专题1.1 三角形内角和定理（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题1.1 三角形内角和定理 知识点1：三角形内角和定理 1.核心内容：任意三角形三个内角的和等于，即对于，恒有。 2.定理证明（核心方法）： 平行线构造法：过三角形一个顶点作对边的平行线，将三个内角转化为平角（平角为），利用平行线的内错角或同位角相等完成转化； 折叠拼接法：将三角形三个内角沿中位线折叠，使三个顶点重合于同一点，形成平角验证内角和。 知识点2：定理推论与拓展 1.推论1（直角三角形特性）：直角三角形的两个锐角互余； 2.推论2（直角三角形判定）：有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.推论3（外角性质）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个不相邻内角； 4.拓展结论：n边形内角和为（由三角形内角和推导，辅助理解多边形与三角形的关系）。 知识点3：核心倒角模型对比 模型名称 图形特征 核心结论（基于内角和定理） A字型 直线，交、于、 ，， 飞镖型 三条线段相交于内点，形成“飞镖”结构 8字型 两条线段相交，构成“8”字框架 角平分线模型 两内角平分线交于内心 知识点4：三角形按角分类（基于内角和） 类型 内角特征 判定依据 锐角三角形 三个内角均小于 三个角都满足 直角三角形 有一个内角等于 一个角为或两锐角互余 钝角三角形 有一个内角大于且小于 一个角满足 【基础必考题型】 【题型1】直接利用内角和求角度 1.核心知识点 三角形内角和定理（）； 直角三角形两锐角互余。 2.解题方法技巧 直接计算：已知两角求第三角，用减去已知两角之和； 直角三角形优先用互余关系：已知一个锐角，直接用减该角得另一锐角。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形三个内角的和恒为． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【变式题1-1】.（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图， °． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的外角和．根据三角形的外角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：35． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，两个三角形全等，则 度． 【答案】66 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据图形可知是除，外的第三边的对角，则对应角也为除，外的第三边的对角，据此即可解答． 【详解】解：． 故答案为：66． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 【题型2】根据内角关系判断三角形形状 1.核心知识点 三角形内角和定理； 三角形按角分类标准。 2.解题方法技巧 方程法：设未知角为，根据倍角、比例等关系列方程，结合内角和求解； 定性判断：根据计算结果，若有角为则为直角三角形，若有角大于则为钝角三角形，否则为锐角三角形。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）若的三个内角的度数比为，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，设三个内角的度数为，，，根据三角形的内角和定理列出方程，求解得到各内角的度数，即可解答． 【详解】解：设三个内角的度数为，，，根据三角形的内角和定理可得， ， 解得， ∴，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山西朔州·期中）（1）如图，求图中的值； （2）按角分类，判断该三角形的形状． 【答案】（1）；（2）三角形是直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据三角形内角和定理，列方程求解； （2）求出最大角的度数，判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得． 解得． （2）因为， 所以最大角的度数为， 所以该三角形是直角三角形． 【题型3】三角形外角的基础计算 1.核心知识点 三角形外角与不相邻内角的关系； 邻补角性质（和为）。 2.解题方法技巧 外角求内角：利用“外角=不相邻两内角和”，已知外角和一个内角，求另一个内角； 内角求外角：直接将两个不相邻内角相加，或用减去相邻内角。 【例题3】.（25-26八年级上·广东中山·期末）如图， °． 【答案】70 【分析】本题考查了三角形外角，熟练掌握三角形外角等于不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 根据三角形外角性质解答． 【详解】解：． 故答案为：70． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，是的一个外角，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的概念，补角的概念，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，与互补，由补角的概念进行计算即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·湖南·期末）如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角性质及角平分线的定义是解题的关键． 先求出的度数，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：平分，， ． ， ． 故答案为：75． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图所示，，，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【题型4】折叠问题中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理； 折叠的性质（对应角相等、对应边相等）。 2.解题方法技巧 标注相等角：折叠后重合的角相等，明确对应关系； 建立等式：结合内角和定理，列出含未知角的方程求解，注意折叠后形成的新三角形内角关系。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式题4-2】.（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，关键是通过折叠的性质得到相等的线段和角，利用三角形外角性质将、转化为与、相关的角，再结合折叠推出的，求出与的和，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接、，由折叠的性质得， ，， ， ， ，即， 根据三角形内角和定理，得； 又由折叠的性质得，， ，， ，同理， ， ， ， ， ； 故选：B． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【培优高频题型】 【题型5】内角和与平行线综合运算 1.核心知识点 三角形内角和定理； 平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）。 2.解题方法技巧 角的转化：利用平行线将三角形的角转化为同位角或内错角，搭建已知角与未知角的联系； 分步求解：先由平行线性质求过渡角，再代入三角形内角和定理计算目标角。 【例题5】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，，当为 度时，与平行． 【答案】66 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质的应用-求角度． 首先，我们需要根据题目给出的条件，利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系，然后，结合平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的和差，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由得，由得和，则有，又，最后用角度和差即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式题5-2】.（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知两个角与满足， （1）若两个角的两边分别平行，则 ； （2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，则 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、和三角形内角和、三角形外角的应用，分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分成两种情况，和，分别代入，化简即可得出． （2）根据题意分成两种情况，分别画出相应图形，根据图形结合平行线的性质得出即可． 【详解】（1）若两个角的两边分别平行时，有两种情况， ①如图所示：时，则， 又∵， ∴， ②如图所示：， ， ， 又∵，， ∴， 化简可得， 故答案为或． （2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，有两种情况， ①当两边分别满足时，如图所示， ，， ∴ ∴ ∴， 故； ②当两边分别满足时，如图所示，   ，， ∴ ∴， 化简得 故答案为或． 【变式题5-3】.（23-24七年级下·广东深圳·期中）某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在点A处）可以控制腿托以顺时针旋转． (1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)如图3，按下开关1，使椅背从与発面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角的性质： （1）以点A为顶点，作，即可得到所在的直线； （2）延长，交于点，利用外角的性质和两直线平行，同位角相等，进行求解即可； 熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）如图所示，直线即为所求； ， ， 直线即为所求． （2）延长，交于点，如图： 当时，． 又， ； ， ． 【题型6】内角和与角平分线综合应用 1.核心知识点 三角形内角和定理； 角平分线的性质（平分角为两个相等的角）。 2.解题方法技巧 设角简化：设角平分线分成的角为，用含的式子表示其他相关角； 方程求解：结合内角和列方程，求解后还原目标角。 【例题6】.（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质计算即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ． 平分，平分， ，， ， ． ∵平分，平分， ， ． 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式题6-1】.（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分，平分，平分，若，则等于（　　）    A．30° B．35° C．50° D．85° 【答案】A 【分析】利用角平分线的定义，可得出，，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】∵平分，平分，平分，平分， ∴，． 在中，， ，， ∴，即， ∴， ∴． 在中，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图平分平分，且，下列结论： ①； ② ③平分； ④； ⑤．其中正确的为 （只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可． 【详解】解：， ，． 平分， ， ， 平分，故③正确． ， ， ，故①正确． ， ． 平分、， ，， ， ，故④正确． ， ，． ∵无法说明， ∴无法说明， 无法说明,故②⑤错误． 综上所述，①③④正确． 故答案为：①③④． 【变式题6-3】.（2025七年级下·山东·专题练习）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； 【详解】解：（1）如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【题型7】三角板拼接中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理； 常用三角板的内角度数（和）。 2.解题方法技巧 明确已知角：标注拼接后三角板各内角的位置和度数； 构造三角形：识别拼接形成的新三角形，利用内角和或外角性质求未知角。 【例题7】.（24-25八年级上·浙江·期中）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键． 如图，依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数． 【详解】解：如图， ， 由题意，得，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 则， 故选：C． 【变式题7-2】.（2024九年级下·广东·学业考试）将一副直角三角板如图所示位置摆放，使含有角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边在同一条直线上．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，对顶角的性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质是解题的关键．利用三角形的外角性质求出，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】本题考查了三角形的旋转，角平分线的性质及角度的计算，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）①由直接计算即可；②由角平分线得性质得，再根据计算即可； （2）分与重合，与重合，与延长线重合三种情况结合图形计算角度即可． 【详解】（1）①； 故答案为：； ②、分别为和的角平分线， ， ; （2）当与重合时，如图： ，分别平分和， ， ； 当与重合时， ； 当与延长线重合时，则， ； 综上，或或． 【压轴素养题型】 【题型8】跨学科情境中的内角和应用 1.核心知识点 三角形内角和定理； 跨学科情境的角关系转化（如光学反射、机械结构、导航方位）。 2.解题方法技巧 建模转化：从实际情境中提取三角形结构（如反射光线构成的三角形、方位角三角形）； 定理应用：将实际问题中的角转化为三角形内角或外角，套用定理计算。 【例题8】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿方向射出（射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等）．已知，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】根据平面镜反射规律得到，，在中，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 【详解】解：一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出， 在中， . 故答案为： 【点睛】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到，是解题的关键. 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）求得，计算求得，利用平行线的判定定理即可得到； （2）求得，推出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点B反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即，如图2，和是两块平面镜，平面镜可以绕F转动一定的角度（），入射光线经过两次反射后，得到反射光线． (1)当时，则______； (2)若光线，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)25； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）由镜面反射的性质得到； （2）由平行线的性质推出，由镜面反射的性质得到，由平角的定义得到，求出，得到，因此． 【详解】（1）解：由镜面反射的性质得到：， 故答案为：25； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 由镜面反射的性质得到：， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·浙江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线m和反射光线n是否平行，并说明理由． (2)显然，改变两面平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，则______°，______°． (3)试猜想：在图3中，当两平面镜的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线m经过平面镜的两次反射后，与反射光线n平行？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)94，90 (3)90，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （3）先根据平行线的性质可得，从而可得，据此可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵， ， ，， ， ，即， ∴； （2）解：由题意得，，， ， ∵， ， ， ， 故答案为：94，90； （3）解：当时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行，理由如下： 由题意可知，，， ∵， ， ， ∴， ，即， ， 故答案为：90． 【题型9】复杂倒角模型综合应用 1.核心知识点 核心倒角模型（A字、飞镖、8字）的结论； 三角形内角和定理的拓展应用。 2.解题方法技巧 模型识别：从复杂图形中分离出基本倒角模型； 结论联用：结合多个模型结论建立角之间的等量关系，简化计算步骤。 【例题9】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知：如图，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角； （1）利用证明即可． （2）由得到，再根据三角形的外角求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）解： ， ， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一．如图②，伞圈沿着伞的柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且．如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，证明出，得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：因为伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 因为伞的边缘，与点在同一直线上，，平分， 所以， 又因为， 所以． 因为， 所以． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 【变式题9-3】.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及对顶角相等． （1）通过三角形内角和定理以及外角建立角之间的关系； （2）①根据“八字”模型可知，，结合即可得到度数； ②将①中所求的整理一下即可； （3）设，，在两个三角形内，根据对顶角相等找到等量关系，得到，在另外两个三角形中，根据同样的办法得出新的等量关系，将代入即可； （4）通过识别图形中的 “飞镖” 结构，建立角的等式，再结合题目给出的角的比例关系，联立方程消去中间角，最终推导出数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ 同理可得，． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角， ∴， 同理可得，． ∴． 故答案为：；． （2）解：①∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知： 在和中，， 在和中，， 将两式相减得：， ， ． ， 解得：． ②， ． 故答案为：． （3）解：直线平分平分， 设，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （4）， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 易错点 1.外角性质误用：混淆“相邻内角”与“不相邻内角”，误将外角等于相邻内角之和； 2.折叠问题漏标对应角：未利用折叠的全等性质，导致角的关系混乱，计算出错； 3.分类讨论不全面：含参数或多解问题中，未考虑三角形不同角类型的情况； 4.复杂图形角转化失误：无法从多个三角形、平行线交织的图形中找到有效角关系； 5.定理应用前提遗漏：在非三角形图形中错误套用内角和。 重点 1.熟练掌握三角形内角和定理的内容及两种核心证明方法； 2.能直接运用定理及推论求角度、判断三角形形状； 3.掌握核心倒角模型的结论，快速解决综合图形中的角度计算； 4.灵活处理内角和与平行线、角平分线、折叠、三角板拼接的综合问题； 5.能在跨学科或新定义情境中建立三角形模型，运用定理解决实际问题。 难点 1.复杂图形的角转化：从多个三角形、平行线、外角交织的图形中准确梳理角的关系； 2.倒角模型的灵活应用：从复杂图形中快速识别并分离基本模型，简化计算； 3.规律探究与说理：通过特例归纳规律，并结合定理进行严谨的逻辑证明； 4.含参数问题的分类讨论：根据参数取值全面分析三角形的角类型，避免漏解； 5.跨学科情境建模：将实际问题（如光学、机械、导航）转化为数学中的三角形角度问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、C、D，根据三角形内角和定理可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和，先根据全等的性质得到，再根据三角形的内角和即可． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，最后由三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 5．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 6．如图，把一副直角三角板叠放在一起，已知，则∠的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， 故答案为：． 9．将一副直角三角板按如图所示摆放，已知直线，点E在直线上，点M、N在直线上，点P在上，，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长交于点，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 三、解答题 11．如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的外角与三角形的内角和定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案； （2）根据三角形的内角和，可知，进而得到，证明平分． 【详解】（1）解：∵沿折叠得到，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 12．如图，在中，，，于点，平分，求与的度数． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质及角平分线的定义，熟练掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．先利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出的度数，根据得出，最后利用三角形外角性质求出与的度数． 【详解】解：在中，∵，，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，已知与的平分线交于点M，延长交于点N，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质求出，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴． 14．【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）     （2）    见解析 （3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角度的整体转化，掌握通过角度的加减与整体代换，将所求角转化为已知角的和差关系是解题的关键． （1）先在中用内角和求，再在中求，最后通过角的加减得到； （2）从特殊情况推广到一般，利用三角形内角和定理，将整体转化为，从而推导出与的数量关系； （3）改变三角尺位置后，重新分析角的组成，将和分别表示为与的组合，再通过内角和代换得到新的数量关系． 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和： 在中，，同理： （2）．证明如下： ， ， ． （3）． ． 15．如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）证明，即可证明； （2）分类解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形内角和的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：当时， ， ， ； 当时， ， ， ； ； 当时， ， ， 这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角矛盾，不成立； 综上所述，等于或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形内角和定理 知识点1：三角形内角和定理 1.核心内容：任意三角形三个内角的和等于，即对于，恒有。 2.定理证明（核心方法）： 平行线构造法：过三角形一个顶点作对边的平行线，将三个内角转化为平角（平角为），利用平行线的内错角或同位角相等完成转化； 折叠拼接法：将三角形三个内角沿中位线折叠，使三个顶点重合于同一点，形成平角验证内角和。 知识点2：定理推论与拓展 1.推论1（直角三角形特性）：直角三角形的两个锐角互余； 2.推论2（直角三角形判定）：有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.推论3（外角性质）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个不相邻内角； 4.拓展结论：n边形内角和为（由三角形内角和推导，辅助理解多边形与三角形的关系）。 知识点3：核心倒角模型对比 模型名称 图形特征 核心结论（基于内角和定理） A字型 直线，交、于、 ，， 飞镖型 三条线段相交于内点，形成“飞镖”结构 8字型 两条线段相交，构成“8”字框架 角平分线模型 两内角平分线交于内心 知识点4：三角形按角分类（基于内角和） 类型 内角特征 判定依据 锐角三角形 三个内角均小于 三个角都满足 直角三角形 有一个内角等于 一个角为或两锐角互余 钝角三角形 有一个内角大于且小于 一个角满足 【基础必考题型】 【题型1】直接利用内角和求角度 1.核心知识点 三角形内角和定理（）； 直角三角形两锐角互余。 2.解题方法技巧 直接计算：已知两角求第三角，用减去已知两角之和； 直角三角形优先用互余关系：已知一个锐角，直接用减该角得另一锐角。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，则的度数是 ． 【变式题1-1】.（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图， °． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，两个三角形全等，则 度． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2】根据内角关系判断三角形形状 1.核心知识点 三角形内角和定理； 三角形按角分类标准。 2.解题方法技巧 方程法：设未知角为，根据倍角、比例等关系列方程，结合内角和求解； 定性判断：根据计算结果，若有角为则为直角三角形，若有角大于则为钝角三角形，否则为锐角三角形。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）若的三个内角的度数比为，则的形状是 ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山西朔州·期中）（1）如图，求图中的值； （2）按角分类，判断该三角形的形状． 【题型3】三角形外角的基础计算 1.核心知识点 三角形外角与不相邻内角的关系； 邻补角性质（和为）。 2.解题方法技巧 外角求内角：利用“外角=不相邻两内角和”，已知外角和一个内角，求另一个内角； 内角求外角：直接将两个不相邻内角相加，或用减去相邻内角。 【例题3】.（25-26八年级上·广东中山·期末）如图， °． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，是的一个外角，若，则的度数为 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·湖南·期末）如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是 度． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图所示，，，，求． 【题型4】折叠问题中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理； 折叠的性质（对应角相等、对应边相等）。 2.解题方法技巧 标注相等角：折叠后重合的角相等，明确对应关系； 建立等式：结合内角和定理，列出含未知角的方程求解，注意折叠后形成的新三角形内角关系。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】内角和与平行线综合运算 1.核心知识点 三角形内角和定理； 平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）。 2.解题方法技巧 角的转化：利用平行线将三角形的角转化为同位角或内错角，搭建已知角与未知角的联系； 分步求解：先由平行线性质求过渡角，再代入三角形内角和定理计算目标角。 【例题5】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，，当为 度时，与平行． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【变式题5-2】.（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知两个角与满足， （1）若两个角的两边分别平行，则 ； （2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，则 ． 【变式题5-3】.（23-24七年级下·广东深圳·期中）某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在点A处）可以控制腿托以顺时针旋转． (1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)如图3，按下开关1，使椅背从与発面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数； 【题型6】内角和与角平分线综合应用 1.核心知识点 三角形内角和定理； 角平分线的性质（平分角为两个相等的角）。 2.解题方法技巧 设角简化：设角平分线分成的角为，用含的式子表示其他相关角； 方程求解：结合内角和列方程，求解后还原目标角。 【例题6】.（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ． 【变式题6-1】.（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分，平分，平分，若，则等于（　　）    A．30° B．35° C．50° D．85° 【变式题6-2】.（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图平分平分，且，下列结论： ①； ② ③平分； ④； ⑤．其中正确的为 （只填写序号） 【变式题6-3】.（2025七年级下·山东·专题练习）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【题型7】三角板拼接中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理； 常用三角板的内角度数（和）。 2.解题方法技巧 明确已知角：标注拼接后三角板各内角的位置和度数； 构造三角形：识别拼接形成的新三角形，利用内角和或外角性质求未知角。 【例题7】.（24-25八年级上·浙江·期中）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2024九年级下·广东·学业考试）将一副直角三角板如图所示位置摆放，使含有角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边在同一条直线上．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 【压轴素养题型】 【题型8】跨学科情境中的内角和应用 1.核心知识点 三角形内角和定理； 跨学科情境的角关系转化（如光学反射、机械结构、导航方位）。 2.解题方法技巧 建模转化：从实际情境中提取三角形结构（如反射光线构成的三角形、方位角三角形）； 定理应用：将实际问题中的角转化为三角形内角或外角，套用定理计算。 【例题8】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿方向射出（射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等）．已知，，则的度数为 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点B反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即，如图2，和是两块平面镜，平面镜可以绕F转动一定的角度（），入射光线经过两次反射后，得到反射光线． (1)当时，则______； (2)若光线，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·浙江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线m和反射光线n是否平行，并说明理由． (2)显然，改变两面平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，则______°，______°． (3)试猜想：在图3中，当两平面镜的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线m经过平面镜的两次反射后，与反射光线n平行？ 【题型9】复杂倒角模型综合应用 1.核心知识点 核心倒角模型（A字、飞镖、8字）的结论； 三角形内角和定理的拓展应用。 2.解题方法技巧 模型识别：从复杂图形中分离出基本倒角模型； 结论联用：结合多个模型结论建立角之间的等量关系，简化计算步骤。 【例题9】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知：如图，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一．如图②，伞圈沿着伞的柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且．如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【变式题9-3】.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 易错点 1.外角性质误用：混淆“相邻内角”与“不相邻内角”，误将外角等于相邻内角之和； 2.折叠问题漏标对应角：未利用折叠的全等性质，导致角的关系混乱，计算出错； 3.分类讨论不全面：含参数或多解问题中，未考虑三角形不同角类型的情况； 4.复杂图形角转化失误：无法从多个三角形、平行线交织的图形中找到有效角关系； 5.定理应用前提遗漏：在非三角形图形中错误套用内角和。 重点 1.熟练掌握三角形内角和定理的内容及两种核心证明方法； 2.能直接运用定理及推论求角度、判断三角形形状； 3.掌握核心倒角模型的结论，快速解决综合图形中的角度计算； 4.灵活处理内角和与平行线、角平分线、折叠、三角板拼接的综合问题； 5.能在跨学科或新定义情境中建立三角形模型，运用定理解决实际问题。 难点 1.复杂图形的角转化：从多个三角形、平行线、外角交织的图形中准确梳理角的关系； 2.倒角模型的灵活应用：从复杂图形中快速识别并分离基本模型，简化计算； 3.规律探究与说理：通过特例归纳规律，并结合定理进行严谨的逻辑证明； 4.含参数问题的分类讨论：根据参数取值全面分析三角形的角类型，避免漏解； 5.跨学科情境建模：将实际问题（如光学、机械、导航）转化为数学中的三角形角度问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 5．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，把一副直角三角板叠放在一起，已知，则∠的度数为 ． 7．如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 8．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是 ． 9．将一副直角三角板按如图所示摆放，已知直线，点E在直线上，点M、N在直线上，点P在上，，，则的度数为 ． 10．如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 12．如图，在中，，，于点，平分，求与的度数． 13．如图，已知与的平分线交于点M，延长交于点N，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 15．如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $