精品解析：山东德州市宁津县2025-2026学年第一学期期末检测八年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末八年级教学质量检测 数学试题 试卷说明： 本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列四个图案是历届亚运会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握“轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形”． 根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否存在这样的对称轴． 【详解】解：A、找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项不符合题意； B、找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项不符合题意； C、存在竖直直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项符合题意； D、找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，此选项不符合题意； 故选：C． 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和，先求出，根据，得，进而计算出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：A． 4. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 【详解】解：A、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， B、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， C、将沿折叠后，垂直，故此是的高， D、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C 5. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式的乘积． 根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式的乘积，判断各选项是否符合． 【详解】解：A、左边是乘积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B、左边是单项式，不是多项式，且右边是乘积，但不符合因式分解的对象要求； C、右边不是乘积形式，而是和的形式，不是因式分解； D、左边是多项式，右边是，即乘积形式，是因式分解． 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项正确，符合题意； 故选：D 7. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 8. 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系，是解题的关键．设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，合作效率为各自效率之和，即，合作时间小时完成整个工作（工作量为1），故效率之和等于，即可列出方程． 【详解】解：设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，根据题意得： ． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（ ） A. 17 B. 18.5 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线、作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明有则则的周长等于从而求解. 【详解】解：由作图可知，平分，， 的周长等于 故选：C. 10. 如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 12. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 13. 如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 14. 如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为___________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数． 先解分式方程得到 ，再根据解为非负数以及方程的分母不为零的条件列不等式求解． 【详解】解： ， 去分母得 ， 解得 ， ∵ 方程的解为非负数， ∴ ，即 ，解得 ， 又∵ 分母 ，即 ， ∴ ，解得 ， 故 且． 故答案为且． 15. 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解： （1）原式变形后，提取公因式； （2）提取公因式后，再用平方差公式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. （1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 【答案】（1）13（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键． （1）先去括号，在合并同类项，然后把代入化简后的式子计算即可； （2）先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= =； ∵， ∴． ∴． ∴原式=． （2）原式= = =． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点C与点关于y轴对称， 点C的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点E的坐标为或或． 19. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为________； （2）若，，求的大小． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【小问1详解】 解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 20. 列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 【答案】每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． 设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合实际意义， ∴． 答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元． 21. 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． （1）当时，______； （2）当时，求证：； （3）在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）存在是等腰三角形，或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）首先得到，然后证明出，，利用即可得证； （3）首先表示出，，然后分三种情况讨论，分别求出的大小即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴①当时， ∴ ∴ ∴； ②当时， ∴ ∴ ∴，不符合题意，应舍去； ③当时， ∴ ∴ ∴， 综合所述，存在是等腰三角形，或． 22. 将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： 【直接应用】 （1）若，，则________． 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、，若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）32；（2）80；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）由题意可得，即可求解； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，，可得，，代入即可求解. 【详解】解：（1）∵ 故答案为：32； （2）由条件可知 ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 23. 如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． （1）①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）①如图1所示： ②证明：，C关于直线l对称， ， ，， ， ， ， ； （2）①图形如图2所示； ②结论： 理由：设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接． 由（1）可知， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②证明，即可； （2）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②结论：．设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接．证明，推出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末八年级教学质量检测 数学试题 试卷说明： 本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列四个图案是历届亚运会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（ ） A. 17 B. 18.5 C. 20 D. 25 10. 如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 12. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 13. 如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 14. 如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为___________ 15. 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 分解因式 （1）； （2）． 17. （1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 19. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为________； （2）若，，求的大小． 20. 列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 21. 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． （1）当时，______； （2）当时，求证：； （3）在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 22. 将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： 【直接应用】 （1）若，，则________． 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、，若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 23. 如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． （1）①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $