专题 9.8 因式分解（全章复习讲义）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 9.8 因式分解（全章复习讲义） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【考点一】因式分解的概念 1 【题型 1】判断下列变形是否为因式分解 1 【题型 2】已知因式分解结果求参数 3 【考点二】提公因式法 5 【题型 3】直接提取公因式分解因式 5 【题型 4】提取整体公因式 6 【考点三】公式法（平方差公式与完全平方公式） 8 【题型 5】判断能否用公式法分解因式 8 【题型 6】直接用平方差公式分解 10 【题型 7】直接用完全平方公式分解 11 【题型 8】先提公因式再用公式法 13 【考点四】因式分解的简单应用 15 【题型 9】利用因式分解进行有理数简算 15 【题型 10】因式分解后整体代入求值 17 【培优篇】 18 【考点五】十字相乘法和分组分解法 18 【题型 11】十字相乘法进行因式分解 18 【题型 12】分组分解法进行因式分解 20 【考点六】因式分解法的综合应用 22 【题型 13】综合运用合理方法进行因式分解 22 【题型 14】利用因式分解进行证明 25 【题型 15】因式分解规律探究 28 二.中考真题 33 （一）单选题（5题） 33 （二）填空题（5题） 35 （三）解答题（4题） 37 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【考点一】因式分解的概念 【题型 1】判断下列变形是否为因式分解 【例题1】（25-26八年级上·河南开封·期末）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．根据因式分解的定义进行解答即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B．符合因式分解定义，是因式分解，故该选项符合题意； C．右边出现分式，不是整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D．属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解的定义． 因式分解需将多项式分解为整式的乘积，甲中左边为单项式，乙中右边为和的形式，均不满足定义． 【详解】解：∵ 因式分解的对象必须是多项式，甲中是单项式， ∴ 甲不是因式分解． ∵ 因式分解的结果必须是整式的乘积，乙中是和的形式， ∴ 乙不是因式分解． ∴ 甲、乙均不是因式分解， 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【题型 2】已知因式分解结果求参数 【例题2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 【考点二】提公因式法 【题型 3】直接提取公因式分解因式 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握找公因式的方法，提取公因式后检查括号内的项是否完整是解题的关键． （1）找出多项式各项的公因式，提取公因式后，将剩余部分整理成括号内的代数式； （2）确定两项的公因式，提取公因式，确保括号内的多项式不再有公因式； （3）观察三项的系数与字母，提取公因式，注意最后一项提取后剩余，不要遗漏． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先提取公因式，再检查剩余多项式是否能继续分解，分解要彻底是解题的关键． 通过提取公因式，将多项式分解为与二次式的乘积，并验证其他选项是否等价． 【详解】解：A、 ，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·新疆巴州·期末）将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B．y C． D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定．先利用提公因式法分解因式，然后再确定公因式即可． 【详解】解：， 即公因式为． 故选：B 【变式3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果，那么 ． 【答案】63 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式，将原式化为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴原式， 故答案为：63． 【题型 4】提取整体公因式 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． （1）是这两个式子的公因式，可以直接提出，由此可得结果． （2）是这两个式子的公因式，提出后注意符号的变化，由此可得结果． 【详解】（1）解： （2） 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． 先提取公因式，再将第二个因式合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【考点三】公式法（平方差公式与完全平方公式） 【题型 5】判断能否用公式法分解因式 【例题3】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断能否用公式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶：可提公因式，得，不属于公式法，故A不符合； ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，故B不符合； ：符合平方差公式，可分解为，故C符合； ：不符合完全平方公式的结构，且无法用公式法分解，故D不符合． 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 【题型 6】直接用平方差公式分解 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，掌握用公式分解，分解后合并同类项并检查是否能继续分解是解题的关键． （1）观察式子为平方差形式，将看作，看作，直接用平方差公式分解； （2）将和看作平方项，用平方差公式分解后合并括号内的同类项； （3）将和看作平方项，用平方差公式分解后化简，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． 运用平方差公式进行因式分解求解即可． 【详解】解：运用平方差公式进行因式分解可得： ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式进行因式分解即可．观察多项式为平方差形式，应用平方差公式分解，分解后观察因式中还存在可因式分解的式子，故再次利用平方差公式进行分解，得出最后的表达式． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先把原式化为，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用平方差公式进行因式分解，然后化简即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型 7】直接用完全平方公式分解 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键． （1）（2）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 8】先提公因式再用公式法 【例题3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式2，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解． （2）先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法与完全平方公式的综合应用，解题关键是先提取公因式，再对剩余部分套用公式． 先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再对括号内的二次三项式利用完全平方公式进行因式分解 【详解】原式 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． （1）先提取公因式，再利用利用完全平方公式分解因式即可． （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点四】因式分解的简单应用 【题型 9】利用因式分解进行有理数简算 【例题9】（25-26八年级上·江西上饶·月考）简便运算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算： ． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型 10】因式分解后整体代入求值 【例题10】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了因式分解的运用，首先由，得到，然后利用完全平方公式得到，而，由此可以求出的值，再把提取公因式，最后代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东东营·期末）已知，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先对所求代数式因式分解，转化为含已知条件与的形式，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 又∵，， ∴原式． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为 ． 【答案】2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 【变式3】（25-26八年级上·广西防城港·月考）已知x，y满足，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，先利用提公因式法进行因式分解，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【培优篇】 【考点五】十字相乘法和分组分解法 【题型 11】十字相乘法进行因式分解 【例题11】（2025八年级上·山东·专题练习）因式分解 (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法--十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 通过逐一验证每个选项的因式分解是否正确即可． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法），熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）通过十字相乘法，将二次三项式分解为两个一次式的乘积． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【题型 12】分组分解法进行因式分解 【例题12】（25-26八年级上·山东临沂·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先分组得到，再利用提公因式法分解因式即可； （2）先提取公因数2，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 【变式2】（25-26六年级上·黑龙江绥化·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括分组分解法、完全平方公式和平方差公式，掌握观察式子结构，选择合适的分解方法，先分组或用完全平方，再用平方差公式是解题的关键． （1）分组分解，将前两项和后两项分别分组，提取公因式后再整体提取公因式； （2）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【考点六】因式分解法的综合应用 【题型 13】综合运用合理方法进行因式分解 【例题13】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式重新分组，通过配方法凑成两个完全平方式的差，再利用平方差公式进行分解； （2）先将式子分组，把用完全平方公式分解，再与剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了分组分解法、平方差公式和完全平方公式的因式分解，解题关键是合理分组，先分解可分解的部分，再提取公因式完成整体分解． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握添项法与十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）将原式变形后解答即可； （2）用十字相乘法因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型 14】利用因式分解进行证明 【例题14】（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真阅读下面的命题和部分证明过程． 问题： 如何证明命题“像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）”． 证明： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则 请你将上述证明过程补充完整． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了命题与证明，整式的混合运算，根据命题的含义及整式混合运算法则，分类讨论即可求解． 【详解】解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为4的倍数， 而不是4的倍数，矛盾，故不可能均为偶数； ②若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为4的倍数， 而不是4的倍数，矛盾，故不可能均为奇数， ③若一个是奇数一个是偶数，则为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数， 由①②③可知，形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数） 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】（1）求的结果是8的几倍？ 【证明】（2）证明两个连续奇数与（n为整数）的平方差是8的整数倍； 【延伸】（3）两个连续偶数与（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 【答案】（1）是8的8倍；（2）见解析；（3）两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数，若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4． 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． （1）通过计算即可得出答案； （2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论； （3）首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴是8的8倍； （2）证明： ， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数； （3）解：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下： 设两个连续的偶数分别为：，， ∵ ， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数， ∵ ∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4． 【变式2】（2026八年级下·江苏·专题练习）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查了因式分解的应用，运用因式分解的方法简化运算． 由能被57整除可设（m为正整数），即，根据幂的乘方和提公因式得，于是可得到是57的倍数． 【详解】证明：能被57整除， 设（m为正整数），即， ， 是57的倍数． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，证明这个三角形是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握分组法进行因式分解． 将，进行因式分解，再根据等腰三角形的定义进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 【题型 15】因式分解规律探究 【例题15】（25-26八年级上·江西赣州·月考）【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 【答案】 （1）① ；② ； （2）； （3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究与应用，解题的关键是发现与多项式相乘的结果规律． （1） 依据已知式子的规律，直接写出结果； （2） 逆用规律将分解为与对应多项式的乘积； （3） 把底数看作，逆用规律计算式子的值． 【详解】（1）①解：由规律得， 故答案为：． ②解：由规律得， 故答案为：． （2）解：逆用规律得， 故答案为：． （3） 解：令， 原式 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3)65 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， ， 所以． 故答案为：3． （2）发现的规律是：． 证明如下： 左边 ＝右边， 故此等式成立． （3）因为的结果恰好是一个整数的平方， 所以是一个整数的平方． 因为， 又因为， 所以， 解得， 所以． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）分解因式与整式乘法是相反变形，如是整式乘法运算，相反变形是多项式的因式分解． (1)计算并观察下列各式： _____； _____； _____． (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （_____）． (3)利用你发现的规律计算的结果为_____． (4)请结合上面的方法分解因式． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的规律，掌握多项式乘法与因式分解的规律是解题的关键． （1）直接展开多项式乘法，计算后观察结果与原式次数的对应关系； （2）结合前一问的计算结果，对比与规律形式，确定括号内的多项式； （3）从具体例子推广到一般形式，总结与的降幂多项式相乘的通用规律； （4）将代入已总结的规律，完成因式分解． 【详解】（1）解：计算结果如下： ； ； ． （2）解：观察规律可以发现，当 乘以一个从的次幂开始，依次降幂到常数的多项式时，结果是； 要使结果为，则，所以括号中的多项式应为从即开始，一直到常数的多项式． （3）解：根据（1）中发现的规律，与一个最高次项为的降幂多项式相乘，结果为， 本题中多项式的最高次项为，即，所以计算结果为． （4）解：根据规律，； 所以，的因式分解结果为． 【变式3】（23-24八年级上·山东烟台·期中）【问题提出】 计算： 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为： 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： ① ②由①知，所以， （1）仿照②，写出进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）______． 【问题解决】 （3）计算：______（结果用乘方表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键． （1）仿照②进行解答即可； （2）归纳①、②得到规律即可； （3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ． 故答案为． （3） ． 故答案为． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 3．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：选项A，B中的等式不成立； 选项C中，，正确． D选项中，多项式在实数范围内不能因式分解； 故选C． 4．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． （二）填空题（5题） 6．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（2025·山东东营·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 答案为：． 10．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． （三）解答题（4题） 11．（23-24八年级上·四川乐山·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用平方差公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 12．（2024·福建泉州·二模）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 13．（2025·河北邢台·三模）已知，，（为常数）． (1)若， ①对整式进行因式分解； ②化简． (2)若，且的计算结果是非负数，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）①把代入，再利用完全平方公式因式分解即可；②根据整式的加减运算法则计算即可； （）把代入，再对代数式进行化简，最后根据结果是非负数列出不等式求出的取值范围即可； 本题考查了因式分解，整式的加减运算，解一元一次不等式，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时， ； ② ； （2）解：当时， ， 的结果是非负数， ， 解得． 14．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ． ； （2）证明： ， 不可能小于0． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 9.8 因式分解（全章复习讲义） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【考点一】因式分解的概念 1 【题型 1】判断下列变形是否为因式分解 1 【题型 2】已知因式分解结果求参数 3 【考点二】提公因式法 5 【题型 3】直接提取公因式分解因式 5 【题型 4】提取整体公因式 6 【考点三】公式法（平方差公式与完全平方公式） 8 【题型 5】判断能否用公式法分解因式 8 【题型 6】直接用平方差公式分解 10 【题型 7】直接用完全平方公式分解 11 【题型 8】先提公因式再用公式法 13 【考点四】因式分解的简单应用 15 【题型 9】利用因式分解进行有理数简算 15 【题型 10】因式分解后整体代入求值 17 【培优篇】 18 【考点五】十字相乘法和分组分解法 18 【题型 11】十字相乘法进行因式分解 18 【题型 12】分组分解法进行因式分解 20 【考点六】因式分解法的综合应用 22 【题型 13】综合运用合理方法进行因式分解 22 【题型 14】利用因式分解进行证明 25 【题型 15】因式分解规律探究 28 二.中考真题 33 （一）单选题（5题） 33 （二）填空题（5题） 35 （三）解答题（4题） 37 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【考点一】因式分解的概念 【题型 1】判断下列变形是否为因式分解 【例题1】（25-26八年级上·河南开封·期末）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【变式2】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【题型 2】已知因式分解结果求参数 【例题2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【考点二】提公因式法 【题型 3】直接提取公因式分解因式 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·新疆巴州·期末）将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B．y C． D．x 【变式3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果，那么 ． 【题型 4】提取整体公因式 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）因式分解：． 【考点三】公式法（平方差公式与完全平方公式） 【题型 5】判断能否用公式法分解因式 【例题3】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型 6】直接用平方差公式分解 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式： ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【题型 7】直接用完全平方公式分解 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【题型 8】先提公因式再用公式法 【例题3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）因式分解： (1)； (2)． 【考点四】因式分解的简单应用 【题型 9】利用因式分解进行有理数简算 【例题9】（25-26八年级上·江西上饶·月考）简便运算 (1)． (2) 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算： ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【题型 10】因式分解后整体代入求值 【例题10】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知，，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·山东东营·期末）已知，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．36 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·广西防城港·月考）已知x，y满足，且，求代数式的值． 【培优篇】 【考点五】十字相乘法和分组分解法 【题型 11】十字相乘法进行因式分解 【例题11】（2025八年级上·山东·专题练习）因式分解 (1)； (2) (3) 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： (1)； (2)． 【题型 12】分组分解法进行因式分解 【例题12】（25-26八年级上·山东临沂·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【变式2】（25-26六年级上·黑龙江绥化·月考）分解因式： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【考点六】因式分解法的综合应用 【题型 13】综合运用合理方法进行因式分解 【例题13】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）分解因式： (1)； (2)； 【题型 14】利用因式分解进行证明 【例题14】（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真阅读下面的命题和部分证明过程． 问题： 如何证明命题“像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）”． 证明： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则 请你将上述证明过程补充完整． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】（1）求的结果是8的几倍？ 【证明】（2）证明两个连续奇数与（n为整数）的平方差是8的整数倍； 【延伸】（3）两个连续偶数与（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 【变式2】（2026八年级下·江苏·专题练习）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，证明这个三角形是等腰三角形． 【题型 15】因式分解规律探究 【例题15】（25-26八年级上·江西赣州·月考）【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【答案】(1)3 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）分解因式与整式乘法是相反变形，如是整式乘法运算，相反变形是多项式的因式分解． (1)计算并观察下列各式： _____； _____； _____． (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （_____）． (3)利用你发现的规律计算的结果为_____． (4)请结合上面的方法分解因式． 【变式3】（23-24八年级上·山东烟台·期中）【问题提出】 计算： 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为： 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： ① ②由①知，所以， （1）仿照②，写出进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）______． 【问题解决】 （3）计算：______（结果用乘方表示）． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 3．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 （二）填空题（5题） 6．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解： ． 7．（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解： ． 8．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 9．（2025·山东东营·模拟预测）分解因式： ． 10．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． （三）解答题（4题） 11．（23-24八年级上·四川乐山·期末）因式分解： (1)； (2) 12．（2024·福建泉州·二模）分解因式： (1)； (2)． 13．（2025·河北邢台·三模）已知，，（为常数）． (1)若， ①对整式进行因式分解； ②化简． (2)若，且的计算结果是非负数，求的取值范围． 14．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $