8.6.3 平面与平面垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 第八章 立体几何初步 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 二面角 1 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面（平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分 通常称为半平面）所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面 叫做二面角的面. . . 6 2 二面角的表示 （1）棱为，面分别为 ， 的二面角记作二面角 ,如果棱记作 ， 那么这个二面角记作二面角 ,如图8.6.3-1. 图8.6.3-1 （2）若在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点, ,这个二面角可记作二 面角,如果棱记作,那么这个二面角记作二面角 ,如图8.6.3-1. 7 3 二面角的平面角 如图8.6.3-2，在二面角 的棱上任取一点,以点为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的 叫做二面角的 平面角. 图8.6.3-2 8 4 二面角大小的度量 （1）二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这 个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两 个半平面展开成一个平面时，规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的 取值范围是 ． #2 . . . . 9 知识剖析 二面角的平面角的内蕴 （1）二面角的大小是用平面角来衡量的，即用两条特殊的射线所成角来度量， 这是一种转化的思想方法. （2）二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上点 的位置无关.（链接教材156页“？”） （3）平面角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边都与二面角的棱垂直， 由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直.#3.3 10 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 你能想明白为什么通过定义二面角的平面角来度量二面角吗？ 提示 度量一个量时，必须考虑“存在性”与“唯一性”的问题，如果在二面角的棱上 任取一点，从这点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，虽然它们可以构成一 个平面角，但是这样的角的大小会由于所作的射线的位置不同而改变，因此不具有 “唯一性”.但如果所作射线与二面角的棱垂直，因为在一个平面内经过棱上一点只能 引棱的一条垂线，所以过棱上一点所作的角是唯一确定的.另外，由等角定理，可以 保证在棱上取不同点时所作角的大小相等.因此，这样的角不仅是存在的，而且是唯 一的，所以可以刻画二面角的大小. 11 图8.6.3-10 例1-1 如图8.6.3-10，在正方体中，, 交于 点，给出三个角,, ,其中能作为二面角 的平面角的是_________. 【解析】连接，由正方体的性质知, , ,, 平面 , 平面 . , 平面 , , , 是二面角 的平面角. 12 例1-2 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面 角．其中可能为钝角的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】异面直线所成的角 的范围为 ，直线和平面所成的角 的范 围为 ，二面角的平面角 的范围为 ，只有二面角的平 面角可能为钝角． 13 知识点2 面面垂直的定义及判定定理 1 平面与平面垂直的定义 一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直（两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况）．平面 与 垂直，记作 . . . . . 14 2 两个平面互相垂直的画法 如图8.6.3-3，画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一 组边画成垂直. 图8.6.3-3 15 3 平面与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个 平面垂直. ， . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 16 知识剖析（1）由该定理可知要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证 明线面垂直. （2）两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找 出一个平面的垂面的依据.例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查 所砌的墙面是否和水平面垂直，依据的就是这个原理.（链接教材157页“观察”） 17 学思用·典例详解 图8.6.3-11 例2-3 ［教材改编P158例7］如图8.6.3-11（1）所示， 已知中，是斜边上的高.以 为折痕 将折起，使 为直角，如图8.6.3-11（2） 所示.求证：平面 平面,平面 平面 . 【解析】易知, , 又 平面, 平面,且,所以 平面 .（证明面面 垂直，一般要先证线面垂直） 又 平面, 平面 , 所以平面 平面,平面 平面 . 18 【想一想丨问题质疑】 过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗? 提示 由例 可知不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条 垂线，过该垂线可以作出无数个平面,由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都 与已知平面垂直.所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面. 19 知识点3 平面与平面垂直的性质定理 1 平面与平面垂直的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直 于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个 平面垂直. ，，， . 该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”. 知识剖析 如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交 （含垂直）或异面. 20 2 性质定理的作用 （1）证明线面垂直、线线垂直； （2）构造面的垂线. 21 学思用·典例详解 例3-4 ［教材改编P159 T2］已知平面 , 和直线, ，则下列说法中正确的是 ( ) D A.若 ,,,则 B.若, ,,则 C.若 , ,则 D.若 ,, ，,则 【解析】A项中缺少了条件 ，故A错误. B项中缺少了条件 ，故B错误. C项中缺少了条件， ，故C错误. D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确. 22 释疑惑 重难拓展 知识点4 二面角的平面角的作法及一个求二面角的特殊方法 1 作二面角的平面角的三种常用方法 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线．如图8.6.3-4，为二面角 的平面角． _____________________________ 23 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交 线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图8.6.3-5， 为二面 角 的平面角． _____________________________ 续表 24 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的点向另一个平面作垂线，垂足为 ，由 点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则 为二面角的平面 角或其补角．如图8.6.3-6，为二面角 的平面角． （该方法也称为三垂线定理法） __________________________ 续表 25 2 求二面角大小的步骤 （1）作出（找出）二面角的平面角； （2）证明它是二面角的平面角； （3）求出这个角的大小； （4）说明二面角的大小． 这个过程可以简记为：作（找）、证、求、答． . . 26 3 射影面积法求二面角 设二面角 的大小为，是 内任一平面图形的面积， 该图形在平面 内的射影的面积为,则 . 我们从简单图形进行探究： 已知：二面角 的大小为,在平面 内有 ，面积 为,它在 内的射影为,面积为 . 27 求证： . 图8.6.3-7 证明：不妨假定的边在上（则与重合， 与重合），如图8.6.3-7，在中,作边上的高 ,连接 ，则在 上的射影为 . 根据射影的性质，知 ， 则 ,即 . 把换为 内的多边形或其他任意图形，所证公式 仍然成立. 28 因此，我们得到求二面角的另外一种方法——射影面积法（解答题使用此公式 时需先证明公式）. 如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的射影图形，那么射影图形的 面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值. . . 4 三正弦定理（最大角定理） 图8.6.3-8 如图8.6.3-8，设二面角为 ，在平面 上有一条射线，它和棱所成的角为 （我们称为线棱角），和平面所成的角为 ，则 .在锐二面角中，由 知， ，则 ，所以半平面 内的任意 一条直线与另一个半平面 所成的线面角不大于二 面角，即二面角是线面角中最大的角,三正弦定理又称最大角定理.（该定理作为知识 拓展，仅要求了解运用，证明过程不要求掌握） 30 5 三射线定理 图8.6.3-9 如图8.6.3-9，已知三面角中，与 所成角是 ,与所成角是 ,与所成角是 ，以,, 为 棱的二面角分别记作,,（如以 为棱的二面角就是平面 与平面 所成的二面角）， 定理 . 定理 . （三正弦定理和三射线定理都是本节知识的拓展，在选 填中使用可以提高效率，但是在大题中不能直接使用） . . . . . . . . . . . . 31 学思用·典例详解 例4-5 在直三棱柱中，,若为 的中点，试找出二面角 的平面角. 【解析】如图8.6.3-12，设为的中点，连接 ， 图8.6.3-12 则 , 故 平面 . 由，为的中点，得 . 又，且,, 平面 , 故 平面 ， 故， ， 所以为二面角 的平面角． 32 例4-6 [教材改编P164习题8.6 T18]已知正三棱锥 的棱长都为2，则侧面和底 面所成二面角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 图8.6.3-13 【解析】 如图8.6.3-13所示，过点作底面 ,点 为垂足，连接,,,则 , , 点为等边三角形 的中心. 延长交于点，连接 , 则, , 为侧面与底面 所成的二面角的平面角. 33 ， 在中， . 三个侧面在底面上的射影完全相同,且射影面积都是底面正三角形面积的 , 且正三棱锥 的四个面面积相同, 由（ 为侧面与底面所成二面角的大小）知， 侧面和底面所成二面角（显然为锐角）的余弦值为 . 由方法1知， 底面，设二面角的平面角为 ，则斜线 与底面所成的角为，设为， 与所成的线棱角为 ， .在 中，, ，由三正弦定理得 ，即 , ， ， 侧面与底面所成的二面角的余弦值为 . 知识点5 直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 1 判定直线与直线垂直的方法 （1）定义法:两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直. （2）利用直线与平面垂直的性质： , . （3）若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. 36 2 判定直线与平面垂直的方法 （1）定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条（等价于“全部的”“所有的”） 直线，则该直线与这个平面垂直. （2）利用直线与平面垂直的判定定理：,, , , . （3）利用平面与平面垂直的性质定理： ,, , . （4）如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面， 即, . （5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另 一个平面，即 , . . . 37 6 平面与平面垂直的其他性质与结论 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面 的直线在第一个平面内，即 , ,, . （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平 面,即 , . （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在 另一个平面内,即 ， 或 . （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平 面,即, , . （5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即 ，, , , ,,, . 38 4 线、面垂直位置关系的相互转化 39 5 平行关系与垂直关系的相互转化 40 学思用·典例详解 例5-7 (2025·北京市十一学校段考)已知,是平面 外的两条不同直线.给出下列三个 论断: ； ； . 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题：__________ _______________________.（用序号表示） 若, 则①（或若①③，则） 41 【解析】以题干中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题. 命题若, ,则 .此命题为假.可以举一个反例，例如在正方体 中，设平面为平面 ，和分别为和 ，满足条件， 但结论不成立. 命题若, ,则 .此命题为真.证明：作直线，且与 相交， 故与确定一个平面 ，且，因为 ，所以平面 与平面 相交，设 ，则，又, ，所以，又，所以，又 在平 面 外， ，故 . 命题若 , ,则 .此命题为真. 证明：过直线作一平面，且与平面 相交，交线为，因为 ，所以 ,因 为 ， ，所以，又，所以 . 42 例5-8 [多选题]已知，是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列四 个命题中的真命题是( ) AD A.若 ， ，，则 B.若 ， ，，则 C.若 ， ，，则 D.若 ， ， ，则 43 【解析】对于A，可以得到平面 ， 互相垂直，其中一种示意图如图 所示，故A为真命题；对于B，平面 ， 可能垂直，如图8.6.3-14（2） 所示，故B为假命题；对于C，平面 ， 可能垂直，如图8.6.3-14（3）所示，故C 为假命题；对于D，由 ， 可得 ，因为 ，所以过作平面 ， 且，如图8.6.3-14（4）所示，所以与交线平行，因为 ，所以 ，故D为真命题. 图8.6.3-14 44 题型解析 03 题型1 求二面角 例9 正方体中，二面角 的平面角的余弦值为( ) D A. B. C. D. 46 图8.6.3-15 【解析】如图8.6.3-15，连接，交于点，则 ,连接 ，因为,为的中点，所以 ， （定义法找二面角的平面角） 则是二面角 的平面角， 不妨设正方体的棱长为1，则，在 中， ， 所以 . . . . . 47 例10 如图8.6.3-16所示，,为二面角内部一点. , ,垂足分 别为, . 图8.6.3-16 48 （1）证明： ； 【解析】 平面, 平面 , . 49 （2）若为等边三角形，求二面角 的大小. 图8.6.3-17 【解析】设平面与棱交于点,连接, ,则易得 , （定义法找二面角的平面角），如图 8.6.3-17， 则 即所求二面角的平面角. 为等边三角形， ， ， . 故二面角 的大小为 . . . 50 思路点拨 （1）由, , 推出 平面 ，从而得出 ;（2）可转化为求 ，再求出二面角的平面角的大小，即得二面角 的大小. 51 图8.6.3-18 例11 如图8.6.3-18所示，在正方体 中，是棱上的点且，是棱 上的 点，记与所成的角为 ，与底面 所成的 角为 ,二面角的平面角为 ，则( ) B A. B. C. D. 52 图8.6.3-19 【解析】如图8.6.3-19，作于点 ，则 ，， ， 而 平面，因此有 平面 ， 过作交于点，过作于点 ，则 , . 连接,由正方体性质易知为二面角 的平面角，即， . 连接, 平面，则 ， 又,，， 平面 ， 53 所以 平面 ， 又 平面，所以 ， （【小技巧】可利用三垂线定理的逆定理，因为,是在平面 上 的射影，所以 ） 所以四边形是矩形， . 连接,由 平面知，，由 , ,得 , 即 , , , 均为锐角,所以 ,当与 重合时，等号成立. . . 名师点评 由最大角定理可得 ,由最小角定理可得 ，现比较 与 的大 小：，,又，，则 ，即 . 综上可得 . 55 求二面角的关键是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采 取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面 的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 56 【学会了吗丨变式题】 图8.6.3-20 1.(2025·浙江省绍兴市期中)如图8.6.3-20，已知 ,斜边 平面 ,点 , ,为垂足， , ,求二面角 的大小. 图D 8.6.3-1 【答案】如图D 8.6.3-1，在平面 内，过点作 ,垂足 为点,连接,设 . , , . 又,, 平面， 平面 ,而 平面,, 是二面角 的平面角. . . . . 57 （【三垂线定理】为在平面 上的射影，, 则 ,即得所 求二面角的平面角） 由 , , ,知, . , ， , ,, . . . 在中， , , . 在中， . ,即二面角的大小是 . 58 图8.6.3-21 2.如图8.6.3-21，已知，分别是正三棱柱 的侧棱 和上的点，且.设平面 与平面 相交于直线,则二面角 的大小为( ) B A. B. C. D. 59 图D 8.6.3-2 【解析】 如图D 8.6.所示，延长交 的延长线 于点，连接,则为这两个平面的交线 ,因此，所求二面角 即为二面角 . ，且 ， ，分别为， 的中点． ， . 平面， 平面， . 又，为平面 内的两条相交直线， 平面 . 平面， . 60 是二面角的平面角为在平面 上的射影，且 ，则,即得所求二面角的平面角 ． 由知，则 . 故所求二面角的大小为 . 三棱柱为正三棱柱， 在平面的射影为 . 设,则,, , 等腰的面积为 ， 正的面积为 ， 设二面角的大小为 ， 则, . . . . . 题型2 面面垂直判定定理的应用 图8.6.3-22 例12 ［教材改编P161例10］如图8.6.3-22,在四棱锥 中， 底面是边长为的正方形，侧棱， . 求证： （1） 平面 ； 【解析】，， , ，则 . ,, , ,则 . 又，且 平面， 平面 ， 平面 . 62 （2）平面 平面 . 【解析】 由（1）知 平面，又 平面， . 四边形是正方形， . 又，且 平面， 平面 ， 平面 . 又 平面， 平面 平面 . 63 设与交于点,连接 ， 由,可知 . 四边形是正方形， . 又, 平面, 平面, 平面.又 平面 , 平面 平面 . 64 利用判定定理证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明 面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明. 65 【学会了吗丨变式题】 3.[多选题]在四棱锥中，侧棱 底面，底面为菱形，过点 分别作，的垂线，垂足分别是，，底面对角线的交点为，过点 作 的垂线，垂足为 ，则( ) ABD A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.，，， 四点不可能共面 66 图D 8.6.3-3 【解析】如图D 8.6.， 底面， 平面 ， ， 由菱形知，且， 平面, 平 面, 平面，又 平面, ， ，， 平面, 平面 , 平面 ， 又 平面， 平面 ， 67 平面 平面，平面 平面 ，故A，B正确. 过作,交于 ， 假设平面 平面，为两平面交线， 平面， 平面 ， ， 又， 平面 ， 同理得 平面，，这与， 相交矛盾， 平面 平面 不成立，故C错误. 若，，，四点共面，则 平面，则平面 平面 ，由C知不正 确,故，，，四点不可能共面，故D正确．故选 ． 68 题型3 面面垂直性质定理的应用 例13 如图8.6.3-23，正方形和四边形所在的平面互相垂直， ， ,，求证： 平面 . 图8.6.3-23 69 【解析】如图8.6.3-24，设，连接, . 图8.6.3-24 由易知，则 . 又,所以四边形 为菱形， 所以 . 因为四边形为正方形，所以 . 又平面 平面,且平面 平面 , 所以 平面 , 因为 平面,所以 . 又, 平面, 平面 , 所以 平面 . 70 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基 本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直， 进而转化为线线垂直． 71 【学会了吗丨变式题】 4.(2025·江苏省泰州市月考)在三棱锥中， 平面，平面 平面 .求证： . 【答案】如图D 8.6.3-4所示，在平面内作于点 . 图D 8.6.3-4 平面 平面，且平面 平面, 平面 .又 平面， . 平面， 平面， . , 平面, 平面, 平面 . 又 平面， . 72 题型4 平行关系与垂直关系的相互转化 例14 (2025·四川省成都市期中)如图8.6.3-25，平面 平面,平面 平 面, 平面,点 为垂足. 图8.6.3-25 73 （1）求证： 平面 ; 【解析】 如图8.6.3-26（1），在平面内取一点,作于点 . 平面 平面,且交线为 , 图8.6.3-26 平面 .（由面面垂直得线面垂直） 平面， . 作于点, 平面 平面 ，且交线为 , 平面 , 平面, . ,都在平面内，且 ， 平面 . . . 74 如图8.6.3-26（2），在平面内作直线，在平面 内作直线 ，由平面 平面，平面 平面，得 平面 ， 同理可证 平面， . 又 平面， 平面，平面 . 又 平面，平面 平面， ， 平面 . 75 （2）当点为的垂心时，求证： 是直角三角形. 【解析】如图8.6.3-26（1），连接并延长交于点 . 点是的垂心， . 又 平面, 平面, . ,, 平面， 平面 . 又 平面, . 由（1）知 平面,又 平面 , . , 平面, 平面, 平面 . 又 平面, , 即 是直角三角形. 76 77 例15 如图8.6.3-27，在四棱锥中，底面是边长为 的菱形， ,侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面 ． 图8.6.3-27 78 （1）求证： ； 图8.6.3-28 【解析】如图8.6.3-28，取中点，连接， ，因为 侧面为正三角形，为 中点， 所以 . 又底面是边长为的菱形， ,为 中点， 所以 . ， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 又 平面，所以 . 79 （2）若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面 平面 ？ 证明你的结论． 图8.6.3-29 【解析】存在棱上的中点，使平面 平面 ， 证明如下. 如图8.6.3-28， 因为， ，所以 ， 又，分别为，的中点，则，所以 . 又底面是边长为的菱形， ,为中点，所以 . ，且 平面， 平面 ， 80 所以 平面 . 又 平面，所以平面 平面 ． 如图8.6.3-29，连接，交于点，连接,,易得四边形 是平行 四边形，所以为中点，在中，为中点，所以 . 又平面 平面， 平面,，平面 平面 ， 所以 平面，所以 平面 . 又 平面,所以平面 平面 . 思路点拨 （1）要证线线垂直，只需证线面垂直，取的中点 ,由线面垂直的判 定定理易证 平面（2）考虑所找的点满足平面平面 或平面 ，从而得出结论. 82 探索性问题的一般解题方法 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推 理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则 说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．对于此类问题，一般采 用先猜再证的方法，通常猜测特殊点的位置为中点或三等分点. 83 【学会了吗丨变式题】 图8.6.3-30 5.(2025·广西南宁市月考)如图8.6.3-30所示，在四棱锥 中，底面是边长为的正方形，,分别为, 的中点， 侧面 底面，且 . （1）求证：平面 ； 【答案】连接，则是的中点，又为的中点，故在中, ，又 平面，平面（不要忽略此条件），平面 . . . . . 84 （2）求证：平面 平面 . 【答案】 平面 平面，平面 平面, ， 平面, 平面, . 又, ,即 . 又,, 平面, 平面 . 又 平面， 平面 平面 . 85 6.如图8.6.3-31,为正三角形， 平面，//，且 ， 是 的中点． 图8.6.3-31 求证： 86 （1） ； 图D 8.6.3-5 【答案】设，则.如图D 8.6.3-5，过 作 交于点，则 . 因为 平面， 平面 , 所以， . 因为, , 所以 . 又,所以 平面，又 平面 ,所以 , 所以,所以 . 87 （2）平面 平面 ； 【答案】取的中点，连接，，则，且 , 所以四边形为平行四边形，所以 . 因为 平面， 平面,所以， . 由（1）知，又为的中点，所以 . 因为, 平面, 平面 , 所以 平面，又 平面 , 所以平面 平面 . 88 （3）平面 平面 . 【答案】由（2）知 平面，而 平面 ， 所以平面 平面 . 89 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 高考对本节的考查一是面面垂直的判定定理和性质定理,可能会结合线线、线面、面 面的平行或垂直关系进行综合考查,根据题意作出辅助线是解题的关键；二是二面角 的计算，是高考的热点，主要是先找出或作出二面角的平面角，再求解二面角的大 小；高考中多以选择题、解答题中的一问的形式出现,难度中等. 核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系或找到要求的 二面角的平面角），逻辑推理（判定定理、性质定理的应用），数学运算 （二面角的求解）. 90 考向1 二面角的大小 例16 (2023·全国乙卷)已知为等腰直角三角形,为斜边, 为等边三角形, 若二面角为 ，则直线与平面 所成角的正切值为( ) C A. B. C. D. 图8.6.3-32 【解析】如图8.6.3-32所示，取的中点为，连接， ， 则， . 又 平面, 平面,所以 即为二面角 的平面角，于是 .设 ，则 ， ， 91 在 中，由余弦定理可得 . 由正弦定理得 ， 即,显然 是锐角， 所以 ， 所以 ,故选C. 92 例17 [多选题](2023· 新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为，底面圆心为， 为底面直 径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则 ( ) AC A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为 C. D.的面积为 93 图8.6.3-33 【解析】在 中,由余弦定理得 （, ,所以 ） ，如图，连接,易知圆锥的高 ，底 面圆的半径 . 对于A，该圆锥的体积 ，故A选项正确； 对于B，该圆锥的侧面积 ，故B选项错误； 对于C，取的中点，连接, , . . 94 因为，所以，同理可得 ， 则二面角的平面角为 ，（利用定义法找二面角的平面角） 所以, , 所以 ，故C选项正确; 对于D，，,故D选项错误.综上，选 . . . . . . . 95 图8.6.3-34 例18 (2023·北京)坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴 含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓， 展现造型之美．如图8.6.3-34，某坡屋顶可视为一个五 面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等 的等腰三角形．若, ,且等腰 C A. B. C. D. 梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平面 所成 二面角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带 （不计损耗），则所需灯带的长度为( ) 96 图8.6.3-35 【解析】如图8.6.3-35,过作 平面,垂足为 , 过分别作,,垂足分别为,,连接 , .（作出辅助线，找到题目中所提的两个二面角的平 面角） 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平 面所成二面角的平面角分别为和 ， , 平面, 平面 , , 97 ,, 平面, , 平面, 平面, , 同理, . 又,故四边形 是矩形. 由得,, . 在直角三角形中, . 在直角三角形中,, . , 棱长之和为 . 故所需灯带的长度为 . 98 图8.6.3-36 例19 (2024· 新课标Ⅰ卷节选)如图8.6.3-36，四棱锥 中， 底面，,,.若 ,且 二面角的正弦值为,求 . 思路点拨 几何法求二面角的平面角的关键是找半平面的垂线， 利用线面垂直关系或三垂线法找出平面角.本题一种解法是过点 找平面的垂线，另一种解法是过点找平面 的垂线，还 可以利用射影面积法求解. 99 【解析】（考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，利用面面垂 直的性质定理可知即为平面 的垂线） 图8.6.3-37 如图8.6.3-37，过作于点,过作于点 ， 连接 , 底面, 平面 ， 平面 底面 . 平面 底面,, 底面 , 平面 . 平面, . ,,, 平面, 平 100 面 , 平面 . 平面, . ,, 平面, 平面 , 为二面角的平面角.（【小技巧】利用三垂线定理，为 在平 面上的射影，且,则,故为二面角 的平面角） 由,可知 , 设,,易知 , ,则 ， 平面, 平面 , . . . . . , 解得 , 在直角三角形中， , ,解得, , , . 名师点评 本题还可以用以下方法验证所得结果： （三正弦定理） 设二面角的平面角为 ，设 ，则 ,,,,由 ,可得 ，解得，即 ． 103 （三射线定理1） 设二面角的平面角为，则 ， ， ，设，由题意可知 ， ， ， 由 ， 可得 ， 解得，即 ． 104 （三射线定理2） 设二面角的平面角为，二面角 的 平面角为，，则,,由可得 ， 解得，即 ． 105 考向2 面面垂直的判定定理与性质定理的应用 1 判定定理的简单应用 例20 (2025·天津)已知，为两条直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的 是( ) C A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 【解析】对于A，若 ， ，则或, 异面,故A错误； 对于B，若 ， ，则 ，故B错误； 对于C，若 ， ，则 ，故C正确； 对于D，若 ， ，则 或与 相交或 ,故D错误. 106 图8.6.3-38 例21 (2023·全国甲卷)如图8.6.3-38，在三棱柱 中， 平面， ． （1）证明：平面 平面 ； 【解析】因为 平面, 平面 ， 所以 ， 因为 ，所以 , 又,, 平面 , 所以 平面 , 又 平面 , 所以平面 平面 . 107 （2）设，，求四棱锥 的高． 图8.6.3-39 【解析】如图8.6.3-39，过点作,交于点 ，由 （1）知平面 平面 ， 又平面 平面, 平面 ，所以 平面 ， 即四棱锥的高为 . 由题意知，, , 则,故 . 又, , 所以 . 108 由 ， 得 ， 故四棱锥 的高为1. 在等腰直角三角形中，为斜边中线，所以 , 故四棱锥 的高为1. 109 例22 (2023·全国乙卷节选)如图8.6.3-40，三棱锥中，， , ，,,,的中点分别为,,,,点在 上， . 图8.6.3-40 （1）证明：平面 ； 110 图8.6.3-41 【解析】如图8.6.3-41,因为，,，是 的中点，所以，所以 . 记与的交点为,,则 ，又 ， ,所以 ，所以 ,所以,所以 .又 ， ，所以 , 所以,所以是 的中点. 因为,分别是,的中点，所以 ,（中位线定理）同理 可得，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 .（线面平行的判定定理） . . （2）证明：平面 平面 . 【解析】, , 又 ， 所以,所以 . 因为，所以 ， 又,， 平面, 平面,所以 平面 . 又 平面,所以平面 平面 . 112 2 面面垂直背景下的求体积问题 图8.6.3-42 例23 (2022·全国乙卷)如图8.6.3-42，四面体 中， ，，，为 的中点. （1）证明:平面 平面 ; 【解析】因为，， ，所以 ，所以 ， 又为的中点，所以， ， 因为，且, 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 113 （2）设, ,点在上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积. 【解析】由（1）可知，因为 ，，所以 ,则 ， ， 又,所以，所以 . 连接，易知当的面积最小时，取最小值，（由（1）知 ， 所以,是等腰三角形，以为底边，就是 的高） 在中，的最小值为到的距离，故当 的面积最小时， ， 此时,则 , 则，又,易知,所以, . . . 114 因为，，,所以 平面 ， 则到平面的距离 . 故 . 由（1）知 , 又,，所以 平面 ， 所以即到平面 的距离， 由（1）得 平面 , 又 平面,则 , 故 . 例24 (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装 盒如图8.6.3-43所示.底面是边长为8（单位：）的正方形，, , ,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直. 图8.6.3-43 116 （1）证明:平面 ; 【解析】如图8.6.3-44，分别取,的中点,，连接,, ， 图8.6.3-44 因为与 均为正三角形，且边长均为8， 所以,，且 ． 117 又平面与平面均垂直于平面 ， 平面 平面,平面 平面, 平面, 平面 , 所以 平面， 平面 ， （面面垂直性质定理的应用） 所以，所以四边形 为平行四边形， 所以 ． 又 平面， 平面 , 所以平面 ． 118 （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）. 【解析】分别取,的中点,，连接,,,,，, ． 由（1）知 平面， 平面 ， 同理可证得， 平面， 平面 ， 易得， . 易得，, ， 所以 ， 又 ， 所以四边形 是正方形， 所以四棱柱 为正四棱柱， 119 所以 ． 因为,，所以 ． 因为 平面， 平面 ， 所以 ． 又, 平面，且 ， 所以 平面 ， 则点到平面的距离 ， 所以 ， 所以该包装盒的容积 ． 120 121 变式探源 (全国Ⅰ卷)如图8.6.3-45，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心， 是 底面的内接正三角形，为上一点， . 图8.6.3-45 122 （1）证明：平面 平面 ； 【解析】由题设可知， , 由于 是正三角形， 故, . 又 ，故 , ， 从而, . 因为, 平面, 平面,故 平面,又 平面 , 所以平面 平面 . 123 （2）设，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 的体积. 【解析】设圆锥的底面半径为,母线长为 . 由题设可得,,解得,，从而可得 . 由（1）知,则 , 故 . 由（1）知 平面 , 所以三棱锥的体积为 . 124 思路点拨 （1）由题意先确定三棱锥是正三棱锥，再结合 ， 可得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，从而得 平面，最后得平面 平 面；（2）由的长和圆锥的侧面积可得圆锥的底面半径，从而可得 ， 进而求得三条侧棱的长度，最后利用体积公式求解即可. 125 3 性质定理的应用 例25 [多选题](新高考全国Ⅱ卷)下列各正方体中，为下底面的中心，， 为顶 点，为所在棱的中点，则满足 的是( ) BC A. B. C. D. 126 图8.6.3-46 【解析】对于A，如图8.6.3-46（1），连接 ,由 ，可知,,,四点共面，所以直线 在平 面内，所以直线与 相交,但不垂直.故A错 误. 对于B，如图8.6.3-46（2），取的中点，连接 , ,,,则,因为平面 平面 ， 平面,所以 平面，所以 , 又,,所以,又 ， 所以 平面,所以 .故B正确. 127 对于C，如图8.6.3-46（3），作于，连接, ,,,因为平面 平面,且平面 平面, 平面且,所以 平面 .（面面垂直性质定理的应用）因为 平面,所以,又 , ， 平面, 平面,所以 平面,又 ， 所以 平面.因为 平面，所以 .故C正确. （【另解】易知,因此只需证明 即可，由面面垂直的性质可知 ,又，，所以 平面,所以 .因为 ，所以 ） 对于D,如图8.6.3-46（4），取棱的中点，连接，则，连接 ，不妨 设正方体的棱长为2，则,,,则 ,所以 ，所以不垂直于，即不垂直于 .故D错误. . . . . 高考新题型专练 1.[多选题](2025·山东省平邑第一中学月考)在棱长为2的正方体 中， 已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点 是该正方体表面及其内部的一动点，且平面 ，则下列选项正确的是 ( ) ABD A.平面 B.平面 平面 C.过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为 D.动点的轨迹所形成区域的面积是 129 【解析】对于A，如图D 8.6.3-6, ， ，，， 平面平面 . 平面，平面 ，故A正 确. 对于B，如图D 8.6.3-7,连接,，， ， 平面, 平面, 平面 . 平面， ， 同理，，， 平面, 平面 , 平面 ， 又 平面， 平面 平面 ，故B正确. 130 对于C，如图D 8.6.3-8，作出过，， 三点的 平面截正方体 所得的截面图形， 由图可知截面为正六边形，边长为 ， 截面面积为 ，故C错 误. 对于D，如图D 8.6.3-9，平面 ， 由面面平行的性质得始终在平面 内， 动点的轨迹所形成区域的面积是 ，故D正确． 故选 ． 131 2.新考法 结构不良 如图8.6.3-47，在三棱柱中， ， ，平面 平面 ． 图8.6.3-47 132 （1）求证： . 【答案】因为 ，所以 . 因为平面 平面，平面 平面， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 . 由三棱柱的结构特征可知四边形 是平行四边形， 又，所以四边形是菱形，所以 . 因为，， 平面，所以 平面 . 因为 平面，所以 . 133 （2）从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面 所成 角为 时， （ⅰ）求证：平面 平面 ； （ⅱ）求二面角 的正弦值． 条件 ； 条件 . 134 图D 8.6.3-10 【答案】选条件①. （ⅰ）因为，所以平行四边形 为矩形， 所以 . 由（1）知， 平面，又 平面 , 所以 . 因为，， 平面，所以 平 所以平面 平面 . （ⅱ）因为 平面， 平面 ， 面 . 因为 平面 ， 135 所以直线与平面所成的角为，所以 . 因为 ， 所以,,, . 如图D 8.6.3-10,作于点 . 因为平面 平面 ， 平面 平面， 平面 ， 所以 平面，又 平面，所以 . 作于点，连接 . 因为，， 平面 ， 所以 平面 . 136 因为 平面，所以,（由知，为中点，即 与 的交点） 所以是二面角的平面角.（【三垂线定理】是 在平面 上的射影，因为,所以 ,即得二面角的平面角） 因为，所以 . 因为 平面, 平面,所以 , 又，所以 ， 因为 平面, 平面,所以,所以 ， . . . . 137 所以二面角的正弦值为 . 选条件②. （ⅰ）因为, , 所以,所以 , 由（1）知 平面，又 平面,所以 . 因为,, 平面 , 所以 平面 . 因为 平面,所以平面 平面 . （ⅱ）同条件①． 138 知识测评 04 建议时间：40分钟 图8.6.3-1 1.如图8.6.3-1,在三棱锥中, 平面, , 则二面角 的大小为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 平面, 平面， 平面 ， 所以,,因此，为二面角 的平面角， 又 ，所以二面角的大小为 ，故选A. 140 图8.6.3-2 2.［教材改编P159例3］如图8.6.3-2,若垂直于矩形 所在的 平面，则该几何体的表面中相互垂直的面有( ) D A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【解析】由 平面，知平面 平面 ，平面 平面；因为,, ,所以 平面,则平面 平面;因为,, ,所以 平面,则平面 平面;因为,, ,所以 平面,则平面 平面 .所以题图中相互垂直的面共有5对，选D. 141 3.(2024·山东省菏泽市期中)在正方体中，截面与底面 所成的二面角 的正切值等于( ) C A. B. C. D. 图D 8.6.3-1 【解析】如图D 8.6.3-1，连接，交于点，则 ,连 接,则,所以为二面角 的平面角. 设,则,所以 . 142 4.(2024·上海)已知空间中有两个不重合的平面 ， 和两条不重合的直线, ，则 下列说法中正确的是( ) A A.若 ， , ，则 B.若 ， ,，则 C.若 ， , ，则 D.若 ， ,，则 143 【解析】若 , ，则 或 ，又 ，所以 ，故A正确； 若 , ，则 或 ，又，则 或与 相交但不垂直 或 或 ，故B错误； 若 ， ，则 或 ，又 ，因此和 的位置关系可能为平 行、相交或异面，故C错误； 若 ， ,，则 或 ，故D错误. 144 5.(2024·河北省石家庄市月考)如图8.6.3-3所示，在四棱锥中，底面 是 菱形，侧面是等边三角形，且平面 平面，为棱 上一点，若平 面 平面，则 __ . 图8.6.3-3 145 图 D 8.6.3-2 【解析】如图D 8.6.3-2，取的中点，连接交于点 ， 连接， , ，,， ． 平面 平面，平面 平面 , ， 平面 . 又平面 平面,平面，又平面 平面 , ， . 146 6.(2025·上海市金山中学月考)一个“皇冠”状的空间图形（如图8.6.3-4（1））由一个 正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为 .如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，如图8.6.3-4（2）， 则 的值为_ _____. 图8.6.3-4 147 图D 8.6.3-3 【解析】因为一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正 三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为 ， （解题关键点） 如图D 8.6.3-3,过点作底面的垂线，垂足为，, 分别为上、 下底面正方形的中心， 连接，,交于，连接 ， 则，又由题意可得, ， . . 148 所以 即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角. 所以 ，则 ， 由三角形都为正三角形得, ， 设正方形边长为，则,，所以, ， 所以 . 149 图8.6.3-5 7.(2025·北京市第五中学期中)如图8.6.3-5，在直三棱柱 中，，，，点 是线 段 的中点． （1）求证： ； 【答案】在直三棱柱中， 底面 ， 底面，则 ， 又，，，则 ，所以 ， 又，, 平面 , 所以 平面 ， 又 平面，所以 ． 150 （2）求二面角 的余弦值． 【答案】如图D 8.6.3-4，取的中点,连接,又点是线段 的中点，则 ，且 ， 由（1）可知 平面，则 平面，则 , 过点作，垂足为，连接 ， 又,则 平面,则 , 151 图D 8.6.3-4 所以为二面角 的平面角，（【三垂线定 理】是在平面上的射影， ,则 ,所以 即为所求二面角的平面角） 由，得 ，则 为等腰直 角三角形，且，所以，在直角三角形 中， ， ． . . 152 图8.6.3-6 8.(2025·北京市第一五九中学期中)如图8.6.3-6，在四棱锥 中，，，，平面 平 面，，点，分别是， 的中点． 求证： （1） 平面 ； 【答案】因为平面 平面，且 垂直于这两个平面 的交线，所以 平面 . 153 （2）平面 ； 【答案】因为，，为 的中点， 所以，且,所以四边形 为平行四边形, 所以 . 又 平面， 平面，所以平面 . 154 （3）平面 平面 . 【答案】由（2）知四边形为平行四边形,因为 , 所以四边形为矩形，所以, . 由（1）知 平面,所以 . 因为,, 平面,所以 平面,所以 . 因为点，分别是，的中点，所以 , 所以，又,, 平面,所以 平面 . 因为 平面,所以平面 平面 . 155 高考模拟 05 建议时间：40分钟 9.(2025·广东省广州市番禺区期末)将边长为4的正方形沿对角线 进行翻折， 使得二面角的大小为 ，连接 ，得到三棱锥，则此三棱锥的体积 与它的外接球体积的比值为( ) D A. B. C. D. 157 【解析】设正方形的对角线交点为 ， 则，, ， 图D 8.6.3-5 翻折后所得图形如图D 8.6.3-5所示， 则的中点为外接球球心，外接球半径为 . 故该四面体的外接球体积 . 由于二面角的大小为 ，, ，则 ， 平面 ， 所以四面体 的体积 ， 故此三棱锥的体积与它的外接球体积的比值为 ． 158 10.新情境 卫星模型［多选题］(2025·四川省成都市成华区期末)某球状卫星模型的 外壳表面积为 平方米，采用特殊合金材料打造，并有12根高强度钛合金杆组成 正方体支撑框架，如图8.6.3-7所示，作出支架的直观图正方体 ， 设 为外壳上的一个动点，则下列说法正确的是( ) AB 图8.6.3-7 A.存在无数个点，使得平面 B.当平面 平面时，点的轨迹长度为 C.当平面时，点的轨迹长度为 D.不存在点，使得平面 平面 159 【解析】设该球的半径为，则其表面积 ，所以 ，设正方体 的棱长为，则， . 由题意可知，平面平面，且平面，故 平面 ，则点的轨迹为正方形的外接圆（不与点重合），故有无数个点 满 足题意，故A正确； 连接,,,易知 平面，又平面 平面， 平面 ，则点的轨迹为矩形的外接圆（不与点, 重合），其周长为 ，故B正确； 因为平面，设过且与平面平行的平面为 ，则的轨迹为 与球面的交线（去掉点），其半径为，周长为 ，故C错误； 若平面 平面，则点在以 为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球 面交线为曲线，故有无数个点满足题意，故D错误.故选 . 160 11.(2024·陕西省西安市部分学校入学考试)三棱锥中，是边长为 的 等边三角形，,且二面角的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为_____. 【解析】如图D 8.6.3-6，取的中点，连接, . 图D 8.6.3-6 是边长为的等边三角形， ， ,, ， 161 又二面角的大小为 ， . ,, 平面, 平面 , 又 平面, 平面 平面 . 作于, 平面 平面, 平面, 平面 , . ,,为的外心，故三棱锥 为正 三棱锥. 162 设三棱锥的外接球的球心为，半径为 ， 则在直线上，且在三棱锥的外部,连接, , , ,解得 , 故三棱锥的外接球的表面积为 . 163 图8.6.3-8 12.(2025·陕西省汉中市汉台中学月考)如图 8.6.3-8所示，边长 为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直， 是上异于, 的点. （1）证明：平面 平面 ; 【答案】由题设知，平面 平面,且两平面的交线为 . 因为, 平面 , 所以 平面,故 . 因为为上异于,的点，且 为直径， 所以 . 又,, 平面,所以 平面 . 而 平面,故平面 平面 . 164 （2）当三棱锥体积最大时，求面与面 所成二面角的正弦值. 图D 8.6.3-7 【答案】如图D 8.6.3-7，将几何体补成长方体 ,当三棱锥体积最大时， 为 的中点，即为 的中点. 取的中点，的中点，连接,, ，易知 为平面和平面的交线， ， ，所以为平面与平面 所成二 面角的平面角（或其补角）. 易知,, , 则 . 所以面与面所成二面角的正弦值是 . 165 13.(2025·江苏省镇江市期末)如图8.6.3-9，在四棱锥中，四边形 是菱 形，， ，平面 平面,为中点， 为线段 上一点，满足平面 . 图8.6.3-9 166 （1）求 的值； 【答案】如图D 8.6.3-8，取中点，连接,，则 ， 图D 8.6.3-8 又 平面， 平面，所以平面 ， 又平面，，, 平面 ， 所以平面平面 ， 又平面 平面，平面 平面 ， 所以 ， 又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则 . 167 （2）若 ，求点到平面 的距离； 图D 8.6.3-9 【答案】如图D 8.6.3-9，连接,, ，因为 ，，四边形 是菱形，所以 为等边三角形， 由（1）知是的中点，所以 ， 又平面 平面，平面 平面 ， 平面，所以 平面，且 ， 168 又 ，所以是等边三角形，则 ， 所以 ， 在中，，，则 ， 所以 ，则 ， 连接,,则，设点到平面的距离为 ， 由，得，解得 . 169 （3）记二面角为 ，直线与平面所成角为 ，求证： 为定值. 【答案】如图D 8.6.3-9，过作于，连接,, ， 因为是的中点，所以 ， 因为平面 平面，平面 平面 ， 又 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 又，,, 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以，则是二面角 的平面角， 170 则 . 又，且，所以四边形是平行四边形，所以 ，且 ， 又 平面，所以 平面，则是直线与平面 所成的角， 则，所以 ， 又，是的中点，所以，又，所以 ， 又是的中点，则 ，为定值. 171 14.(2025·四川省凉山州期末)如图8.6.3-10，在正方体中，为 的中点． 图8.6.3-10 172 （1）如图8.6.3-10（1），求证：平面 ； 【答案】如图D 8.6.3-10所示，连接，交于，连接 ， 图D 8.6.3-10 四边形是正方形，为 的中点， 又为的中点，， 平面， 平面 ， 平面 . 173 （2）如图8.6.3-10（1），求二面角 的正切值； 图D 8.6.3-11 【答案】如图D 8.6.3-11所示，延长交的延长线于点,过 作于，连接 ． 平面， 平面， ， ， , 平面， 平面， 平面 ， ， 为二面角 的平面角． 设正方体的棱长为1． 174 是的中点，且 ， 则在中，，， ， ， ， 二面角的正切值为 ． （3）如图8.6.3-10（2），已知，为的中点，点是线段 上的动点， 过且与垂直的截面 与交于点，求三棱锥 的体积的最小值． 【答案】如图D 8.6.3-12所示，设为的中点，连接交于，连接, . 图D 8.6.3-12 176 设， . ，， ， ， ， ，即， ， 又 平面， 平面， ， 又，, 平面, 平面 ， 平面， ， 又 平面，就是三棱锥 的高. ， 177 ，且， ， 即， ， ， 当且仅当即 时取等号， 此时，解得，即 ，满足条件. 所以三棱锥的体积的最小值为 . 178 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 179 $