专题1.3 直角三角形（4大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理性质（角互余、勾股定理、斜边上中线性质）、判定（角互余、勾股逆定理、中线判定）、HL全等判定及互逆命题与定理，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料通过分层题型（基础必考到压轴素养）设计，结合实际情境（如无人机飞行路径）培养数学眼光，探究式问题（如动点与一线三垂直模型）发展推理思维，课中辅助教学，课后助力学生巩固易错点（如勾股定理分类讨论），提升综合应用能力。

专题1.3 直角三角形 知识点1：直角三角形的性质 直角三角形的性质分类 具体内容 符号表示/说明 角的性质 两个锐角互余 若中，则 边的性质（勾股定理） 两条直角边的平方和等于斜边的平方 直角边为、，斜边为，则 特殊线段性质 斜边上的中线等于斜边的一半 斜边的中线为，则 知识点2：直角三角形的判定 1.角的判定：有两个角互余 的三角形是直角三角形（即若，则，为直角三角形）。 2.边的判定（勾股定理的逆定理）：若三角形的三边长、、满足，则该三角形为直角三角形，且为斜边。 3.特殊判定：一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形。 知识点3：直角三角形全等的判定（HL定理） 1.核心定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 2.补充说明：直角三角形全等还可使用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”判定，HL是直角三角形特有的全等判定方法。 知识点4：互逆命题与互逆定理 概念 定义 示例 互逆命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 原命题：直角三角形两锐角互余；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形 互逆定理 若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则这两个定理互为逆定理 勾股定理与勾股定理的逆定理互为逆定理 注意事项 1.每个命题都有逆命题，但并非每个定理都有逆定理； 2.原命题为真，逆命题不一定为真 原命题：对顶角相等（真）；逆命题：相等的角是对顶角（假） 【基础必考题型】 【题型1】直角三角形的角度计算 1.核心知识点 直角三角形两锐角互余的性质； 三角形内角和定理（）。 2.解题方法技巧 直接计算：已知直角三角形一个锐角，用减去该角得另一个锐角； 间接计算：通过三角形内角和或外角性质求出直角三角形的一个锐角，再用互余关系求另一个角。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 【题型2】勾股定理的基础应用 1.核心知识点 勾股定理（）； 勾股定理的逆用（已知三边判断直角三角形）。 2.解题方法技巧 已知直角边求斜边：； 已知斜边和一直角边求另一直角边：； 验证直角三角形：计算较短两边的平方和，若等于最长边的平方，则为直角三角形。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）在中，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为 ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 【题型3】HL定理证明直角三角形全等 1.核心知识点 直角三角形全等的HL判定定理； 全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）。 2.解题方法技巧 明确条件：先标注直角，再找出斜边和一组直角边分别相等； 规范书写：证明时需注明“Rt△”，再列出全等条件（斜边、直角边），最后用HL判定。 【例题3】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，，于点于点，，求证：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则的长为_______． 【题型4】互逆命题与逆定理的识别 1.核心知识点 互逆命题、互逆定理的定义； 命题的条件与结论拆分。 2.解题方法技巧 拆分命题：将原命题改写为“如果……那么……”的形式，拆分出条件和结论； 构造逆命题：交换条件和结论得到逆命题，判断逆命题的真假； 识别逆定理：若逆命题为真且经过证明，则与原定理互为逆定理。 【例题4】.（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式题4-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果，那么”的逆定理是： ． 【变式题4-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理的实际应用 1.核心知识点 勾股定理； 实际情境的几何建模（如航海、建筑、折叠等）。 2.解题方法技巧 建模转化：将实际问题转化为直角三角形问题（如求两点距离、物体高度等）； 确定边长：明确直角三角形的直角边和斜边，代入勾股定理计算。 【例题5】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【变式题5-1】.（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【变式题5-3】.（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【题型6】直角三角形全等的综合应用 1.核心知识点 HL定理及全等三角形的性质； 直角三角形的性质与判定。 2.解题方法技巧 先证全等：用HL或其他判定方法证明直角三角形全等； 再用性质：利用全等三角形的对应边、对应角相等，结合直角三角形性质求解线段长度或角度。 【例题6】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）实验与探究：小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小亮用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得．（图中的在同一平面上），求证此时． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，已知，，，在直线上取点． (1)如图（1），点在的延长线上，且，，试求的长； (2)如图（2），点在边上，，于点．若，，试求的长． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·上海·期末）（1）图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法．根据作法，我们可以用_______________的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的__________，得出，即射线平分． 如图，已知，求作的平分线． 作法 （1）以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交、于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于内的一点C； （3）作射线． 射线就是的平分线（图）． 图1 （2）乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与的两边重合，且两把三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O，则射线即为的平分线．请你根据乐乐的作法，证明射线为的平分线． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股定理与最短路径问题 1.核心知识点 勾股定理； “化折为直”思想（平面或立体图形中最短路径）。 2.解题方法技巧 平面图形：直接利用“两点之间线段最短”，结合勾股定理计算； 立体图形（如长方体、圆柱）：将立体图形表面展开为平面图形，转化为平面上的最短路径，再用勾股定理求解。 【例题7】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【题型8】直角三角形的探究式问题 1.核心知识点 直角三角形的性质与判定； 全等三角形、勾股定理的综合应用。 2.解题方法技巧 特例猜想：先通过特殊值（如边长为3、4、5的直角三角形）猜想结论； 严谨证明：结合直角三角形的性质、全等或勾股定理证明猜想； 拓展延伸：探究结论在一般情况下是否成立，体现逻辑推理素养。 【例题8】.（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·江西赣州·期中）综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点，，，在同一平面上），过点作于点． (1)【初步探究】如图①，求证：； (2)【变式探究】如图②，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； (3)【类比拓展】如图（3），在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 易错点 1.勾股定理应用错误：①混淆直角边和斜边，误将斜边当作直角边计算；②已知两边求第三边时，未分类讨论（如已知5、12，可能斜边为13或12）。 2.HL定理使用不当：①非直角三角形误用HL判定全等；②证明时未注明“直角三角形”，直接使用HL。 3.勾股定理逆定理应用偏差：未先确定最长边，直接验证三边平方关系。 4.互逆命题与逆定理混淆：认为所有定理都有逆定理，或误将逆命题当作逆定理。 5.直角三角形斜边上的中线性质遗忘：忽略“中线等于斜边一半”的应用，导致复杂问题无法简化。 重点 1.熟练掌握勾股定理及其逆定理，能灵活运用求边长、判定直角三角形。 2.掌握直角三角形全等的HL判定定理，能结合其他全等判定方法解决综合问题。 3.理解直角三角形的角、边性质，能准确进行角度计算和线段长度求解。 4.识别互逆命题与互逆定理，明确勾股定理与逆定理的互逆关系。 5.能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决实际应用问题。 难点 1.勾股定理与折叠、旋转、平行线等知识的综合应用，需灵活转化线段和角度。 2.分类讨论问题：已知直角三角形两边或不确定直角顶点时，需全面考虑所有可能情况。 3.立体图形中最短路径问题：需准确将立体图形展开为平面图形，再应用勾股定理。 4.跨学科和探究式问题：需从复杂情境中提取直角三角形模型，结合逻辑推理进行证明和探究。 5.直角三角形全等与性质的综合推理：需合理选择全等判定方法，串联多个知识点解决综合题。 【对应练习题】 一、单选题 1．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 2．已知在中，，，是边上的高，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．写出命题“如果，那么或．”的逆命题： ． 7．在中，，，则的度数等于 ． 8．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为 ． 9．如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是 ．（用含的代数式表示） 10．如图，已知中，，作边上的中线和高线，则 ． 三、解答题 11．如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 12．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 13．如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 15．【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 直角三角形 知识点1：直角三角形的性质 直角三角形的性质分类 具体内容 符号表示/说明 角的性质 两个锐角互余 若中，则 边的性质（勾股定理） 两条直角边的平方和等于斜边的平方 直角边为、，斜边为，则 特殊线段性质 斜边上的中线等于斜边的一半 斜边的中线为，则 知识点2：直角三角形的判定 1.角的判定：有两个角互余 的三角形是直角三角形（即若，则，为直角三角形）。 2.边的判定（勾股定理的逆定理）：若三角形的三边长、、满足，则该三角形为直角三角形，且为斜边。 3.特殊判定：一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形。 知识点3：直角三角形全等的判定（HL定理） 1.核心定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 2.补充说明：直角三角形全等还可使用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”判定，HL是直角三角形特有的全等判定方法。 知识点4：互逆命题与互逆定理 概念 定义 示例 互逆命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 原命题：直角三角形两锐角互余；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形 互逆定理 若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则这两个定理互为逆定理 勾股定理与勾股定理的逆定理互为逆定理 注意事项 1.每个命题都有逆命题，但并非每个定理都有逆定理； 2.原命题为真，逆命题不一定为真 原命题：对顶角相等（真）；逆命题：相等的角是对顶角（假） 【基础必考题型】 【题型1】直角三角形的角度计算 1.核心知识点 直角三角形两锐角互余的性质； 三角形内角和定理（）。 2.解题方法技巧 直接计算：已知直角三角形一个锐角，用减去该角得另一个锐角； 间接计算：通过三角形内角和或外角性质求出直角三角形的一个锐角，再用互余关系求另一个角。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形两个锐角互余的性质计算的度数． 【详解】解：是直角三角形，是直角． （直角三角形的两个锐角互余）． 又． ． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为， 故选：． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形的高的定义，由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型2】勾股定理的基础应用 1.核心知识点 勾股定理（）； 勾股定理的逆用（已知三边判断直角三角形）。 2.解题方法技巧 已知直角边求斜边：； 已知斜边和一直角边求另一直角边：； 验证直角三角形：计算较短两边的平方和，若等于最长边的平方，则为直角三角形。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）在中，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理.在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，已知斜边，直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度.掌握勾股定理是本题的解题关键． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边， 由勾股定理得： 代入已知值：，即 ∴ ∴． 故选：D． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查勾股定理的应用， 需分两种情况讨论：当已知两边均为直角边时，或当其中一边为斜边时（由于斜边最长，6不能为斜边，故只考虑8为斜边的情况）. 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【题型3】HL定理证明直角三角形全等 1.核心知识点 直角三角形全等的HL判定定理； 全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）。 2.解题方法技巧 明确条件：先标注直角，再找出斜边和一组直角边分别相等； 规范书写：证明时需注明“Rt△”，再列出全等条件（斜边、直角边），最后用HL判定。 【例题3】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，，于点于点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据于点于点得到，根据得到，根据即可证明． 【详解】证明：∵于点于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． 【详解】（1）解：在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则的长为_______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用定理证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件，可直接利用定理证明，通过全等三角形的对应边相等即可得到结论； （2）如图，连接，先通过线段的和差关系求出，然后可通过定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后根据线段和差关系求出的长． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）解：． 【提示】如图，连接． ，， ． 在和中， ， ， ． 【题型4】互逆命题与逆定理的识别 1.核心知识点 互逆命题、互逆定理的定义； 命题的条件与结论拆分。 2.解题方法技巧 拆分命题：将原命题改写为“如果……那么……”的形式，拆分出条件和结论； 构造逆命题：交换条件和结论得到逆命题，判断逆命题的真假； 识别逆定理：若逆命题为真且经过证明，则与原定理互为逆定理。 【例题4】.（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式题4-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果，那么”的逆定理是： ． 【答案】 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 【变式题4-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ． 【答案】各边相等的多边形是正多边形 【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”． 【详解】解：命题“正多边形的各边相等”的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”， 故答案为：各边相等的多边形是正多边形． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】逆命题为：在中，，若，则．证明见解析． 【分析】本题考查的是逆命题定义及证明，根据题意交换命题的条件和结论得出逆命题，再证明；延长至点，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形性质得出结论即可． 【详解】逆命题为：在中，，若，则． 证明：延长至点，使，连接， 则垂直平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理的实际应用 1.核心知识点 勾股定理； 实际情境的几何建模（如航海、建筑、折叠等）。 2.解题方法技巧 建模转化：将实际问题转化为直角三角形问题（如求两点距离、物体高度等）； 确定边长：明确直角三角形的直角边和斜边，代入勾股定理计算。 【例题5】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 【题型6】直角三角形全等的综合应用 1.核心知识点 HL定理及全等三角形的性质； 直角三角形的性质与判定。 2.解题方法技巧 先证全等：用HL或其他判定方法证明直角三角形全等； 再用性质：利用全等三角形的对应边、对应角相等，结合直角三角形性质求解线段长度或角度。 【例题6】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）实验与探究：小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小亮用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得．（图中的在同一平面上），求证此时． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 证明，得出，证明，即可得出结论． 【详解】证明：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由中线得到，然后证明出，即可得到； （2）首先证明出，得到，求出，然后由得到，进而证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，已知，，，在直线上取点． (1)如图（1），点在的延长线上，且，，试求的长； (2)如图（2），点在边上，，于点．若，，试求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的综合应用，平行线的性质； （1）证明，得出即可； （2）过点D作交其延长线于点H，证明，得出，，证明，得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）证明：过点D作交其延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·上海·期末）（1）图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法．根据作法，我们可以用_______________的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的__________，得出，即射线平分． 如图，已知，求作的平分线． 作法 （1）以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交、于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于内的一点C； （3）作射线． 射线就是的平分线（图）． 图1 （2）乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与的两边重合，且两把三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O，则射线即为的平分线．请你根据乐乐的作法，证明射线为的平分线． 【答案】（1），对应角相等；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据作图的过程证明三角形全等即可； （2）由题意可知，，，先利用证明，可得，再利用证明，得，即射线为的平分线． 【详解】解：（1）如图，连接，， 根据作法可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即平分， 综上，根据作法，我们可以用的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的对应角相等，得出，即射线平分． 故答案为：，对应角相等； （2）证明：由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 即射线为的平分线． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股定理与最短路径问题 1.核心知识点 勾股定理； “化折为直”思想（平面或立体图形中最短路径）。 2.解题方法技巧 平面图形：直接利用“两点之间线段最短”，结合勾股定理计算； 立体图形（如长方体、圆柱）：将立体图形表面展开为平面图形，转化为平面上的最短路径，再用勾股定理求解。 【例题7】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，利用“点到直线的垂线段最短”确定最短路线是解题关键． 过点作，先通过垂线段最短明确为最短距离，再设未知数，结合勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】解：如图，过点作，此时为新建路线的最短距离， 设，则， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 即新建路线的最短距离为． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离 ． 【答案】/1000米 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理解三角形，作A关于的对称点，连接与，，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长．然后结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作A关于的对称点，交于点M，连接，，，如图所示：    根据轴对称可知：，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴、、三点共线时，最小，即最小， ∴此时最小， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵，河岸的长度为， ∴，， ∴（米）， ∴牧童从处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离是． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的木条平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 【题型8】直角三角形的探究式问题 1.核心知识点 直角三角形的性质与判定； 全等三角形、勾股定理的综合应用。 2.解题方法技巧 特例猜想：先通过特殊值（如边长为3、4、5的直角三角形）猜想结论； 严谨证明：结合直角三角形的性质、全等或勾股定理证明猜想； 拓展延伸：探究结论在一般情况下是否成立，体现逻辑推理素养。 【例题8】.（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·江西赣州·期中）综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点，，，在同一平面上），过点作于点． (1)【初步探究】如图①，求证：； (2)【变式探究】如图②，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； (3)【类比拓展】如图（3），在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由可得，由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，于是结论得证； （2）由直线，直线，垂足分别为，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出结论； （3）由三角形外角的性质可得，结合，，可得，由三角形外角的性质可得，结合，可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即：； （2）解：直线，直线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：，，之间的数量关系为，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先证明，，利用“”证明，由全等三角形即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合，即可获得答案； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合点，的坐标进一步求解即可． 【详解】（1）解：与的数量关系是，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴。 ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2），，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、， 轴，轴，轴， ，， 又， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 易错点 1.勾股定理应用错误：①混淆直角边和斜边，误将斜边当作直角边计算；②已知两边求第三边时，未分类讨论（如已知5、12，可能斜边为13或12）。 2.HL定理使用不当：①非直角三角形误用HL判定全等；②证明时未注明“直角三角形”，直接使用HL。 3.勾股定理逆定理应用偏差：未先确定最长边，直接验证三边平方关系。 4.互逆命题与逆定理混淆：认为所有定理都有逆定理，或误将逆命题当作逆定理。 5.直角三角形斜边上的中线性质遗忘：忽略“中线等于斜边一半”的应用，导致复杂问题无法简化。 重点 1.熟练掌握勾股定理及其逆定理，能灵活运用求边长、判定直角三角形。 2.掌握直角三角形全等的HL判定定理，能结合其他全等判定方法解决综合问题。 3.理解直角三角形的角、边性质，能准确进行角度计算和线段长度求解。 4.识别互逆命题与互逆定理，明确勾股定理与逆定理的互逆关系。 5.能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决实际应用问题。 难点 1.勾股定理与折叠、旋转、平行线等知识的综合应用，需灵活转化线段和角度。 2.分类讨论问题：已知直角三角形两边或不确定直角顶点时，需全面考虑所有可能情况。 3.立体图形中最短路径问题：需准确将立体图形展开为平面图形，再应用勾股定理。 4.跨学科和探究式问题：需从复杂情境中提取直角三角形模型，结合逻辑推理进行证明和探究。 5.直角三角形全等与性质的综合推理：需合理选择全等判定方法，串联多个知识点解决综合题。 【对应练习题】 一、单选题 1．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换，原命题题设为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”，故逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 而B选项中，说的是两个底角相等，则前提是该三角形已经是等腰三角形， 故选：C． 2．已知在中，，，是边上的高，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，先根据直角三角形的两个锐角互余及余角性质求得，再根据直角三角形中， 30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故选：A． 3．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 4．如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得到，根据直角三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 6．写出命题“如果，那么或．”的逆命题： ． 【答案】如果或，那么 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 7．在中，，，则的度数等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 8．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 9．如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据长方形的性质得出直角和平行线，根据直角的性质得出，然后利用翻折的性质以及角的和差求出，最后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴ ， 故答案为：． 10．如图，已知中，，作边上的中线和高线，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识内容，熟知勾股定理和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出的值，利用三角形中线的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出，再由直角三角形两锐角互余推出，结合已知，证明，最后根据全等三角形对应边相等得到． 【详解】解：∵、是的高， ∴， ∵在中，， 在中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴. 12．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)高 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 13．如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形的高的定义得到，再利用即可证明； （2）根据三角形的高的定义得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵分别是边上的高， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 15．【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）56 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，利用证明三角形全等即可； （2）过点作，垂足为，借助（1）证明，得出，利用等角对等边得出等腰三角形，然后根据三线合一即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，借助（1）证明，得出相等的边，根据给出三角形的面积求出，表示出相关线段的长度，然后求出相关图形的面积即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． ， ， ． 在和中， ； （2）如图1，过点作，垂足为． 同（1）得， ． ， ， ， ； （3）如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得， ． ， 是等腰直角三角形， ． 的面积为20， ． ， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $