7.1 复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1 复数的概念 第七章 复数 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 2复数的概念 我们把形如的数叫做复数，其中 叫做虚数单位.全体复数构成的 集合,}叫做复数集.这样，方程在复数集 中就有解 了. 3 复数的表示 复数通常用字母表示，即 . 以后不作特殊说明时，复数都有,，其中的与分别叫做复数 的实部与虚部（【易错】虚部是,而不是 ）. . . . . 6 4 复数的分类 对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当 时， 它是实数0；当时，它叫做虚数；当且 时，它叫做纯虚数.（【注意】 虚数不能比较大小,若两个复数比较大小，则这两个复数都是实数） 显然，实数集是复数集的真子集，即 . 复数 可以分类如下： 复数 . . . 7 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图7.1-1表示. 图7.1-1 8 学思用·典例详解 例1-1 判断,,,,, 的关系. 【解析】根据各数集的含义可知， ，可用图7.1-5表示. 图7.1-5 例1-2 (2025·浙江省宁波市期末)复数 的虚部为( ) B A. B. C. D. 【解析】复数的虚部为的系数.（此处易误认为虚部为 ） 9 例1-3 [教材改编P70 T2]指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚 数: ,,,, ,0. 【解析】实数: ,0； 虚数：，，， ； 纯虚数： . 10 【想一想丨牛刀小试】 判断下列说法是否正确. （1） 不是复数，因为没有虚部； （2） 不是复数，因为没有实部. 提示 （1）错误，是复数，可以写成 的形式，因此它的虚部是0； （2）错误，是复数，可以写成 的形式，因此它的实部是0. 11 例1-4 (2025·天津市第二十一中学期中)已知 为实数，若复数 为纯虚数，则复数 的虚部为( ) C A.2 B. C.4 D. 【解析】由为纯虚数，则解得 ． 复数的虚部为 ． （复数为纯虚数的充要条件为且,切勿只让而漏掉 ） 12 知识点2 复数相等 在复数集,}中任取两个数， ，我们 规定：与相等当且仅当且和 有一个不成立时，就 有 ，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时， 两个复数才相等. 特别提醒 （1）应用复数相等的充要条件时应先将复数化为 的形 式，即先确定复数的实部和虚部. （2），，的充要条件是且 . . . 13 例2-5 (2025·广西百色市期末)已知,，则 ___. 3 【解析】因为 ， 所以解得 . 例2-6 [教材改编P70 T3]已知，求实数， 的值. 【解析】由 ， 可得解得 14 知识点3 复数的几何意义 1 复平面 因为任何一个复数都可以由一个有序实数对 唯一确定，并且任 给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数 与有序实数对 是一一对应的.而有序实数对 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所 以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 15 如图7.1-2所示,点（用大写字母表示，注意与复数的不同）的横坐标是 ，纵 坐标是（不是），复数可用点（点的坐标是 ，而不是 ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实 轴， 轴叫做虚轴. 图7.1-2 例如，复平面内的原点表示实数0，实轴上的点 表示实数2，虚轴上的 点表示纯虚数,点表示复数 等. . . . . . . 16 2 复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面 内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集 中的数和复平面内的点是一一 对应的,即复数一一对应复平面内的点 ,这是复数的一种几何意义. 17 3 复数的几何意义——与向量对应 图7.1-3 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对 来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来 表示复数. 如图7.1-3所示，设复平面内的点表示复数，连接 ， 显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量 唯一确定. 因此，复数集 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的 （实数0与零向量对应），即复数一一对应平面向量 ,这是复数的另一种 几何意义. 为方便起见,我们常把复数说成点或说成向量 ，并且规定，相等的 向量表示同一个复数.要确定一个向量对应的复数就必须找到起点为坐标原点且与此 向量相等的向量. 18 图7.1-4 知识剖析 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量 一一对应，可知复数、复平面内的点 和平面向 量之间的关系可用图 7. 表示. 19 图7.1-6 例3-7 [教材改编P73【练习】T1]说出图7.1-6中复平面内 各点所表示的复数（每个小正方格的边长为1）. 【解析】由于点的坐标为，故点对应的复数是 ; 由于点的坐标为,故点对应的复数是 ; 由于点的坐标为,故点对应的复数是 ； 由于点的坐标为，故点对应的复数是 ； 由于点的坐标为,故点对应的复数是 ; 由于点的坐标为，故点 对应的复数是0. 20 例3-8 复数 在复平面内对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由复数的几何意义知，复数 在复平面中对应点 ， 又，所以， ， 所以点 位于第一象限. 21 【想一想丨教材深挖】 复平面内表示复数的点的位置与复数实、虚部的关系 （对教材P73第4题的探究） 如果是复平面内表示复数 的点，则 点的位置 实、虚部的条件 第一象限 , 第二象限 , 第三象限 , 第四象限 , 虚轴 实轴 22 例3-9 (2025·湖北省黄冈市期末)已知在复平面内，为原点，向量, 对应的复数 分别为，，那么向量 对应复数的虚部为( ) B A.1 B.9 C. D. 【解析】由题意可知，, ， 可得 ， 所以向量对应的复数为 ， 所以向量 对应复数的虚部为9. 23 知识点4 复数的模 1 复数的模 （复数的模可以比较大小） 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或.如果 ， 那么是一个实数，它的模等于的绝对值 .由模的定义可知， （计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再代入 公式进行计算）. 注意 若复数,则 ,反之不一定成立. . . . . 24 2 复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点 到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件 的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部， 表示圆的外部. 25 例4-10 (2024· 新课标Ⅱ卷)已知，则 ( ) C A.0 B.1 C. D.2 【解析】 . 例4-11 ［教材改编P72例3］复数在复平面内对应的点为 ， 若，则满足条件的点 的集合是( ) D A.直线 B.线段 C.圆 D.单位圆及其内部 【解析】，， 点 的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及 其内部. 26 知识点5 共轭复数 1 定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共 轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数的共轭复数用表示，即若，则 . 2 性质 （1） . （2）实数的共轭复数是它本身，即 （【会运用】利用这个性质 可证明一个复数为实数）. （3）两个共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称. （【教材链接】此处回答了教材第72页【思考】） . . . . . . 27 例5-12 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数 ___________. 例5-13 若复数的共轭复数 对应的点在 第一象限,则实数 的取值范围为_ _____. 【解析】由题意知， ，则 解得 . 28 题型解析 03 知识点1 数系的扩充和复数的相关概念 1 复数的引入 为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 ，使得是方程的解，即使得 . 依照以上设想，把实数与相乘,结果记作;把实数与相加，结果记作 , 注意到所有实数以及都可以写成 的形式，从而这些数都在扩充后的 新数集中. 30 知识延伸 数系逐步扩充的过程 数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，例如， 计数的需要 自然数（正整数和零） 负数 分数 无理数 复数. 31 题型1 复数概念的考查 1 复数的分类 例14 [教材改编P73 【习题7.1】 T2](2025·山东省实验中学月考)已知 ,复数 ,当为何值时，复数 满足下列条件？ （1） 为实数； 【解析】要使为实数,需满足,且有意义，即 （【注意】分母不为0，保证分式有意义）,解得 . . 32 （2） 为虚数； 【解析】要使为虚数,需满足,且有意义，即 ,解 得且 . （3） 为纯虚数. 【解析】要使为纯虚数,需满足,且,解得 或 . 33 求解复数分类问题的关键 （1）复数为纯虚数的充要条件是且 . （2）复数为实数的充要条件是 . （3）复数为虚数的充要条件是 . 依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论 求解. 34 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的 ( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若，则复数是纯虚数，若复数 是纯虚数， 则且，所以，因此“ ”是“复数 为纯虚数”的充要条件. 35 2 复数相等的充要条件 例15（1）若,求实数, 的值. 【解析】由复数相等的充要条件， 得解得 （2）已知，求实数 的值. 【解析】因为,,所以由 . 可得解得或 所以 . . . . . 36 （3）若关于的方程有实根，求实数 的值. 【解析】设方程的实根为 , 则原方程可变为 （【巧转化】把复系数方程有实 根的问题转化为两个复数相等的问题）, 所以 （复数问题“实数化”是解决复数问题的重要方法）解得 或 . . . . . 37 解决复数相等问题的步骤：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、 虚部与虚部相等列方程组求解. 38 题型2 复数的几何意义 1 复平面内的点与复数的关系 例16 [教材改编P73 T6]实数 取什么值时，复平面内表示复数 的点满足下列条件. （1）位于第二象限； 【解析】由点位于第二象限得 （第二象限内的点的横坐标小于0， 纵坐标大于0） 解得 . 故满足条件的实数的取值范围为 . . . 39 （2）位于直线 上. 【解析】由点位于直线上得（直线 上的点的横 坐标等于纵坐标）,解得 . 故满足条件的实数 的值为1. 【解析】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 的点为 . 名师点评 由复平面内符合某种条件的点的集合求参数的取值时，通常是根据点的位 置与实、虚部的关系，列出方程（组）或不等式（组）求解. . . 40 例17（1）(2025·广东省深圳市期末)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 的共轭复数 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由复数对应的点的坐标是，可得，所以 的共轭复数 . 41 （2）新情境 欧拉公式(2025·重庆市第一中学校入学考试)欧拉公式 为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定 义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它被誉为“数学中的天桥”.根据 欧拉公式可知, 表示的复数对应的点在复平面中位于( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 , 因为 是第二象限的角， 所以， ， 所以 表示的复数对应的点位于第二象限. 42 复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都 对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就 可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值范围. 43 【学会了吗丨变式题】 2.(2025·湖南省株洲市期末)已知复数，则 在复平面内对应的点关于虚轴对 称的点是( ) D A. B. C. D. 【解析】由复数，可知在复平面内对应的点 关于虚轴对称 （关于谁对称谁不变）的点是 . . 44 3.已知复数，且，若 在复平面内对应的点位于第二 象限，则 ( ) A A. B. C.2 D. 【解析】由题意，得，得 或 ， 因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得，故 . 45 2 平面向量与复数的关系 例18（1）已知,,,,为复平面的原点，试写出 ， ，， 所表示的复数； 【解析】表示的复数为（【易错点】切勿写成）； 表示的 复数为；表示的复数为；表示的复数为 . . . 46 （2）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复数分别是 ,,,求点 对应的复数. 47 【解析】记为复平面的原点，由题意得，， . 设,则, . 由题知，，所以即 故点对应的复数为 . 48 1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点 对应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点 的有向线段即复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，关键在于对复数、复平面内的点、向量 之间的转化. 49 【学会了吗丨变式题】 4.[教材改编P81 T5](2025·江苏省南京市期末)在复平面内，复数,1, 所对应的点 分别为，，，四边形为平行四边形，则点 对应的复数为_______. 【解析】根据题意得,,，设，由 ，则 ，解得, ， 所以点的坐标为，其对应的复数为 . 50 题型3 复数的模的相关问题 1 复数的模的有关计算 例19 已知复数,则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】 , 所以 , 因为,所以 . 51 例20 已知,求复数 . 【解析】 设，则 , . 因为,所以 . 则解得所以 . 因为，复数的实部为，虚部为5，所以 , ， 即，得 ， 所以 . 52 2 复数的模的几何意义 例21 已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点的轨迹是 ( ) B A.一个圆 B.两个圆 C.两个点 D.线段 【解析】因为复数满足 ， 即，所以或 ， 它表示以原点为圆心，半径为2和1的圆． 53 例22 (2025·广东省广州市期末)若复数满足，则复数 在复平面上 对应的点构成的图形的面积为_____. 【解析】由，解得，则满足的复数 在复平 面上对应的点构成的图形是以原点为圆心，分别以2和4为半径的圆所夹的圆环，其 面积为 . 54 对复数的模的理解 （1）数的角度理解 首先应将复数化为标准的代数形式 ，得到实 部与虚部，再利用模的公式 求解.两个复数不全是实数不能比较大小， 但它们的模表示实数，可以比较大小． （2）几何角度理解 表示点到原点的距离，也是向量 的模，要善于应用数形 结合的思想方法，把模的问题转化为几何问题来解决． 55 【学会了吗丨变式题】 5.(2025·四川省德阳市期末)已知复数：，则“”是“ ” 的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】，因为 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 56 6.［多选题］(2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中学月考)已知复数 ， ，，在复平面内对应的点分别为， ，则( ) BD A.， 两点在以原点为圆心的同一个圆上 B.，两点之间的距离为 C.满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D.满足的复数对应的点形成的图形的面积是 57 【解析】对于A，，，所以 ，所 以， 两点不在以原点为圆心的同一个圆（圆上的点到原点的距离相等）上，故 A错误； 对于B，，两点之间的距离为 ，故B正确； 对于C，满足的复数对应的点 形成的图形是以原点为圆心，以5为半 径的圆，所以其周长为 ，故C错误； 对于D，满足的复数对应的点 形成的图形是以原点为圆心，分别以 ， 为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为 ，故D正确． 故选 . . . 58 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.(2025·江苏省盐城市期中)复数 的实部和虚部分别为( ) A A., B., C., D., 【解析】因为， ， 所以的实部为，虚部为 . 60 2.若，其中是虚数单位，，，则 在复平面内对应的 点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由得即.所以 在复平面内对应的点 为 ，位于第一象限，选A. 61 3.［教材改编P80习题7.2 T2］(2025·北京市朝阳区期中)设是原点，向量， 对 应的复数分别为，，那么向量 对应的复数是( ) B A. B. C. D. 【解析】 向量，对应的复数分别为， ， ， ， ， 向量对应的复数是 ． 62 4.(2025·云南省昭通一中期末)已知复数的模为5，实部为4，则复数 为( ) B A. B.或 C. D.或 【解析】已知复数的模为5，实部为4，则复数的虚部为 ，即复数 为或 .故选B. 63 5.[多选题](2025·湖南省郴州市期末)已知复数（ 为虚数单位），则以下说法 正确的有( ) BC A.复数的虚部为 B. C.复数的共轭复数为 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限 【解析】对于A，由可得其虚部为 ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为 ，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为 ，易知该点位于第四象限， 故D错误.故选 . 64 6.在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则 _____. 【解析】由复数的模的定义及，得，解得 .又在复平面 内，复数所对应的点位于第四象限，所以，所以 . 65 7.已知复数，当实数取什么值时，复数 满足 下列条件？ （1） 是实数； 【答案】当，即或时， 是实数. （2） 是虚数； 【答案】当，即且时， 是虚数. （3） 是纯虚数； 【答案】当即时， 是纯虚数. （4） 在复平面内对应的点在实轴的上方； 【答案】当，即或时， 在复平面内对应的点在实 轴的上方. 66 （5）在复平面内对应的点在直线 上； 【答案】当 （复数在复平面内对应点的坐标为 ），即 ，即或时， 在复平面内对应的点在直线 上. （6） 在复平面内对应的点在第四象限. 【答案】当且,即时， 在复平面内 对应的点在第四象限. . . 67 高考模拟 05 建议时间：25分钟 8.［教材改编P74 T11］(2025·山东省青岛市期末)若复数， ， ，在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数 的值为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由于复数，，， 在复平面内 对应的点在同一个圆上，且 ,所以该圆以原点为圆心，（不在同一条 直线上的三个点确定一个圆） 则，故 ， 由于为正实数，故 ． 69 9.复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转 ，所得点对应的复 数是( ) C A. B. C. D. 图D 7.1-1 【解析】如图D 7.1-1，复数 在复平面内对应的点为 ，因为，所以 . 将点绕着原点逆时针旋转 ，得到的点与点关于 轴对称， 即点 ， 因此，所求复数为 ． 70 10.［多选题］(2025·辽宁省抚顺市期末)已知复数 ，则下列说法正确的是( ) BCD A.复数 的模的最大值为2 B.若，是纯虚数，则 C. 时，复数对应的点在第一象限 D.复数 的模为定值 71 【解析】对于A，D， ，故 ，A错 误，D正确； 对于B，且，即，又，故 ， B正确； 对于C，当时， ， 故且，复数对应的点在第一象限，C正确.故选 . 72 11.新考法数学文化[多选题]18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点 来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的模的 几何意义为复数对应的点到原点 的距离．下列说法正确的是( ) BCD A.若，则或 B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C.若点的坐标为，则 在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 73 【解析】令（举反例），满足 ，故A错误； 复数与分别对应向量与 ， 则, , ,向量对应的复数为 ，故B正确； 点的坐标为 ， 在复平面内对应的点 在第三象限，故C正确； 设，， ， 复数满足， ， 复数 在复平面内对应的点所构成的图形（该图形为圆环）面积为 ，故D正确．故选 ． . . . . 74 12.新考法开放创新(2025·江苏省苏州市期中)写出一个同时满足下列条件①②的复 数： _______． ① ； ② 在复平面内对应的点在第二象限． 【解析】（答案不唯一） 设复数，，且 在复平面内对应的点 在第二象限， 可以取,,故 . 75 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 76 $