25.4 一次函数的应用 讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册精讲精练

25.4 一次函数的应用 一、一次函数的应用 一次函数在现实生活中有广泛的应用，我们利用一次函数来解决一些简单的实际问题. 例1 一根蜡烛长30 cm, 点燃后匀速燃烧50 min后的长度恰为原来长度的一半.设燃烧时间为t min, 蜡烛的长度为y cm. (1)写出y关于t的函数表达式以及该函数自变量的取值范围； (2)燃烧40 min后，蜡烛还剩多长? 解(1)根据题意，经过50 min 燃烧掉的蜡烛长度也为原来的一半，即15 cm,可得每分钟燃烧蜡烛的长度为 所以y 关于t的函数表达式为 因为蜡烛长30 cm, 所以总的燃烧时间为 ,从而自变量t的取值范围是0≤t≤100. (2)因为函数的表达式为 , 当t=40时，y=18. 所以蜡烛还剩18cm. 例2 某登山运动员由大本营出发向上攀登，他所在位置的气温y(单位：℃)与攀登的高度x (单位：km) 之间满足一次函数的表达式y=kx+b(k≠0), 且函数的图像如图25-4-1所示，根据图像回答下列问题： (1)求该一次函数的表达式； (2)解释该一次函数的表达式中k、b的含义； (3)如果该登山运动员继续向上攀登，假设他所在位置的气温y(单位：℃)与攀登的高度x(单位： km) 之间的关系仍满足(1)确定的函数表达式，且零下29℃是该运动员能承受的极限温度，那么他能到达的最大攀登高度为多少? 解 (1)由图25-4-1,可知该一次函数y=k x+b (k≠0) 的图像经过点 (0,10)与点(4,—16).所以 解得k=-6.5,b=10. 所以，该一次函数的表达式为y=-6.5x+10. (2)根据函数的表达式 y=-6.5x+10, 可知k=-6.5表示海拔高度每上升1km温度下降6.5℃;而b=10表示大本营所在位置的气温是10℃. (3)因为函数的表达式为y=-6.5x+10, 当y=-29时，x=6.所以该运动员能到达的最大攀登高度为6 km. 例3 一家公司招聘销售员，给出以下两种薪金方案供求职人员选择： 方案甲：每月的底薪为5000元，再加每月销售额的2%; 方案乙：每月的底薪为2500元，再加每月销售额的4%. (1)当月销售额为多少时，这两种方案所定的月薪相同? (2)当月销售额满足什么条件时，方案甲所定的月薪高于方案乙? 解 设月薪为y元，月销售额为x元.根据题意，可得两种方案中y与x之间的函数关系分别为： 方案甲： 方案乙： (1) 解方程组 因此，当月销售额为125000元时，这两种方案所定的月薪相同. (2)在同一平面直角坐标系中画出两种方案中y关于x的函数图像，如图25-4-2所示. 观察图像，可知当月销售额小于125000元时，方案甲所定的月薪高于方案乙 . 注意： ①正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. ②选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型1：油量问题 1．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶 千米． 2．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶100千米，油箱中还剩油138升；行驶150千米，油箱中还剩油132升．那么，当这辆汽车行驶350千米时，油箱中还剩油 升． 3．五一劳动节小明一家自驾车去离家 的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程 与油箱剩余油量 之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶 耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余 油 D．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为 题型2：海拔问题；收费问题 4．某山地地区地面气温为 ，海拔每升高 气温下降 ．该地区海拔 处的气温为 ，则 与 的函数关系式是 ． 5．如图，在空中，自地面算起，每升高 千米，气温下降若干度（ ）， 某地空中气温 （ ）与高度 （千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（ ）    6．某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费 元与行驶路程 千米之间的函数关系式为 ． 7．某市出租车收费标准：起步价10元（ 内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了 公里 ，费用为 元，则 与 的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为 千克（ ），那么快递费 （元）关于物品重量 （千克）的函数解析式为 ． 9．某市出租车白天的收费起步价为 元，即路程不超过 公里时收费 元，超过部分每公里收费 元．如果乘客白天乘坐出租车的路程 公里，乘车费为 元，那么 与 之间的关系式为 10．如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段 与射线 组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 11．某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高 元． 题型3：其他简单应用 12．某品牌鞋子的长度 与鞋子的码数 (码)之间满足一次函数关系．如果 码鞋子的长度为 ， 码鞋子的长度为 ，那么长度为 的鞋子码数是 码． 13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 14．某客运公司规定旅客可免费携带质量不超过40千克的行李，超过40千克的部分，需购买行李票，行李票 （元）与行李质量 之间的函数关系如图所示．旅客甲携带 的行李，需购买行李票 元． 15．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 16．已知弹簧长度 （厘米）与所挂重物的质量 （千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为 千克． 17．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完，图中的线段 分别表示该工作室每天的成本 （元）、收入 （元）与销售x（个）之间的函数关系，当成本和收入相差120元时，工艺品生产的个数是 个． 题型4：行程问题Ⅰ 18．甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位： ）与行驶的时间x（单位： ）之间的函数关系如图所示．甲车出发20 后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过 追上甲车，则乙车的速度v（单位： ）的取值范围是 ． 19．小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段 、 分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟． 20．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由 地到 地行驶，两地之间的距离是 千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 21．为促进学生全面发展，学校研发具有特色校本课程．甲同学操控无人机从地面起飞，乙同学操控无人机从距离地面 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 ．甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位∶ )与无人机上升的时间x(单位∶ )之间的关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A． 时，甲乙的无人机都上升了 B． 时，两架无人机的高度差为 C．甲的无人机的上升速度是乙的2倍 D． 时，乙的无人机距离地面的高度是 题型5：最大利润问题 22．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价 元/件；乙种服装进价 元/件，售价160元/件．设购进甲种服装 件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则 的值为 ．(其中 ) 23．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 24．我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是 万元．（利润＝销售额﹣种植成本） 题型6：方案选择问题 25．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是 元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 26．某公司为用户提供上网服务的两种收费方式如下表： 收费标准/方式 基础费用（单位：元/月） 单价（单位：元/分） A 0 0.1 B 20 0.05 若设用户每月上网的时间为x分钟，A，B两种收费方式的费用分别为 （元）、 （元），则当每月上网时间多于400分钟时，选择 种方式省钱（填“A”或“B”）． 27．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买 类会员卡，一年内游泳20次，消费 元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于 次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买 类会员年卡 B．购买 类会员年卡 C．购买 类会员年卡 D．不购买会员年卡 28．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 题型7：行程问题Ⅱ 29．A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲乙两人与A地的距离 、 与他们所行时间x(h)之间的函数关系，且OP与EF交于点M，下列说法：① =-2x+12；②线段OP对应的 与x的函数关系式为 =18x；③两人相遇地点与A地的距离是9km；④经过 小时或 小时时，甲乙两个相距3km．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．甲、乙两车分别从 地出发匀速行驶到 地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 城的距离 与甲车行驶的时间 之间的关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（    ） ① 两地相距 ； ②乙车比甲车晚出发1小时，却比甲车早到1小时； ③乙车出发后4小时时追上甲车； ④甲，乙两车相距 时， 或4.5． A．1 B．2 C．3 D．4 题型8：几何问题—特殊三角形问题 31．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 两点，在 轴正半轴上求一点 ，使 为等腰三角形．则点 的坐标是 ． 32．已知：如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．若点 从点 出发，沿射线 作匀速运动，点 从点 出发，沿射线 作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当 为直角三角形时，则点 的坐标为 ． 题型9：几何问题—综合应用 33．如图，在长方形 中， ， ，E为边 上一点，且 EMBED Equation.DSMT4 ，动点 从点 出发，沿路径 运动，则三角形 的面积 与点 经过的路径长 之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 34．如图．在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…和 、 、 ，…分别在直线 和x轴上， ， ， ，… 都是等腰直角三角形，其中 ， … 为其直角顶点，如果点 ，那么 的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 35．如图直 与x轴、y轴分别交于A，B两点，以 为边在 左侧作等边三角形 ，若平面内有一点 ，使得 与 的面积相等，则m的值为 ． 36．如图，直线 分别与 、 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．点 是 轴上的一点，连接 ，将 沿直线 翻折，当点 的对应点 恰好落在 轴上时，此时点 的坐标为 ． 题型10：解答题 37．某出租车公司的收费标准如下：起步价（3千米以内，含3千米）10元；超过3千米，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）． (1)若行驶路程为x千米（ ，且x为整数），收费y元，求y与x的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车行驶了8千米，应付多少元？ (3)若某人付了26元车费，最多行驶了多少千米？ 38．某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于 ．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 39．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段 的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 40．某农机租赁公司共有 台收割机，其中甲型 台，乙型 台，现将这 台联合收割机派往 ， 两地区收割水稻，其中 台派往 地区， 台派往 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往 地区 台乙型联合收割机，租赁公司这 台联合收割机一天获得的租金为 元，求 关于 的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这 台收割机一天所获租金不低于 元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司 台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 41．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处． (1)求点 和点 的坐标以及 的长； (2)求点 和点 的坐标； (3) 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．生物学研究发现，某种植物的生长高度 (单位： )与生长时间 (单位：天)满足一次函数关系若该植物初始生长高度为 ，生长 天后高度达到 ，则生长了 天的高度为(   ) A． B． C． D． 2．从北京到天津的高速公路长120 ，一辆汽车在高速公路上以80 的速度从北京出发，开出xh时距离天津y ，则y（ ）与x（h）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 3．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（　　） A．出租车起步价是10元 B．在3千米内只收起步价 C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4 4．如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A． B． C． D． 5．在一条笔直的公路上，A，B两地相距 ，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 6．如图，某电信公司提供了 ， 两种方案的移动通讯费用 （元）与通话时间 （分）之间的关系，则以下说法正确的是（    ） ①若通话时间少于120分，则 方案比 方案便宜 ②若通话时间超过200分，则 方案比 方案便宜 ③通讯费用为60元，则 方案比 方案的通话时间多 ④当通话时间是170分钟/时，两种方案通讯费用相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ． 8．已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 9．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李 千克． 10．已知某汽车油箱中的剩余油量 (升)是该汽车行驶时间 (小时)的一次函数，其关系如下表: （小时） … （升） … 由此可知，汽车行驶了 小时， 油箱中的剩余油量为 升. 11．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离 （米）、 （米）与时间 （分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟． 12．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量 （微克）随时间 （小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量 （微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是 小时． 三、解答题 13．如图， 反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系， 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？ 14．汽车油箱中有汽油 ，如果不再加油，那么油箱中的油量 单位： 随行驶路程 单位： 的增加而减少，平均耗油量为 ． (1)写出表示 与 的函数关系的式子； (2)汽车行驶 时，油箱中还有多少汽油？ 15．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 16．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ． (1)若在第二象限内有一点 ，设三角形 的面积为 ，请写出 与 的函数关系式； (2)在（1）条件下，线段 与 轴相交于点 ，若 ，点 是 轴上的一动点，当满足 的面积是 的面积的2倍时，求点 的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线 相交于点 ． (1)求m和k的值； (2)直线 与x轴交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为t秒． ①点A的坐标为______，点D的坐标为______； ②是否存在某一时刻t，使得 是以 为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.4 一次函数的应用 一、一次函数的应用 一次函数在现实生活中有广泛的应用，我们利用一次函数来解决一些简单的实际问题. 例1 一根蜡烛长30 cm, 点燃后匀速燃烧50 min后的长度恰为原来长度的一半.设燃烧时间为t min, 蜡烛的长度为y cm. (1)写出y关于t的函数表达式以及该函数自变量的取值范围； (2)燃烧40 min后，蜡烛还剩多长? 解(1)根据题意，经过50 min 燃烧掉的蜡烛长度也为原来的一半，即15 cm,可得每分钟燃烧蜡烛的长度为 所以y 关于t的函数表达式为 因为蜡烛长30 cm, 所以总的燃烧时间为 ,从而自变量t的取值范围是0≤t≤100. (2)因为函数的表达式为 , 当t=40时，y=18. 所以蜡烛还剩18cm. 例2 某登山运动员由大本营出发向上攀登，他所在位置的气温y(单位：℃)与攀登的高度x (单位：km) 之间满足一次函数的表达式y=kx+b(k≠0), 且函数的图像如图25-4-1所示，根据图像回答下列问题： (1)求该一次函数的表达式； (2)解释该一次函数的表达式中k、b的含义； (3)如果该登山运动员继续向上攀登，假设他所在位置的气温y(单位：℃)与攀登的高度x(单位： km) 之间的关系仍满足(1)确定的函数表达式，且零下29℃是该运动员能承受的极限温度，那么他能到达的最大攀登高度为多少? 解 (1)由图25-4-1,可知该一次函数y=k x+b (k≠0) 的图像经过点 (0,10)与点(4,—16).所以 解得k=-6.5,b=10. 所以，该一次函数的表达式为y=-6.5x+10. (2)根据函数的表达式 y=-6.5x+10, 可知k=-6.5表示海拔高度每上升1km温度下降6.5℃;而b=10表示大本营所在位置的气温是10℃. (3)因为函数的表达式为y=-6.5x+10, 当y=-29时，x=6.所以该运动员能到达的最大攀登高度为6 km. 例3 一家公司招聘销售员，给出以下两种薪金方案供求职人员选择： 方案甲：每月的底薪为5000元，再加每月销售额的2%; 方案乙：每月的底薪为2500元，再加每月销售额的4%. (1)当月销售额为多少时，这两种方案所定的月薪相同? (2)当月销售额满足什么条件时，方案甲所定的月薪高于方案乙? 解 设月薪为y元，月销售额为x元.根据题意，可得两种方案中y与x之间的函数关系分别为： 方案甲： 方案乙： (1) 解方程组 因此，当月销售额为125000元时，这两种方案所定的月薪相同. (2)在同一平面直角坐标系中画出两种方案中y关于x的函数图像，如图25-4-2所示. 观察图像，可知当月销售额小于125000元时，方案甲所定的月薪高于方案乙 . 注意： ①正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. ②选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型1：油量问题 1．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶 千米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令 ，求出自变量的值即可． 【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为 ， 由题意，得： ，解得： ， ∴ ， 当 时， ， 解得： ， ∴这辆汽车加满油最多能行驶 千米， 故答案为： ． 2．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶100千米，油箱中还剩油138升；行驶150千米，油箱中还剩油132升．那么，当这辆汽车行驶350千米时，油箱中还剩油 升． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令 ，求出函数值即可． 【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为 ， 由题意，得： ，解得： ， ∴ ， ∴当 时， ， ∴当这辆汽车行驶350千米时，油箱中还剩油 升； 故答案为： ． 3．五一劳动节小明一家自驾车去离家 的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程 与油箱剩余油量 之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶 耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余 油 D．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，由 时， ，可判断 ；由表格数据可知，轿车每行驶 ，耗油 ， 可判断 ，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 时， ， ∴该车的油箱容量为 ，故选项 正确，不合题意； 由表格数据可知，轿车每行驶 ，耗油 ， ∴该车每行驶 耗油 ，故选项 正确，不合题意； ∵景点离家 ， ∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余 ，故选项 错误，符合题意； ∵轿车每行驶 ，耗油 ， ∴ ，故选项 正确，不合题意； 故选： ． 题型2：海拔问题；收费问题 4．某山地地区地面气温为 ，海拔每升高 气温下降 ．