精品解析：广西南宁市天桃实验学校2025-2026学年下学期三月单元作业九年级数学试题

2026年春季学期九年级三月单元作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. 12 D. 1 2. 如图是由正方体组成的立体图形．其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（ ） A. B. C. D. 4. 小马在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 7. 不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（ ） A. 增大至12.5 B. 减小至12.5 C. 增大至2 D. 减小至2 9. 如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示几何图形，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 11. 如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为和，连接，，将绕点A逆时针旋转得到，点O与点C对应，点B与点D对应，当点C落在x轴上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 数据2，3，4，5，5的众数是______． 14. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是___． 15. 如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距______． 16. 如图，以矩形的顶点B为圆心，的长为半径作，交于点F，点E为上一点，连接，，并延长交于点G．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为． 19. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天九年级按班级分组的方式组织了环保知识竞赛．九（1）班和九（2）班学生人数都为50人，竞赛结束后从两个班级的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 九（1）班10名学生成绩统计图 九（2）班10名学生成绩统计图 平均数 中位数 方差 九（1）班 932 95 九（2）班 925 96.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若小强的本次竞赛成绩为96分，根据以上数据，你认为小强成绩在哪个班级的排名更靠前？请说明理由； （3）此次竞赛得分90分及以上为“优秀”等级，请估计九（1）班学生中达到“优秀”等级的总人数． 20. 为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． （1）若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． （2）11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 21. 如图，在半径为5的中，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D，平分，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 22. 已知抛物线 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【探究发现】 （2）甲同学发现，对于任意正数m，只要取，就能得到y的最小值，请结合函数解析式解释甲同学的说法是否合理； （3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．乙同学发现，随着m的变化，抛物线顶点的位置发生变化，且经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为双等四边形，原等腰三角形称为四边形的伴随三角形．如图1，在中，，，．此时，四边形是双等四边形，是伴随三角形．同学们对双等四边形产生了浓厚的兴趣，由此展开了探索学习． 【初步理解】 （1）小军通过观察证明，发现图1双等四边形中，与有特殊的位置关系，请写出与位置关系：______； 深入探究】 （2）①如图2，小红发现将图1中的两个等腰直角三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中的结论依然成立，请证明； ②如图3，在钝角中，．小明发现：可以将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，可以得到双等四边形，请证明． 【方法应用】 （3）小亮受到同学们的启发，继续探索伴随三角形为锐角三角形时的情形．如图4，在锐角三角形中，，，在平面内找一点D，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期九年级三月单元作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. 12 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 2. 如图是由正方体组成的立体图形．其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，根据主视图是从正面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从正面看到的图形，即主视图如下： ， 故选：B． 3. 生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案． 【详解】解：∵， ∴质量为的篮球最接近标准质量， 故选：B． 4. 小马在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、负整数指数幂的运算法则，逐一判断各选项的正误，找出正确的选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答即可． 要证明命题“若，则”为假，需找反例，即满足 但不满足 的值． 由 得，即 或． 当 时，不成立，故反例为的值． 【详解】解：∵ 当时，，但，不满足． ∴ 命题“若，则 ”为假命题． 其他选项：B 中，，不满足前提； C 中，，不满足前提； D 中，且，满足结论，故不能作为反例． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 7. 不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率． 计算奇数的个数与总球数的比值即可． 【详解】解：∵总球数为5，其中奇数有1、3、5共3个， ∴摸出的小球上面的数字是奇数的概率是． 故选：C． 8. 光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（ ） A. 增大至12.5 B. 减小至12.5 C. 增大至2 D. 减小至2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．根据图象和已知条件确定光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：∵由图知，光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系， 设这个函数关系式为， ∵当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω， ∴， ∴这个函数关系式为， 当时，， ∴光照强度减小至2， 故选：D． 9. 如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，以及正切的定义，由矩形的性质可得出，，由正切的定义可得出，即，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作于点C，由勾股定理求出，求出，进而求出，再利用扇形和三角形的面积公式计算即可． 详解】解：如图，作于点C， 则， ∵圆心O到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴胶皮的面积 ． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为和，连接，，将绕点A逆时针旋转得到，点O与点C对应，点B与点D对应，当点C落在x轴上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明是等边三角形，勾股定理求出和，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， 又∵轴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系、旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 数据2，3，4，5，5的众数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了求众数，根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可． 【详解】解：数据2，3，4，5，5的众数是5． 故答案为：5． 14. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知反比例函数图象的分布，求参数范围．根据反比例函数的图象经过二、四象限，则，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 15. 如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的定义是解题的关键． 由题意得，，，则有，在中利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 在中，， ∴， ∴A，C两景点相距． 故答案为：． 16. 如图，以矩形的顶点B为圆心，的长为半径作，交于点F，点E为上一点，连接，，并延长交于点G．若，，，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据圆周角定理得到，结合可得，通过证明，得到，推出，设，表示出和的长，根据列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解分式方程； （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． （1）分别作出点关于y轴对称点的坐标，再顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标分别乘以即可得到点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即所求： 19. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天九年级按班级分组的方式组织了环保知识竞赛．九（1）班和九（2）班学生人数都为50人，竞赛结束后从两个班级的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 九（1）班10名学生成绩统计图 九（2）班10名学生成绩统计图 平均数 中位数 方差 九（1）班 93.2 95 九（2）班 92.5 96.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若小强的本次竞赛成绩为96分，根据以上数据，你认为小强成绩在哪个班级的排名更靠前？请说明理由； （3）此次竞赛得分90分及以上为“优秀”等级，请估计九（1）班学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1）＜ （2）小强成绩在九（1）班的排名更靠前，理由见解析 （3）40人 【解析】 【分析】本题考查了方差、中位数、用样本估计总体，从统计图表获得必要的信息是解题的关键． （1）根据方差的意义即可判断； （2）根据中位数的意义即可得出结论； （3）用九（1）班学生竞赛得分90分及以上的人数占比乘50即可求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知，九（1）班的成绩波动程度小于九（2）班的成绩波动， ∴ 故答案为：＜； 【小问2详解】 解：小强成绩在九（1）班的排名更靠前，理由如下： 由表格可知，九（1）班的成绩中位数为95分，九（2）班的成绩中位数为96.5分， ∵小强的本次竞赛成绩为96分， ∴小强的成绩高于九（1）班的成绩中位数，低于九（2）班的成绩中位数， ∴小强成绩在九（1）班的排名更靠前； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计九（1）班学生中达到“优秀”等级的总人数为40人． 20. 为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． （1）若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． （2）11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【答案】（1）266元 （2）属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯，用电量为200千瓦·时 【解析】 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦·时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为千瓦·时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：（元）， 答：小明家10月份应缴纳电费为266元； 【小问2详解】 解：当用电300千瓦·时，应缴纳电费为（元）， 此时平均电费为（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦·时，且， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为千瓦·时， 根据题意，得， 解得， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦·时． 21. 如图，在半径为5的中，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D，平分，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，则有，再根据切线的判定定理即可证明； （2）先证明，得到，代入数据即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径，的半径为5， ∴，， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，即， 解得． 22. 已知抛物线 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【探究发现】 （2）甲同学发现，对于任意正数m，只要取，就能得到y的最小值，请结合函数解析式解释甲同学的说法是否合理； （3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．乙同学发现，随着m的变化，抛物线顶点的位置发生变化，且经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）①；②当时，函数y有最小值，此时的y值为；（2）甲同学的说法合理；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题、二次函数的平移； （1）①代入即可求解；②将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）将二次函数化为顶点式，即可得出结论； （3）根据二次函数的顶点式可知，抛物线G顶点为，根据平移的性质得到抛物线顶点为，由题意得，整理可得，再结合求出自变量x的取值范围即可． 【详解】解：（1）①当时，对应的函数解析式为； ②， ∵， ∴当时，函数y有最小值，此时的y值为； （2）， ∵， ∴当时，函数y有最小值， ∴甲同学的说法合理； （3）抛物线， ∴抛物线G顶点为， ∵抛物线G向右平移m个单位得到抛物线， ∴抛物线顶点为， 由题意得，则， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴这个函数关系式为． 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为双等四边形，原等腰三角形称为四边形的伴随三角形．如图1，在中，，，．此时，四边形是双等四边形，是伴随三角形．同学们对双等四边形产生了浓厚的兴趣，由此展开了探索学习． 【初步理解】 （1）小军通过观察证明，发现图1双等四边形中，与有特殊的位置关系，请写出与位置关系：______； 【深入探究】 （2）①如图2，小红发现将图1中的两个等腰直角三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中的结论依然成立，请证明； ②如图3，在钝角中，．小明发现：可以将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，可以得到双等四边形，请证明． 【方法应用】 （3）小亮受到同学们的启发，继续探索伴随三角形为锐角三角形时的情形．如图4，在锐角三角形中，，，在平面内找一点D，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，再结合，得到，再根据平行线的判定即可得出结论；②根据旋转的性质得，，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，则，再根据双等四边形的定义即可证明； （3）过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，在中利用余弦的定义求出，根据三线合一性质得到，再根据双等四边形的定义可知四边形是以为伴随三角形的双等四边形，再通过证明，得到，代入数据即可求解． 【详解】解：（1）由图1得，和是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：由图2得，和是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即（1）中的结论依然成立； ②证明：由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是双等四边形； （3）如图，过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接， 则， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了平行线的判定、等腰三角形的性质与判定、旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的性质与判定，理解“双等四边形”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $