精品解析：四川省成都市双流区成都市实外西区学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上期九年级 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷含三个大题，18个小题，满分100分；B卷含两个大题，8个小题，满分50分．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上均无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第I卷为选择题，用铅笔准确填涂作答；A卷的第II卷和B卷用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在相应各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 错银云纹铜方壶是战国时期的青铜盛酒器，现收藏于四川博物院，它具有直口、长颈、溜肩、鼓腹、高圈足等特点．如图，该壶口的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的俯视图的识别，考查的知识点是三视图的定义，关键是理解俯视图是从物体正上方观察得到的平面图形，结合错银云纹铜方壶壶口的方形结构和云纹装饰的特征来判断符合的图形． 【详解】解：俯视图是从物体的正上方观察所得到的平面图形，错银云纹铜方壶的壶口为方形，且四个角带有错银云纹装饰，从正上方观察时，壶口的外轮廓为正方形，内轮廓为正方形，同时四个角有对应云纹的斜线连接，该特征与选项A的图形一致； 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 3. 若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，关键是掌握“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数”．先通过已知点求出反比例函数的比例系数，再分别计算各选项中点的横纵坐标乘积，与值对比，相等则该点在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴将，代入中，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为． A选项：，故该点不在函数图象上； B选项：，故该点在函数图象上； C选项：，故该点不在函数图象上； D选项：，故该点不在函数图象上； 故选：B． 4. 某口袋里现有12个红球和若干个白球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验500次，其中有300次是红球，估计白球个数为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率是解决本题的关键．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有白球x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程无实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解参数取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解， 又∵一元二次方程无实数解时，根的判别式， 在方程中，，，， ∴， 即， 移项得， 两边同时除以，不等号方向改变，得， 故选：D． 6. 天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 7. 小明在平面直角坐标系中画了一个图形，其中一点的坐标为，以原点为位似中心，将该图形扩大为原来的3倍后，则对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质，将点的坐标分别乘以3 或即可． 【详解】解：∵一点的坐标为，以原点为位似中心，将该图形扩大为原来的3倍后， ∴对应点的坐标是或，即或 故选：D 8. 如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（ ） A. 56 B. 24 C. 26 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由矩形的性质得，，，再根据已知和相似三角形的性质可得，，得到，进而由得，即得，最后根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为，且的面积与的面积比为， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握并利用两内项之积等于两外项之积的性质对式子变形整理是解题的关键． 10. 如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确找出对应成比例的线段，利用比例式求出未知线段长度，再通过线段和求出的长．先根据平行线分线段成比例得到与的比例关系，结合已知数据计算出的长度，最后将与相加得到的长． 【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴； 故答案为：． 11. 小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行投影的性质，核心是同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长的比值为定值(由相似三角形对应边成比例推导而来)． 【详解】解：厘米米，小红的身高为米； 设小红的影长为米， ∴， 解得； 故答案为：． 12. 若是反比例函数图象上的两个点，则___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 > 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，将点A和点B的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出和的值，再比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，为菱形的对角线，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线分别交于点，，连接．若，则的度数为___________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质．关键是先利用菱形的性质求出相关内角的度数，再结合线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而通过三角形外角计算目标角度． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，平分， ∴； 根据作图痕迹，直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算加减即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） （2） ， ， 即， 解得：． 15. 天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括(艺术素养课程)，(科学探索课程)，(体育运动课程)，(社会实践课程)，(传统文化课程)．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共___________人； （2）估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 【答案】（1）； （2）人； （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合分析、用样本估计总体以及列表法求概率，关键是从双统计图中精准提取数据，建立数量关系并正确列举随机事件的所有等可能结果． （1）结合扇形统计图中类课程的占比和条形统计图中类的具体人数，利用部分量除以对应百分比求出投票总人数； （2）先通过类课程的扇形圆心角度数计算出其在样本中的占比，再用该占比乘以全校总人数，以此估计总体中选择类课程的学生数量；第 （3）用列表法列出两人选课的所有等可能结果，数出两人选同一类课程的结果数，最后根据概率公式计算出对应概率． 【小问1详解】 解：∵类课程人数为人，占总人数的， ∴参加投票的学生总数为(人)， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵类课程对应的扇形圆心角为， ∴类课程人数占总人数的比例为， ∴估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有(人)， 答：估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有人． 【小问3详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好参加同一类课程的结果有3种， ∴两人恰好参加同一类课程的概率为． 16. 中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在处立一根标杆，且，然后小明走到处，且，此时他的眼睛所处位置为，与屋顶最高处和标杆顶端在一条直线上．已知，，点，，在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点作，交于点，交于点，先证出四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质可得，，，，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形和平行四边形都是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离的长为． 17. 如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点．关键是先通过平行四边形的判定过渡到菱形，再利用菱形性质和勾股定理列方程求解线段长度． （1）先由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，进而根据“邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明； （2）连接菱形对角线交于点，利用菱形对角线互相垂直的性质结合，证出四边形是平行四边形，得到；设，结合表示出、，用勾股定理表示出，通过比例关系得到与的数量关系，在中列勾股定理方程求出；最后利用线段垂直平分线的性质或勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， ，即是直角三角形， 点是的中点， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，则， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 由此可得，即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 由，得， ，，， 四边形是菱形，， 垂直平分， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， ； 综上，的长为，的长为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．已知为反比例函数图象上一点，且在直线下方． （1）求的值； （2）过点作于点，若，求点的坐标； （3）在（2）问的条件下，为轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点(异于点)，连接，若的面积等于的面积的，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积的割补计算以及一元二次方程的求解等知识点，关键在于将几何条件(如垂直、角度、面积)转化为代数方程，利用函数图象上点的坐标特征建立等式求解． （1）先利用一次函数解析式求出点的纵坐标，得到点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数解析式，通过待定系数法求出的值； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点、的坐标，得出是等腰直角三角形，进而得到，结合构造出等腰直角三角形，用参数表示出点的坐标，再根据等腰直角三角形的边长关系得到点的坐标表达式，最后将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程求出参数，从而得到点的坐标； （3）先通过割补法求出的面积，再根据题意得到的面积，设出直线的解析式，求出其与轴交点的坐标，联立直线与反比例函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系求出交点的坐标，最后根据的面积列出方程，解出直线解析式中的参数，进而得到直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得； 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， ∴令，得，即；令，得，即， ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过点作轴于，过点作交的延长线于， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴由等腰直角三角形的性质，得． 设点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，整理为 解得或(不满足点在第一象限，舍去)， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴． ∵的面积等于的面积的， ∴． 设直线的解析式为， ∵为轴正半轴上一点， ∴，且． 联立直线与反比例函数的解析式， 消去，得 整理得． ∵点是直线与反比例函数的交点， ∴是方程的一个根， 设另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系，得， ∴． ∵点点在第一象限， ∴， 将代入，得，即， ∴， 解得， 此时直线的解析式为． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 设是关于的方程的一个根，则a的值为___________． 【答案】 14 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据方程根的意义，将代入方程求解a． 【详解】解：将代入方程，得，即，整理得，解得． 故答案为：14． 20. 如图，连接正五边形所有对角线，它们两两相交构成一个五角星形状．若正五边形的边长，则对角线的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定与性质，先根据正五边形的内角特点推导相关角的度数，证明与相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长和线段长度建立方程，求解得出对角线的长度． 【详解】解：设对角线的长度为． ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 又∵正五边形中， ∴，且， ∴， ∴，即． ∴， 解得． 故答案为：． 21. 若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“差3方程”的概念是解题关键． 设方程的两根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，再结合“差3方程”以及完全平方公式可得关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵方程是“差3方程”， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时，符合题意； 当时，原方程为， 此时，符合题意； 综上所述，m的值为2或． 故答案为：2或 22. 如图，直线与反比例函数第一象限的图象交于点A，与反比例函数第二象限的图象交于点B，与y轴交于点C．直线平移后过原点，与反比例函数第一象限的图象交于点D，若，面积为4，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点．连接，，过点B作轴，过点A作轴，先证得，由得出，设，则，求出点C的纵坐标表达式，再由及平移的性质得出，从而得到面积的表达式求得k值． 【详解】解：如图，连接，，过点B作轴，过点A作轴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，直线平移后过原点得， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 23. 如图，中，，，为边上的中线．过点作射线交延长线于点，且，过点作延长线的垂线，垂足为点，为线段上一动点，且．当时，的长为______；在整个运动过程中，线段长的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过作于点，则，由直角三角形性质可得，又，则，通过等腰三角形性质可得，根据勾股定理得，再由等腰三角形判定可得，即有，求出，再由即可求解；过作于点，过作于点，作点关于的对称点，连接，，则，，，求得，，设，则，，然后证明，所以，则有，从而可求得，，，则，又，为边上的中线，即为中点，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，当三点共线时，最小，即最小，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵，，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于点，过作于点，作点关于的对称点，连接，， 则，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，即为中点， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，当三点共线时，最小，即最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 【答案】（1） （2）80元或90元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用． （1）根据销售量与降价金额的关系列出函数关系式即可； （2）根据利润的计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设销售单价为x元，则降价了元， ∴多销售的个数为个， 依题意得：， 化简得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得，， ∴当售价单价定为80元或90元时，每天可获利1200元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，点是第一象限内反比例函数上一点，若，求点的坐标； （3）若将直线绕点逆时针旋转后与反比例函数交于点，且，求点的横坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）点的横坐标为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解，关键是利用垂直和旋转的性质构造相似三角形，结合函数解析式建立方程求解． （1）利用交点同时在一次函数与反比例函数图象上，将代入两个函数解析式，得到关于的方程，结合函数图象在第一象限的条件确定，求解即可； （2）先由（1）的结果确定点坐标和反比例函数解析式，过作辅助线构造直角三角形，利用垂直的性质证明三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解后舍去与重合的解，得到点坐标； （3）先由在两个函数图象上，推导得到点纵坐标为定值，即，再根据旋转的性质得到，构造相似三角形，利用得到相似比，进而得到点坐标与的关系，将点坐标代入反比例函数解析式，建立一元二次方程，求解后结合的条件得到符合要求的解． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数与反比例函数的图象上， ∴，， 当时，，整理得， 解得， ∵函数图象在第一象限， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入一次函数，得， ∴点的坐标为， 过点作轴于，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为，其中， 则，，，， ∴， 方程化为， 解得，(舍去)， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点在一次函数与反比例函数的图象上， ∴，， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴，， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为， ，即点的坐标为， 过点作轴于，过点作于，则， ∵直线绕点逆时针旋转得到直线， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 化为， 解得， ∵点在第一象限， ∴， ∴， 即点的横坐标为． 26. 已知中，为射线边上一点，动点在射线上运动，将直线绕点逆时针旋转(旋转角为)交射线于点，． 【初步感知】 （1）如图1，为等腰直角三角形，且为线段中点，猜想与的数量关系并说明理由； 【迁移探究】 （2）如图2，若，，点在线段上，点在线段上，且，猜想与的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，锐角中，，，，若，，求的长．(用含的代数式表示) 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）为等腰直角三角形，为中点，连接，利用等腰直角三角形中线的性质得到、，再由推出，进而得到，通过证明，从而证得； （2）以为圆心、为半径画弧交于，构造等腰，得到，结合推出，再由及补角性质得到，证明，利用与的比例关系得到； （3）分两种情况，点D在线段上，点D在线段的延长线上，先作于，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，再作于，通过得到的表达式，结合和的长度求出，最后在等腰直角中利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ∵为等腰直角三角形，且， ∴． ∵是的中点， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 以为圆心，为半径画弧，交于点，则． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． ∵，且， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：分两种情况： 当点D在线段上时，过点作于点，过点作于点，则． 在中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴． 由勾股定理得：． 当点D在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点，则． 同理可得，． ∵，， ∴， ∴，即． ∵，，， ∴， ∴． 同理可得，为等腰直角三角形，， 由勾股定理得：． 【点睛】通过构造辅助线将旋转角的条件转化为角的等量关系，进而利用全等或相似三角形的性质推导线段关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期九年级 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷含三个大题，18个小题，满分100分；B卷含两个大题，8个小题，满分50分．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上均无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第I卷为选择题，用铅笔准确填涂作答；A卷的第II卷和B卷用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在相应各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 错银云纹铜方壶是战国时期的青铜盛酒器，现收藏于四川博物院，它具有直口、长颈、溜肩、鼓腹、高圈足等特点．如图，该壶口的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 3. 若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 某口袋里现有12个红球和若干个白球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验500次，其中有300次是红球，估计白球个数为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 关于x的一元二次方程无实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明在平面直角坐标系中画了一个图形，其中一点的坐标为，以原点为位似中心，将该图形扩大为原来的3倍后，则对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（ ） A. 56 B. 24 C. 26 D. 38 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，则的值为_____． 10. 如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 11. 小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 12. 若是反比例函数图象上的两个点，则___________．（填“>”“<”或“=”） 13. 如图，为菱形的对角线，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线分别交于点，，连接．若，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括(艺术素养课程)，(科学探索课程)，(体育运动课程)，(社会实践课程)，(传统文化课程)．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共___________人； （2）估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 16. 中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在处立一根标杆，且，然后小明走到处，且，此时他的眼睛所处位置为，与屋顶最高处和标杆顶端在一条直线上．已知，，点，，在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离的长． 17. 如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．已知为反比例函数图象上一点，且在直线下方． （1）求的值； （2）过点作于点，若，求点的坐标； （3）在（2）问的条件下，为轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点(异于点)，连接，若的面积等于的面积的，求直线的解析式． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 设是关于的方程的一个根，则a的值为___________． 20. 如图，连接正五边形所有对角线，它们两两相交构成一个五角星形状．若正五边形的边长，则对角线的长度为___________． 21. 若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 22. 如图，直线与反比例函数第一象限的图象交于点A，与反比例函数第二象限的图象交于点B，与y轴交于点C．直线平移后过原点，与反比例函数第一象限的图象交于点D，若，面积为4，则k的值为___________． 23. 如图，中，，，为边上的中线．过点作射线交延长线于点，且，过点作延长线的垂线，垂足为点，为线段上一动点，且．当时，的长为______；在整个运动过程中，线段长的最小值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，点是第一象限内反比例函数上一点，若，求点的坐标； （3）若将直线绕点逆时针旋转后与反比例函数交于点，且，求点的横坐标． 26. 已知中，为射线边上一点，动点在射线上运动，将直线绕点逆时针旋转(旋转角为)交射线于点，． 【初步感知】 （1）如图1，为等腰直角三角形，且为线段中点，猜想与的数量关系并说明理由； 【迁移探究】 （2）如图2，若，，点在线段上，点在线段上，且，猜想与的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，锐角中，，，，若，，求的长．(用含的代数式表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $