7.2 复数的四则运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2 复数的四则运算 第七章 复数 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的加法运算及其几何意义 1 复数的加法法则 设， 是任意两个复数，那么它们的和 （实部与实部相加，虚部与虚部相加）. 知识剖析 对复数的加法法则的理解 （1）两个复数的和仍然是一个确定的复数，但是两个虚数之和不一定是一个虚数， 如 . （2）当时，即当， 都是实数时，两个复数的和就是两个实数的和. （3）两个复数相加，类似于两个多项式相加. . . 6 2 复数的加法满足的运算律 对任意,, ，有 （1）交换律： ； （2）结合律： . 拓展 复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加， 虚部分别相加. 7 3 复数加法的几何意义 （链接教材第75页【探究】） 图7.2-1 设，分别与复数, 对应,则 , .由平面向量的坐标运算法则，得 . 这说明两个向量与 的和就是与复数 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形 法则）来进行（如图7.2-1），这就是复数加法的几何意义. 知识剖析 利用向量加法的三角形法则：两个复数分别对应两个向量，则可通过平移， 使第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，连接第一个向量的起点和第二个向 量的终点，所得向量就是两个复数的和对应的向量. . . 8 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P77 T1]计算： （1） ； 【解析】 . （2） ； 【解析】 . 9 （3） . 【解析】 . 10 例1-2 (2025·河北省邯郸市期末)若复数满足，则 的虚部为 ( ) D A.14 B. C. D.5 【解析】由题意得，则 的虚部为5． 例1-3 ［教材改编P77 T2］在复平面内，设及分别与复数 及复数 对应，计算，并在复平面内作出对应的向量 . 图7.2-3 【解析】 . 在复平面内作出对应的向量 ,如图7.2-3所示. 11 知识点2 复数的减法运算及其几何意义 1 复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 的复数叫做复数 减去复数 的差，记作 . 根据复数相等的含义，有,，因此， ，所 以，即 （实部与实 部相减，虚部与虚部相减）.这就是复数的减法法则. . . 12 知识剖析 对复数的减法法则的理解 （1）两个复数的差是一个确定的复数,但是两个虚数之差不一定是一个虚数， 如 . （2）两个复数相减，类似于两个多项式相减：把复数的代数形式看成关于“ ”的 多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了. 13 2 复数减法的几何意义 （链接教材第76页【探究】） 图7.2-2 两个复数, 在复平面内 对应的向量分别是,，那么这两个复数的差 对应 的向量是,即向量 （【助理解】两个复数的差可 对应两个向量的差，即可利用三角形法则求解）. 如果作,那么点对应的复数就是 （如图7.2-2所示）. 这说明两个向量与的差就是与复数 对应的向量.因 此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义. 特别提醒 复数减法的几何意义也可叙述为：连接表示两个复数对应的向量的终点 （起点相同的前提下），方向指向表示被减向量的终点的向量，就是两个复数的差 对应的向量. . . . . . . 14 3 复平面内对应的点之间的距离 设复数, 在复平面内对应的点分别是 , ,则 ,又复数 ,则 . 故，即表示复数, 在复平面内对应的点之间的距离. 15 学思用·典例详解 例2-4 已知复数，为虚数单位，在复平面内， 对应的 点在( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】， ， ， 故在复平面内对应的点 在第二象限． 16 图7.2-4 例2-5 (2025·山东省济南市测试)如图7.2-4所示，在复平面内，平行 四边形的顶点,,分别对应复数0,, .求： （1）向量 对应的复数； 【解析】因为 ， 所以向量对应的复数是 对应的复数为 . （2）向量 对应的复数. 【解析】因为,所以向量 对应的复数为 . . . 17 例2-6 [教材改编P77 T4]复数与 在复平面内对应的点之间的距 离为_____. 【解析】由题意可知，, 在复平面内对应的点之间的距离为 . 18 知识点3 复数的乘法运算 1 复数的乘法法则 设， 是任意两个复数，那么它们的积 . 很明显,两个复数的积是一个确定的复数.特别地，当， 都是实数时，把它们 看作复数时的积就是这两个实数的积. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成 ，并且把实部与虚部分别合并即可. . . 19 2 复数乘法的运算律 对于任意,, ，有 （1）交换律： ； （2）结合律： ； （3）分配律： . 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数，， 和正 整数，，有,, . 20 特别提醒 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立， 如： （1）当时，有；当时，有,而，故和 未 必相等.例如，当时，,，此时 . （2）当,时，有;当, 时, ，但 . 需注意：的充要条件是或 .依据复数的乘法运算可得 （知识点7有） 或 . . . . . . . 21 3 复数与 的乘积 （此处是对教材第78页【?】的探究） 设,则 ， 所以 ， 利用此结论，在复数集中可以将分解为 因为，所以，即任一复数与其共轭复数 的乘积 等于复数或 的模的平方. 22 学思用·典例详解 例3-7 [教材改编P80 习题7.2 T3] ( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 例3-8 (2025·甘肃省临潭二中模拟)复数 的实部与虚部相等，则 实数 ( ) B A.7 B. C.1 D. 【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等, ，解得 ． 23 例3-9 [教材改编P78例3]计算 ． 【解析】 ． 24 例3-10 (2025·云南省云天化中学期中)复数的共轭复数为，且满足 ， 则 ( ) C A.2 B. C.5 D. 【解析】设，则 ， ， 所以有, ， 解得, ， 即, , 所以 . （【另解】 ） 25 知识点4 复数的除法 1 定义 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满 足的复数叫做复数除以复数 的 商，记作或,,,,且 . 26 2 复数的除法法则 ,,,,且 . 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 特别提醒 1.复数除法的一般做法：通常先把写成 的形式，再 把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即 . . . 2.分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与根式除法时的 分母“有理化”的处理是类似的. 27 学思用·典例详解 例4-11 (2023·天津)已知是虚数单位，化简 的结果为______. 【解析】 . 28 例4-12 (2025·天津市塘沽一中期中)若复数，为虚数单位 是纯虚数，则 实数 的值为( ) A A. B. C.4 D.6 【解析】 因为为纯虚数，所以 解得 ． 由题意可设且 ， 则 ，（转化为乘法） 根据复数相等，得 解得 . 29 释疑惑 重难拓展 知识点5 共轭复数的性质 （1） ;（利用此性质可证明一个复数为实数） 对于非零复数，是纯虚数 .（利用此性质可证明一个复数为纯虚数） （2）若,则, . （3）, . （4） . （5） . 30 学思用·典例详解 例5-13 设,是两个任意的复数，证明 . 【解析】 . 所以 . 31 知识点6 虚数单位 的乘方 对进行运算，，， ， ，， ，由此我们可以得出如下规律： ， ，，； .（此处是对 教材第95页【复习参考题7】第8题的深挖） 32 学思用·典例详解 例6-14 计算 ． 【解析】 . 33 知识点7 复数模的几何意义及相关性质 1 的几何意义 说明 该知识点常见于各类数学竞赛及强基自招，学有余力的同学可掌握. （1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的 点为圆心， 为半径的圆. （2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 , 的对应点, 为端点的线段的垂直平分线.#1.1.2 34 （3）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段. （4）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端 点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）. （对于（3），当时，复数不存在；当时，复数 在复平面内 对应的点的集合是椭圆.对于（4），当时，复数 在复平面内对应的点的 集合是双曲线；当 时，复数不存在.这将在选择性必修第一册中进行学 习）#1.1.5 35 2 复数模的性质 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 36 学思用·典例详解 例7-15 若复数满足，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】 设复数与复平面内的点相对应， 复数满足, 在 复平面内，复数对应的点 的集合为以原点为圆心、2为半径的圆， 表示复平面内点与点 之间的距离. 点到原点的距离为2， 点在点 的轨迹上， 的最小值是0，最大值是4.故取值范围是 . ， , ， . 37 知识点8 复数范围内一元二次方程的解 1 实系数一元二次方程的解 对于一元二次方程（，且，， （注意是实系数方 程））， 判别式 方程的解 方程有两个不相等的实根, 方程有两个相等的实根 方程有两个共轭虚根, . . 38 2 复系数一元二次方程的解 若一元二次方程 为复系数（至少有一个系数为虚数）方程,则 不能用 来判断方程的根的情况,一般解法为: ①求判别式 的值（一般为虚数）; ②求“ 的平方根”（注意虚数没有平方根的概念，这里只是方便理解）,依据复 数相等的充要条件来求; ③由求根公式得原方程的根,其中, 不一定呈共轭形式, 但满足根与系数的关系. . . 39 在复数范围内,一元二次方程求解方法除了上述公式法外，还可以通过以下方法 求解： ①配方法:将一元二次方程配成完全平方的形式,然后开方求解. ②待定系数法:设方程的根为 ，将此根代入方程 中，化简后利用复数相等的充要条件列出关于实数， 的方程 组来求解． 40 学思用·典例详解 例8-16 [教材改编P79例6]方程 的一个根是( ) A A. B. C. D. 【解析】 （公式法）,的平方根为 . . 结合选项可知选A. 41 （配方法） 配方得，开方得 . . （待定系数法） 设方程的根为 , 则 , 即， 解得 . 点评 由本例可以知道，实系数一元二次方程的虚数根是成对出现的，且互为共轭 复数，因此给出已知实系数方程的一个根为,可知另一个根为 . 42 例8-17 已知关于的方程有实数根，则实数 的值为_ __. 【解析】设是原方程的实根，则 ， 即 ， 所以解得 43 题型解析 03 题型1 复数的加、减运算 例18（1）计算: . 【解析】 . （2）设,，,,且,求 . 【解析】,, , , . 45 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.当多个 复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）. 46 【学会了吗丨变式题】 1.若复数满足，则 ( ) D A. B.7 C. D.5 【解析】由得 ， 则解得则 . 47 题型2 复数加、减法的几何意义及其应用 例19 (2025·江苏省扬中市第二高级中学期末)已知在复平面内的平行四边形 的 顶点，，对应的复数分别为，1，，则 等于( ) B A.5 B. C. D. 48 【解析】由题意得，，，则, ,所以 ，所以 . 49 例20 ［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且 ,线段的中点对应的复数为 ,则( ) AD A. B. C. D. 图7.2-5 【解析】如图7.2-5，由向量的加法及减法法则可知， , . 由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模， 对应 的模. 又，所以四边形是矩形，则 . 又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以 . 50 题型3 复数的乘、除运算 1 直接运算 例21（1） __________. 【解析】原式 . （2）(2025·湖南省衡阳市月考)已知为虚数单位，则复数 可化简为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】复数 ． 51 （3）［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) AB A. B.的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【解析】 , ，A正确; ,的虚部为 ,B正确； 52 ,C错误;（实际上 是 的 根） , 在复平面内对应的点在第三象限，D错误. （【拓展】复数 具有如下性质： （1）, ; （2） ; （3） ） 53 名师点评 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如 , , . 54 【学会了吗丨变式题】 2.(2025·河北省晋州市期中)若为虚数单位， ， ，且，则 在复平面内对应的点在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】， ，且 ，，解得，则,故 在复平面内对应的点 为 ，在第四象限． 55 3.(2025·福建省厦门市期中)已知复数在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】复数在复平面内对应的点的坐标为，则 ，所以 ． 56 2 基于方程思想下的运算 例22（1）(2025·河南省三门峡市期末)已知复数满足，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由可得 . （2）(2025·湖南省株洲市期末)若，其中为虚数单位，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由复数，所以 . 57 （3）[教材改编P94 T6]已知，，若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可得， ， ， 则 ， 所以 . 58 名师点评 复数常见运算小结论 ; ; ; . 说明：结论的变形式可简单了解，不必记忆. 59 【学会了吗丨变式题】 4.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的 值是( ) B A. B. C. D.1 【解析】 ， ，， ． 60 3 的乘方的应用 例23（1）已知为虚数单位，复数 的虚部为( ) C A. B. C. D.1 【解析】,则的虚部为 （2）(2025·江西省吉安市期中)若复数满足，为虚数单位，则 ( ) C A. B.1 C. D. 【解析】由题意知，，则 ． 61 【学会了吗丨变式题】 5.(2025·江苏省常州市期中)已知，若为纯虚数，则 ( ) A A.1 B. C.2 D. 【解析】由题意得，,因为 为纯虚数，所 以 故,所以,故 . 62 题型4 共轭复数及其性质的应用 例24 (2025·陕西省榆林市第一中学月考)若复数满足，其中 为虚数 单位，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 设，则 . 故 ， 所以解得所以 . 63 设 , 由复数的性质可得 ， 则 ， 所以解得所以 . 由共轭复数的性质，将等式 ①两边都变形为其共轭复数， 则，即 ②，由①②构建方程组，消去 ，解得 . 64 求与共轭复数有关问题的策略 1.设,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化 为方程（组）求解. 2.结合题设，利用共轭复数的性质，对已知条件进行变形，简化运算. 65 【学会了吗丨变式题】 6.(2022·全国甲卷)若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】.（利用 可简化运 算） 66 题型5 复数模的性质的应用 1 求复数的模 例25 (2025·河南省濮阳市质检)已知复数满足为虚数单位 ， 则 ( ) C A. B. C.1 D. 67 【解析】 ，则 . ，则 . 68 母题 致经典·母题探究 例26 设复数满足，求 的最大值与最小值. 69 【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一 个结果为实数） 1（1的代换） 设,则 . ，, , 的最大值为3，最小值为0. . . . . 70 子题 已知复数满足，则 __. 思路一 思路二 71 【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代 入所求式， 即 . 由得 ， 所以 ， 因为与为共轭复数，所以 ， 故 . 72 2 解含复数模的方程 例27 已知复数满足，求 . 73 【解析】 由条件得 ， 故的虚部为，于是设（ （不可省略））， 代入等式得 ， 即 ， 则 ， 解得或 ， 故或 . 当时， ; 当时， . . . 74 由条件得 ， 则 ， 解得或 . 当时，, ; 当时，， . 解决与复数模有关的问题的基本策略 1.利用复数的模的性质，简化运算； 2.利用复数相等、复数的四则运算构建方程，求解复数，即得复数的模. 76 【学会了吗丨变式题】 7.(2025·华中师大一附中期末)若复数满足，是虚数单位，则 ____． 【解析】由题知， ， 于是 . 77 8.若复数满足，求 . 【答案】（可看作实部），则 ， 化简得，解得 . 所以 . （【另解】直接设 ，代入计算即可） . . 78 题型6 解复数方程 1 解实系数一元二次方程 例28 ［教材改编P81 T7］已知是方程 的一个根， 则 ___. 4 思路一 思路二 79 【解析】 把代入方程，得 ， 解得 . 由一个根是，可知另一个根是 ，则 . 80 2 解复系数一元二次方程 例29 在复数集内解方程 . 【解析】 . 设,则 解得或 所以的“平方根”为 , 另解 也可对等式左边进行因式分解,则,所以 . 所以 , 得, , 即原方程的根为, . 81 【学会了吗丨变式题】 9.(2025·广东省深圳市期末)已知是关于的方程 的一个 根，则 的根为( ) D A. B. C. D. 【解析】是关于的方程 的一个根， 则也是关于的方程 的一个根， 故解得 则，即，解得 ． 82 10.在复数范围内分解因式： ________________________________________________________________________________________________________ ． . 83 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几 何意义的考查，试题考查较为基础，以选择题、填空题为主，难度较小. 核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等），逻辑推理（复数相等、共 轭复数的性质等）. 84 考向1 复数的四则运算 例30（1）(2025· 全国一卷) 的虚部为( ) C A. B.0 C.1 D.6 【解析】 ，其虚部为1. （2）(2025· 全国二卷)已知，则 ( ) A A. B. C. D.1 【解析】 . 85 命题 探源 试题考查简单的复数四则运算，重在引导考生了解数系的扩充，掌握复数 的基本概念与基本运算. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 复数四则运算. 86 变式探源 1.(2024· 新课标Ⅰ卷)若,则 ( ) C A. B. C. D. 87 【解析】 （解方程法） 因为，所以 ， 即，即 ， 所以 . （取倒数法） 因为，所以 ， 即 ， 即 ， 所以 . 88 2.(2023·全国甲卷)设，，则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】因为,所以 且 ，解得 . 89 考向2 与共轭复数有关的四则运算 例31（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( ) A A. B. C.10 D.2 【解析】因为，所以，所以 .（【另解】 ,即 ） （2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，则 ( ) A A. B. C.0 D.1 【解析】因为，所以，所以 . 90 （3）(2023·全国乙卷)设,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，所以 . 91 考向3 复数模的求解 例32（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____. 【解析】 . （2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( ) B A. B. C.4 D.8 【解析】 由可得， ， 所以 . ，则 ，根据复数模的性质，得 . 92 （3）(2023·全国乙卷) ( ) C A.1 B.2 C. D.5 【解析】 . 93 命题 探源 本题源自教材第71页例 ，都是利用模的公式求解，试题设置简单直接， 属于基础题，突出高考源于教材、回归教材的本质. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过模的公式求解. 94 变式探源 (2022·全国甲卷)若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ， 所以 . 95 考向4 复数的几何意义 例33 (2025·上海)已知复数满足，,则 的最小值是_____. 【解析】设，则,由 ,可得 ，即，故.又由 可 得，即（结合两个式子对, 分类讨论或直接利用复数几何 意义）. . . . . 96 当时，, ,此时 . 当时，, ,此时 . 当,时，.综上, 的最小 值为 . 97 设复数在复平面内对应的点的坐标为 , 图7.2-6 其中或 ，表示两条相交线 段.表示在复平面内对应的点与点 的距离，如图 7.2-6所示，结合图知，当在复平面内对应的点为 时， 取到最小值，为 . 98 例34 (2023· 新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对 应的点为 ，位于第一象限. 99 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·陕西省安康市期末)已知复数， ， 则( ) ABD A. B. 的最小值为1 C.当时，的实部大于0 D.当时， 100 【解析】因为，所以，故 ，所以 ，故A正确； ， 所以 ， 当时， 取最小值1，故B正确； ，当时， 的实部小于0，故C错误； 当时， ，故D正确. 故选 . 101 2.［多选题］(2025·江苏省南京市期末)已知，是复数，是 的共轭复数，下列 说法正确的是( ) BCD A.若，则 B.若，则或 C.若是纯虚数，则 D.若，则 【解析】对于选项A，假设，，此时 ，但 ，A错误. 对于选项B，设, ，所以 . 所以若,则,所以或 ,所 以或 ； 102 若，将代入②中得 ， 由得，则，此时 .综上，B正确. 对于选项C，若是纯虚数，设, ， 此时 ，C正确. 对于选项D，设，所以，D正确.故选 . 103 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.(2025·福建省宁德市期末)若复数满足（是虚数单位），则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由得，，则 . 2. ( ) C A. B.1 C. D. 【解析】由题意知， . 105 3.(2025·江苏省南京市第一中学检测)已知复数，（其中 为虚数 单位，）.若是纯虚数，则 ( ) A A. B. C.1 D.4 【解析】由题意知， , 则且，则 . 4.［教材改编P80 T4］若复数满足方程，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】依题意， ， 所以 . 106 5.(全国Ⅰ卷)若,则 ( ) D A.0 B.1 C. D.2 【解析】 因为 ，所以 ． 因为，所以 . 6.已知是实数，是实数，则 的值为( ) A A. B. C.0 D. 【解析】 是实数， ,即 . 107 7.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下 列结论正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】 ，A正确； ，B正确； ，即 ，C错误； ，D正确. 故选. 108 8.复数满足，则 _ ________. 【解析】， ， 故 ， 故 ． 109 高考模拟 05 建议时间：20分钟 9.新考法 新定义题 定义运算，则满足（ 为虚数单 位）的复数 在复平面内对应的点在( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由题意可得，即，所以复数 在复平面内对应的点为 ，在第二象限. 111 10.已知 ，，是的共轭复数，且，则 ( ) D A.2 B. C. D. 【解析】由 ，得 ， ， ,且，,又 , ,,,，即， ，解得 或 （舍去）. . . 112 11.[多选题](2025·河北省邯郸市期末)已知复数， ，则下列说法 正确的是( ) CD A. B.复数 对应的点位于复平面第四象限 C. D.若复数满足，则的最大值是 【解析】对于A，, ，故A错误； 对于B， ，其对应的点位于复平面第三象限， 故B错误； 113 对于C，因 ，故 ，故C正确； 对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点 为 圆心，半径为5的圆，而可理解为点到圆 上的点 的距离，（复数模的几何意义） 图D 7.2-1 如图D 7.2-1所示，当且仅当圆上的点在 处（三点共线）时， 距离最大，为 ， 故D正确.故选 . 114 12.(2025·辽宁省辽阳市期末)已知是关于的方程 在复数范围内 的一个根，则实数 ______. 【解析】因为是方程的一个根，所以 是方程 的另一个根，则由根与系数的关系得 ，解得 . 115 13.(2025·四川省成都市期末)已知复数， . （1）若是纯虚数，求 的值； 【答案】依题意， ，则 ， 由是纯虚数，得解得，所以 . （2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中 是原点，且 ，求 . 【答案】依题意，，， ， 由，整理得解得或 ，所 以或 . 116 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 117 $