精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高一下学期学期初考试数学试题

2025-2026学年高一数学下学期期初数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式与一元二次不等式确定，再由交集的定义即可得解. 【详解】由得，所以，因为且，满足条件的自然数x为，即， 所以， 故选：B． 2. 已知向量，若，则实数值为（ ） A. B. 2 C. 1或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，再根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，整理得，解得或 所以实数的值为2或 故选：D 3. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第6个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表选数的规则即可得到答案. 【详解】根据随机数表选数的规则，这6个数分别是08，02，14，07，01，04， 注意02出现2次，需剔除1个， 故选：C. 4. 下列函数中，在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性以及复合函数的单调性求解. 【详解】对于选项，函数的定义域为，在定义域为单调递增函数，则正确； 对于选项，函数在定义域上单调递减，则错误； 对于选项，函数可以看成和的复合函数，由此可知函数在定义域上单调递减，则错误； 对于选项，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则错误； 故选：. 5. 已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元后结合二次函数的性质分对称轴的位置讨论可得. 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. 6. 已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解． 【详解】当时，单调递增，则； 当时，开口向上，且对称轴为， 又当时，取得最小值， 所以，解得， 所以m的取值范围为． 故选：B． 7. 若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A. 在其定义域上单调递增 B. 在其定义域上单调递减 C. 在其定义域上单调递增 D. 在其定义域上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为上的减函数 D. 若则的取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】令，可求得，判断A；令，并结合的值，由函数奇偶性的定义可判断B；根据函数单调性的定义可判断C；结合函数的单调性和奇偶性可解不等式，求得的取值范围，判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，则，所以. 又因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以是奇函数，所以B错误； 对于C，设任意且，则.由题意得，即. 因为， 所以，即. 所以函数为上的减函数，所以C正确； 对于D，由选项的分析可知，函数是奇函数，由C选项可知函数是上的减函数. 若，则. 所以，即，，解得，所以D正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是1 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，错误. 故选：BC 10. 一个袋子中有标号分别为的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”事件“第二次摸出球的标号小于”，事件“第一次摸出球的标号为奇数”，则（ ） A. B. 与互为对立事件 C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式分别计算出各事件发生的概率，再根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义来逐一判断选项. 【详解】事件：“第一次摸出球的标号小于”， 第一次摸球时，总共有个球，标号小于的是、，共种情况，因此； 事件：“第二次摸出球的标号小于”， 采用不放回摸两次，总基本事件数为种， 若第一次摸的是或，第二次剩下个球，其中小于的有个，情况数为；  若第一次摸的是或，第二次剩下个球，其中小于的有个，情况数为； 因此事件情况数为，故； 由此，，选项A正确； 对立事件要求“两个事件不能同时发生，且必有一个发生”即为必然事件，， 但存在情况：第一次摸，第二次摸，此时和同时发生，因此与不是对立事件，选项B错误； 互斥事件要求“两个事件不能同时发生”， 事件：“第一次摸出球的标号为奇数”， 存在情况：第一次摸，第二次摸，此时和同时发生，因此与不是互斥事件，选项C错误； 相互独立的定义是， 事件：第一次摸奇数，情况数为，因此， 事件：“第一次摸奇数，且第二次摸小于”， 情况包括：，共种，因此， ，满足，因此与相互独立，选项D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 方程有5个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，可逐项判断真假. 【详解】作函数草图如下： 由图可知：的单调递增区间为，，故A正确； 有3个不等实根，则，故B错误； 因为，由；由. 所以，所以的取值范围是，故C正确； 由，且，所以； 由. 所以，由或. 因为方程有3个不同的实根，方程有2个不同的实根，且两方程的根互不相同，所以方程有5个不同实根，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 _________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数的运算性质直接求解即可. 【详解】原式 ． 故答案为：2 13. 已知函数，，对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的值域以及在上的值域，再根据值域的包含关系求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 则时，； 在上单调递增，则， 因对任意的，总存在，使成立， 则， 则且，得， 则实数a的取值范围是. 故答案为： 14. 已知实数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由指数和对数的运算性质将等式化简成同构模式，再构造函数，利用导数分析单调性可得，再由对数的运算化简可得. 【详解】由题意可得，即， 两边同时取对数可得，即. 由可得， 即， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 而， 所以，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可． （2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可. 【详解】（1）若，则，得； （2）由，得，即， 所以，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 即，解得. 即实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键． 16. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数； （2）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率. 【答案】（1），众数：85， 中位数：80 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为0计算出，再由频率最高的区间中点值得众数，由频率累积到对应的值得中位数； （2）乙最终获胜，比分可能是，，设乙获胜为事件A，获胜为事件， 它们是互斥事件，分别计算出概率后相加可得． 【小问1详解】 由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为，可得， 众数：最高矩形对应区间为，中点即为众数：85 中位数：因为，由频率分布直方图知中位数为80. 【小问2详解】 因为乙最终获胜，比分可能是，， 设乙获胜为事件A，获胜为事件， 若乙获胜，则概率为， 若乙获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则乙最终获胜的概率为． 17. 已知函数（为常数） （1）若函数的定义域为，求实数的取值集合： （2）当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域为，将问题转化为对于恒成立，然后分和两种情况分别进行求解即可； （2）根据题意将问题转化为在区间上有解，进而利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，，不恒成立； 当时，，无解； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 存在；的最大值为，理由如下： 当时，，则， 则不等式可化为， 则，即在区间上有解， 令，，则， 因为，， 可得：在区间上单调递增. 所以， 又因为为正整数，所以的最大值为. 18. 已知定义在上的奇函数，且． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，在上单调递增，证明见解析； （2） （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性得到方程，求出，由得到，并用定义法得到在上单调递增； （2）由函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式组，求出不等式的解集； （3）令，只需，求出，分类讨论得到，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， 故，即，故，， 又，故，解得， 在上单调递增，证明如下： ，任取，且， 故， 因为，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； 【小问2详解】 为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； 小问3详解】 令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或（舍去）； 若，在上单调递增， 故，故，解得或（舍去）； 综上，的取值范围是或或. 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． （1）判断函数在其定义域内是否属于有界函数； （2）若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）为有界函数 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）求得函数的表达式，利用二次函数的性质可得函数的最大值，进而判定为有界函数； （2）分离常数，然后利用指数函数的性质可以得到的取值范围，进而得解； （3）将不等式恒成立问题分离参数，然后利用函数的单调性求得参数的取值范围. 【小问1详解】 令，则， 当时，函数的最大值为， 所以，即，所以有界函数． 【小问2详解】 ， ，在上递增， ，， ，所以， 存在上界的范围是． 【小问3详解】 由题意知，在上恒成立， ，， 因此在上恒成立， ， 设，由知， 设，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为在上的最小值为， ．的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期初数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 1或 D. 2或 3. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第6个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 14 4. 下列函数中，在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A. 在其定义域上单调递增 B. 在其定义域上单调递减 C. 在其定义域上单调递增 D. 在其定义域上单调递减 8. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为上的减函数 D. 若则的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是1 10. 一个袋子中有标号分别为的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”事件“第二次摸出球的标号小于”，事件“第一次摸出球的标号为奇数”，则（ ） A. B. 与互为对立事件 C. 与互斥 D. 与相互独立 11 已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（ ） A. 单调递增区间为， B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 方程有5个根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________． 13. 已知函数，，对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围是_________. 14 已知实数满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数； （2）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率. 17. 已知函数（为常数） （1）若函数的定义域为，求实数的取值集合： （2）当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 18. 已知定义在上的奇函数，且． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义在上函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． （1）判断函数在其定义域内是否属于有界函数； （2）若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $