精品解析：河南驻马店市实验中学2025-2026学年度上学期九年级期末数学学情研判

2025—2026学年度上学期九年级期末数学学情研判 本试卷共三道大题，共120分，考试时间100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，1，3 B. 2，，3 C. 2，， D. 2，，1 【答案】C 【解析】 【分析】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【详解】解：由方程可得：，则有； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 2. 如图几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看图形为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 如图，矩形中，，两条对角线所夹的钝角为，则对角线的长为(　　) A. 3 B. 6 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的对角线互相平分可得． 【详解】解：在矩形中，， ∵两条对角线所夹的钝角为 ， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 4. 反比例函数的图象过，则k的值为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象过，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点． 5. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 7. 2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求概率． 通过列表法列出所有等可能结果，总共有9种情况，两人都选豆包只有1种情况，因此概率为． 【详解】解：设为A，豆包为B，为C． 所有可能结果列表如下： A B C A B C ∵总结果数为种， 且两人都选豆包的结果为，只有1种， ∴他们恰好都选到豆包的概率． 故选：D． 8. 如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设小正方形边长为1， ，，， ， 是直角三角形， ， 在中，，， ， 故选：B． 9. 如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（ ） A. B. C. 45 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 由，可得，由，可得，由是的直径，可得，则，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上， 如图，连接， 由圆周角定理得：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是根据比例设参数． 由已知比例关系设参数表示和，再代入代数式化简． 【详解】解：由，设，（）， 则 ． 故答案为：． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13. 若函数是二次函数且有最小值，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质等知识．根据二次函数的定义得到，解得，根据二次函数有最小值，得到需开口向上，，即可求出，问题得解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵函数有最小值， ∴， ∴． 故答案为：2 14. 如图，半圆的直径，将半圆绕点旋转，得到半圆，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、含的直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 连接，，过点作，根据勾股定理求出的长，进而证明为等边三角形，则可以根据圆周角定理和含的直角三角形的性质可求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接，，过点作，如图， 由旋转可得，， 为直径， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，， 在中，， ， 故答案为：． 15. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于． ，， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，掌握实数的混合运算法则和解一元二次方程的步骤是解题的关键． （）分别计算负整数指数幂，计算零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，最后进行加减计算． （）利用因式分解法求解； 【详解】解：（）原式 ； （） 移项合并，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对全校学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统计图．请根据图①、②中所给的信息解答下列问题： （1）该校共有______名学生，并将图①补充完整； （2）已知该市共有名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩优秀； （3）该校德育处从全校答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出必有“丁”参加的概率． 【答案】（1）， 条形统计图补充为： （2）估计该市大约有名学生在这次活动中成绩优秀； （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，样本估计总体，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，画树状图，正确计算样本容量是解题的关键． ()根据样本容量频数所占百分数，求得样本容量解答即可，计算等级为一般的人数补图即可． ()利用样本估计总体计算即可， ()根据列表或画树状图法，解答即可. 【小问1详解】 解：（名）， 所以该校共有名学生； 故答案为：； 等级为一般的人数为（名） 【小问2详解】 （名）， 所以估计该市大约有名学生在这次活动中成绩优秀； 【小问3详解】 画树状图为： 共有种等可能的结果，其中必有“丁”参加的结果数为，所以必有“丁”参加的概率． 18. 如图，以的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE，且，垂足为E． （1）求证： （2）若⊙O的半径为5，．求AC的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，易证，且为等腰三角形，进而证得． （2）连接BD，证得，，由求得AD的长，进而求得AC的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接BD ∵AB是圆的直径 ∴即 ∵ ∴BD为AC的中线 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握圆的相关定理性质是解题的关键． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当取什么值时，． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过作于，过作于，设，首先根据题意求出，，，，然后利用代入求解即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作于，过作于， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的面积为6． 【小问3详解】 由图象可得， 当或时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数结合综合题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 21. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）． 【答案】古树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则， ，即， 设，则， 在中，， ， ∵， ． ，， ， ， ， ． 答：古树的高度约为． 22. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 m 8 … （1）观察表格，______________； （2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象； （3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3 （2）， 该二次函数的图象如图， （3） 【解析】 【分析】（1）由表格可求出该抛物线的对称轴，从而即可求出m的值； （2）根据表格结合（1）可知其顶点坐标为，故可设该抛物线解析式为．再将，代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描点画图即可； （3）根据该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，结合图象可知．再根据抛物线的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．最后根据，得出点B到直线的距离，即时，满足，结合表格即可知． 【小问1详解】 由表格可知当时，；当时，， ∴该抛物线的对称轴为直线． ∴当时的函数值与时的函数值相等． ∵当时，， ∴当时，，即． 故答案为：3； 【小问2详解】 由（1）知该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴可设该抛物线解析式为． ∵当时，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为． 【小问3详解】 ∵该二次函数的图象与直线有两个交点A，B， ∴． 由二次函数的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等． ∵， ∴点B到直线的距离． ∴当，即时，满足． ∴．　 综上可知． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 23. 如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． （1）线段的长为______________． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，．设，则，在中，由勾股定理求解，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）先证明，然后由折叠以及等量代换得到，先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形； （3）先证明，然后证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，． 由翻折可知：，． 设，则， 在中，， ， 在中，， 即，解得， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（2）可知四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ， 解得． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级期末数学学情研判 本试卷共三道大题，共120分，考试时间100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，1，3 B. 2，，3 C. 2，， D. 2，，1 2. 如图几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形中，，两条对角线所夹的钝角为，则对角线的长为(　　) A. 3 B. 6 C. D. 10 4. 反比例函数的图象过，则k的值为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 25 5. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（ ） A. B. C. 45 D. 10. 如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则代数式的值为________． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 13. 若函数是二次函数且有最小值，则_____． 14. 如图，半圆的直径，将半圆绕点旋转，得到半圆，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为______. 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对全校学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统计图．请根据图①、②中所给的信息解答下列问题： （1）该校共有______名学生，并将图①补充完整； （2）已知该市共有名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩优秀； （3）该校德育处从全校答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出必有“丁”参加的概率． 18. 如图，以的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE，且，垂足为E． （1）求证： （2）若⊙O的半径为5，．求AC的长． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当取什么值时，． 20. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 21. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）． 22. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 m 8 … （1）观察表格，______________； （2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象； （3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 23. 如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． （1）线段的长为______________． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $