7.2 复数的四则运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 1.复数的代数形式：_______________（ ___________ ） 2.复数相等的充要条件：________________________________ 3.复数的几何意义： 4.复数的模等于向量的模：_________________________________ 实部和虚部分别对应相等 温故知新 复数 复平面内的点 平面向量 在上一节，我们把实数集扩充到了复数集．引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算． 复数如何进行四则运算呢？运算律仍成立吗？ 课堂导入 探究1 复数的加减法具体该如何运算？ 回顾：设,,则该如何表示？ 在上述运算中，我们遵循了什么原则？ 合并同类项 两个复数的加法运算可不可以类比上述原则进行呢？ 课堂探究 4 那么 显然：两个复数的和仍然 是一个确定的复数 规定 虚部相加为虚部 思考：你能用自然语言描述复数加法的规律吗 设 , 实部相加为实部   课堂探究 5 对于任意,有 , 即，复数的加法满足交换律、结合律 复数加法运算律 设是任意两个复数，那么它们的和 复数的加法法则 课堂探究 特别的，当，时的和就是这两个实数的和. 即 复数系与实数系的加法运算协调一致. 探究2 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设，分别与复数对应， 则，. 由平面向量的坐标运算法则，得 这说明两个向量与的和就是与 复数 对应的向量. 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行， 这就是复数加法的几何意义. 课堂探究 探究3 我们知道，实数的减法是加法的逆运算. 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 的复数叫做 复数减去复数的差， 记作. 课堂探究 待定系数法 根据复数相等的含义， 因此 所以 即 这就是复数的减法法则 1.两个复数的差仍然是一个确定的复数; 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减（合并同类项） 课堂探究 (a+bi)±(c+di)= (a±c)+(b±d)i 实数的加、减运算 探究4 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ 设，分别与复数对应， 则，. 由平面向量的坐标运算法则，得 这说明两个向量与的差就是与 复数 对应的向量. 因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行， 这就是复数减法的几何意义. 课堂探究 计算； 解: 典例精研 准确地提取复数的实部与虚部 类比多项式的加、减运算进行即可 (a+bi)±(c+di)= (a±c)+(b±d)i 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. 分析：由于复平面内的点，,对应的复数分别为 ， 由复数减法的几何意义知， 复数对应的向量为， 从而点 之间的距离为 典例精研 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. 解：因为复平面内的点对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 典例精研 几何问题代数化 平面上的 两点间距离公式 课堂小结 第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i. 课堂探究 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘， 只要在所得的结果中把i2换成-1， 并且把实部与虚部分别合并即可. 课堂探究 z1·z2=z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 对任意复数 z1=a+bi, z2=c+di，则 z1·z2 = (a+bi)(c+di ) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i z2·z1 = (c+di )(a+bi) = ac+bci+adi+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i 课堂探究 例3 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解：原式= (3-6i+4i-8i2)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -22+4i+11i-2i2 = -20+15i 小结： 多项式乘法 从左到右依次相乘 注意i2=-1 典例精研 例4 计算 (1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解： (1)原式=22-(3i)2 =4-(-9) =13 (2)原式=1+2i+i2 =1+2i-1 =2i 典例精研 你有什么发现？ (1) 重要结论： z·z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=ǀzǀ2=ǀzǀ2 (2) 变式：(1+i)10 f(n)=in，n∈N+ T=4 总结提升 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算. 思考 如何得到复数除法的法则？ 课堂探究 课堂探究 复数除法的法则: 根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”. 复数除法: 分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”. 类 比 课堂探究 进行复数除法运算的方法： ③运用复数乘法公式等计算、化简 ④把结果写成复数的代数形式 课堂探究 先写成 分式的形式 分母实数化 分子分母同时乘以分母的共轭复数 例5 计算(1+2i)÷(3-4i). 典例精研 利用复数乘法法则等化简 结果写成复数的代数形式 典例精研 复数除法实质上就是分母实数化的过程. 复数的除法法则形式复杂，难于记忆，容易出错，因此进行复数的除法运算，一般利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后化简，将结果写成复数的代数形式 a+bi(a,b∈R) 即可. 课堂探究 总结提升 在复数范围内解下列方程： 例6 典例精研 典例精研 典例精研 典例精研 设复数Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，则: (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 分母实数化 课堂小结 (a+bi)±(c+di)= (a±c)+(b±d)i $$