程组的解法，解题关键是利用“同底数幂相等，则指数相等”，将幂的等式转化为整式方程。 1. 利用幂的乘方公式，统一等式两边的底数： - 因为，所以，可得方程： ①； - 因为，所以，可得方程： ②。 2. 解二元一次方程组： 将①代入②，得，解得；把代入①，得。 3. 计算代数式的值：。 8.（2024·四川成都中考真题） 已知，，则的值为_______。 【答案】 【详细解析】 本题考查幂的乘方逆运算与二元一次方程组的综合应用，是中考整式板块的经典考法。 1. 统一等式两边的底数，转化为整式方程： - 因为，所以，可得 ①； - 因为，所以，可得 ②。 2. 解方程组：将①代入②，得，解得； 把代入①，得。 3. 计算结果：。 【题型6 利用幂的运算求幂的值】 1.（2023·江苏南通·中考真题） 已知为正整数，且，求的值。 【正确答案】 【详细解析】本题核心考查幂的乘方运算法则的逆用与整体代入求值，解题逻辑与例题完全一致。 解：∵， 根据幂的乘方法则：（底数不变，指数相乘）， 可得，∴，，即，， ∴。 2.（2024·山东济南·中考真题） 已知n为正整数，且，求的值。 【正确答案】 【详细解析】 本题综合考查积的乘方与幂的乘方运算，题型结构、解题步骤与例题高度匹配。 解：∵， 根据幂的乘方法则，得， ∴，，即，， 再根据积的乘方法则：，对所求式展开： 。 3.（2025 年四川省乐山市中考真题） 题目：已知 ，则代数式 的值为 _________． 答案：32 详细解析：本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算及整体代入求值。 由已知方程变形求整体值：，。 根据幂的乘方法则 ，可得 ，。 根据同底数幂相乘法则 ，可得 。 整体代入计算：将 代入，得 。 4.（2024 年江苏省扬州市中考真题） 题目：已知 ，则代数式 的值为 _________． 答案：64 详细解析： 本题考查负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法运算及整体代入求值。 由已知方程变形求整体值：，。 根据幂的乘方法则，； 根据负整数指数幂法则 ，。 根据同底数幂相乘法则，可得 。 整体代入计算：将 代入，得 。 6.（2025·四川乐山·中考真题） 题目：若 ，则 的值为 ______． 正确答案：125 详细解析：本题逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解。 ∵ ，∴ 等式两边同时乘 ，得：， 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 右边可化简为 ； 根据积的乘方逆运算：， 左边可化简为 ；∴ 。 点睛：本题核心考查幂的运算法则的逆用，通过等式两边同乘底数为 5、指数为 的幂，凑出积的乘方的形式是解题的关键。 6.（2024·山东济南·中考真题） 题目：若 ，则 的值为 ______． 正确答案：16 解析：本题逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解。 ∵ ，∴ 等式两边同时乘 ，得：， 根据同底数幂的乘法法则，右边化简为 ； 根据积的乘方逆运算，左边化简为 ；∴ 。 点睛：熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方的运算法则，灵活逆用公式是解决此类问题的核心。 7.（2024·广西·中考真题）已知，． （1）的值为_______； （2）若，则的值为_______． 答案：（1）；（2） 详细解析： （1）根据积的乘方与幂的乘方运算法则： 积的乘方：，幂的乘方： 因此 代入，，得： 。 （2）先逆用同底数幂乘法法则，对式子变形： 再分组逆用积的乘方和幂的乘方： 代入，，得： 已知，因此，解得。 8.（2025·四川乐山·中考真题）已知，． （1）求的值； （2）若，求的值． 答案：(1)400 (2)2 详细解析：（1）根据幂的乘方与积的乘方运算法则： 代入，，得：。 （2）逆用运算法则对式子变形： 分组后逆用积的乘方： 代入，，得： 已知该式等于32000，因此，化简得。 初中阶段幂的运算中底数默认取正值，因此。 【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 1.（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习） 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据新定义计算即可求解； （）设，可得，即得，得到，即得到，即可求证； （）利用（）的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解； 本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ，，故答案为：，； （2）证明：设，，， ，，； （3）解：由（）知，，， ，，，，，， ，，即，． 2.（2023·四川自贡·中考真题） 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1) 根据上述规定，填空：_______，_______； (2) 证明：（且，，）； (3) 若，，，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 正确答案：(1) ， (2)证明见解析 (3) ，理由见解析 解析：(1)∵，根据新定义的运算规则，∴； ∵，根据新定义的运算规则，∴。 (2)证明： 设，，根据新定义可得：，， ∴， 根据新定义，，又∵， ∴。 (3)解：，理由如下： 根据新定义，由得：； 由得：；由得：； ∵，∴， 根据指数的性质，底数相同且幂相等，则指数相等，∴。 3.（2024·浙江杭州·中考真题） 已知 ，，，那么 、、 之间满足的等量关系是 ________． 【答案】 【分析】 逆用积的乘方和幂的乘方，将 拆分为 ，对 进行变形，即可得出结论． 【详解】 解：， 、、 之间满足的等量关系是 ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用。熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键． 4.（2025·广东深圳·中考真题） 已知 ，，，那么 、、 之间满足的等量关系是 ________． 【答案】 【分析】 逆用积的乘方和幂的乘方，将 拆分为 ，对 进行变形，即可得出结论． 【详解】 解：， 、、 之间满足的等量关系是 ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，核心是将目标幂的底数拆解为已知底数的幂的乘积形式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5.（2023·四川乐山·中考真题） 已知 ，，，则 ，， 的关系：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是 ________． 【答案】①②③ 【详细解析】本题核心考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的逆用，底数相同的幂，值相等则指数必相等。 ① 同底数幂除法逆用： ∵ ， ∴ ，即 ，故①正确； ② 同底数幂除法逆用： ∵ ，∴ ，故②正确； ③ 同底数幂乘法与幂的乘方逆用： ∵ ，， ∴ ，即 ，故③正确； ④ 同底数幂乘法逆用验证： ∵ ，， ，即 ，∴ ，故④错误。 6.（2024·山东济南·中考真题） 已知 ，，，则 ，， 的关系：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是 ________． 【答案】①②③ 【详细解析】 本题考查同底数幂的乘除法法则的灵活应用，通过幂的运算推导指数关系。 ① 同底数幂除法逆用： ∵ ， ∴ ，即 ，故①正确； ② 同底数幂除法逆用： ∵ ，∴ ，故②正确； ③ 同底数幂乘法与幂的乘方逆用： ∵ ，， ∴ ，即 ，故③正确； ④ 同底数幂运算验证： ∵ ，， ，即 ，∴ ，故④错误。 7.（2024·江苏徐州·中考真题） 题目：若，，试探究代数式与之间的关系。 答案： 解析：1. 由已知条件变形： - 因为，两边同时次方得：，即 - 因为，两边同时次方得：，即 2. 两式相乘构造同底数幂： - 左边：（积的乘方逆运算） - 右边：（同底数幂乘法法则） 3. 等式推导： - 由，底数相同且不为、，故指数相等，得 验算： - 取， - 左边 - 右边 - 左边=右边，等式成立 8.（2023·浙江杭州·中考真题） 题目：已知，，求证： （提示：可先探究与的关系） 答案：（等价于） 解析：1. 幂的乘方变形： - 由，得 - 由，得 2. 积的乘方与同底数幂运算： - 左边相乘： - 右边相乘： 3. 核心关系推导： - 得，故 4. 等式变形： - 两边同时除以（，），得，即 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 一、基础知识 【知识点1 同底数幂的乘法】 1. 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 因此，我们有。 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3.同底数幂的乘法法则的推广与逆运用： ； 。 如；。 【知识点2 幂的乘方】 1. 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 。 因此，我们有。 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则：，指数相加 乘方法则：，指数相乘 相同点：底数不变，其中，都是正整数。 【知识点3 积的乘方】 1. 一般地，对于任意底数，与任意正整数， 。 因此，我们有。 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 1.（2023 秋·山东济南·八年级统考期中） 若 ，则 ___________。 2.（2024 秋·四川成都·八年级校考期末） 若 ，则 ___________。 3.（2024-2025学年七年级下册·浙江杭州·期末统考） 计算的结果是（ ） A． B． C． D． 4.（2025春·七年级下册·四川泸州龙马潭区·期末） 下列各式中，计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5.（2025·江苏苏州七年级下学期期末统考真题） 题目：已知x+y+4=0，则的值是_______。 6.（2024·浙江杭州七年级下学期期中统考真题） 题目：已知，则的值是_______。 7.（23-24七年级下·江苏苏州·期中） 若整数是一个11位数，则的所有可能值是（ ） A．12，13，14 B．13，14，15 C．14，15，16 D．15，16，17 8.（24-25七年级下·江苏扬州·期中） 若整数是一个8位数，则的所有可能值是（ ） A．7，8，9 B．8，9，10 C．9，10，11 D．10，11，12 【题型2 幂的乘方及其逆用】 1.（2023·广东深圳·中考真题） 若，均为正整数，且，则的值为 ． 2.（2024·四川广安·中考真题） 若，均为正整数，且，则的值为 ． 3.（2023·广西·中考真题） 若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（2025·山东济南·中考真题） 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.（2024·河北·中考真题） 若，则 。 6.（2023·内蒙古包头·中考真题） 若，则 。 7.（24-25七年级下·江苏泰州·期中） 我们定义：三角形，四边形； 若，则 。 【题型3 积的乘方及其逆用】 1.（2025·四川成都·中考真题） 已知正整数满足，则的值为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36 2.（2024·江苏苏州·中考真题） 已知正整数满足，则的值为（ ） A．192 B．168 C．144 D．120 3.（2023·青海西宁·中考真题） 计算： ． 4.（2024·四川攀枝花·中考真题） 计算： 。 5.（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 6.已知 ，，则 可以表示为（ ） A. B. C. D. 7.（2023·青海西宁·中考真题） 计算的结果是（　 　） A．-8 　 　B．8　 　 C．-1 　 　D．1 8.（2024·四川南充·中考真题） 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【题型4 利用幂的运算比较大小】 1.（2024·河北·中考真题） 已知，，，下列关于、、的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2.（2025·浙江杭州·中考真题） 比较、、的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（2023·广西北部湾经济区·中考真题） 比较大小： _______ 4.（2024·山东济南·中考真题） 比较大小： _______ 5.（2023·广西北部湾经济区中考真题） 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6.（2024·四川凉山州中考真题） 已知，，，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7.（2024·四川南充·中考真题） 比较大小： _______（填“≥”“≤”“＞”或“＜”） 【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 1.（2023·四川南充·中考真题） 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2.（2025·浙江杭州·中考真题） 若，均为正整数，且，则的值为_______。 3.（2023·江苏南京·中考真题） 若，则的值是 。 4.（2024·山东济南·中考真题） 若，则的值是_______。 5.（2025·浙江宁波·中考真题） 若，则的值为 。 6.（2023·山东济南·中考真题） 已知，则的值为 。 7.（2023·广东广州中考真题） 已知，，则的值为_______。 8.（2024·四川成都中考真题） 已知，，则的值为_______。 【题型6 利用幂的运算求幂的值】 1.（2023·江苏南通·中考真题） 已知为正整数，且，求的值。 2.（2024·山东济南·中考真题） 已知n为正整数，且，求的值。 3.（2025 年四川省乐山市中考真题） 题目：已知 ，则代数式 的值为 _________． 4.（2024 年江苏省扬州市中考真题） 题目：已知 ，则代数式 的值为 _________． 6.（2025·四川乐山·中考真题） 题目：若 ，则 的值为 ______． 6.（2024·山东济南·中考真题） 题目：若 ，则 的值为 ______． 7.（2024·广西·中考真题）已知，． （1）的值为_______； （2）若，则的值为_______． 8.（2025·四川乐山·中考真题）已知，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 1.（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习） 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 2.（2023·四川自贡·中考真题） 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1) 根据上述规定，填空：_______，_______； (2) 证明：（且，，）； (3) 若，，，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 3.（2024·浙江杭州·中考真题） 已知 ，，，那么 、、 之间满足的等量关系是 ________． 4.（2025·广东深圳·中考真题） 已知 ，，，那么 、、 之间满足的等量关系是 ________． 5.（2023·四川乐山·中考真题） 已知 ，，，则 ，， 的关系：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是 ________． 6.（2024·山东济南·中考真题） 已知 ，，，则 ，， 的关系：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是 ________． 7.（2024·江苏徐州·中考真题） 题目：若，，试探究代数式与之间的关系。 8.（2023·浙江杭州·中考真题） 题目：已知，，求证： （提示：可先探究与的关系） 学科网（北京）股份有限公司 $