该地区海拔 处的气温为 ，则 与 的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到所求量的等量关系． 所求的某地的气温 EMBED Equation.DSMT4 地面气温 升高 千米下降的气温，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：高度 相对于地面增加了 千米，那么气温将减少 ， ． 故答案为： ． 5．如图，在空中，自地面算起，每升高 千米，气温下降若干度（ ）， 某地空中气温 （ ）与高度 （千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（ ）    【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，再分析气温低于 时的高度范围． 先设出气温 与高度 的一次函数关系式，利用图像上的点求出关系式，再令 求出对应的 ，从而确定气温低于 时 的范围． 【详解】解：设气温 与高度 的函数关系式为 （ 、 为常数）， 由图像可知，当 时， ，即 ；当 时， ， 把 代入 中，可得 ，解得 ， 所以函数关系式为 ， 当 时，即 ，移项可得 ， 解得： ． 故答案为： ． 6．某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费 元与行驶路程 千米之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握函数的概念并找出相应的等量关系是解题的关键． 由题意可直接列出车费 与行驶路程x千米之间的函数关系式，化简即可． 【详解】解：由题意可知，当行驶路程 千米时，车费 与行驶路程x千米之间的函数关系式为： ， 故答案为： ． 7．某市出租车收费标准：起步价10元（ 内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了 公里 ，费用为 元，则 与 的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖 ，超过 后每公里加收2元，当 时，总费用 由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖 ，则超过部分为 ， 根据题意得： ． 故选：A． 8．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为 千克（ ），那么快递费 （元）关于物品重量 （千克）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，可以写出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：当 时， ， ∴y与x之间的函数关系式为： ． 故答案为： ． 9．某市出租车白天的收费起步价为 元，即路程不超过 公里时收费 元，超过部分每公里收费 元．如果乘客白天乘坐出租车的路程 公里，乘车费为 元，那么 与 之间的关系式为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据乘车费用 起步价 超过 千米的费用，即可求解． 【详解】解：依题意得： ， 故答案为： ． 10．如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段 与射线 组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出 的函数解析式为 ，再求出 时的函数值，即可解答． 【详解】解：设 的函数解析式为 ， 将 代入得： ， 解得： ， ∴ 的函数解析式为 ， 当 时， ， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 11．某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高 元． 【答案】8 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意正确设出一次函数的解析式是解题的关键．设方式A的函数关系式为 ，方式B的函数关系式为 ，由图象得，当 时， ，求出 的值，再令 ，求出此时 的值即可解答． 【详解】解：设方式A的函数关系式为 ，方式B的函数关系式为 ， 由图象得，当 时， ， ， 整理得： ， 当 时， ， 如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高8元． 故答案为：8． 题型3：其他简单应用 12．某品牌鞋子的长度 与鞋子的码数 (码)之间满足一次函数关系．如果 码鞋子的长度为 ， 码鞋子的长度为 ，那么长度为 的鞋子码数是 码． 【答案】38 【分析】本题主要考查一次函数关系；设 ，代入 得出 ，再把 代入计算即可． 【详解】解：设 ， 代入 得： ， 解得： ， 所以 ∴当 时， ， 解得： ， 故答案为：38． 13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设 ，根据题意找出点代入求出解析式，然后把 代入求解即可． 【详解】解：设 ， 把 ， 代入，得 ， 解得 ， ∴ ， 当 时， ， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 14．某客运公司规定旅客可免费携带质量不超过40千克的行李，超过40千克的部分，需购买行李票，行李票 （元）与行李质量 之间的函数关系如图所示．旅客甲携带 的行李，需购买行李票 元． 【答案】21 【分析】本题考查了一次函数的应用．由图象知：一次函数经过 、 ，则由待定系数法可求得一次函数解析式，再令 ，计算即可求得． 【详解】解：由图象可得：一次函数经过 、 ， 设一次函数解析式为： ， 则可得： ， 解得： ， ， 令 ，可得： ， ∴需购买行李票21元． 故答案为：21． 15．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式： ，用待定系数法求出解析式，再把 代入计算即可． 【详解】设一次函数的解析式： ， 把 ， 代入， 得 ， 解得： ， ， 把 代入 ， 得 ． 故答案为：3． 16．已知弹簧长度 （厘米）与所挂重物的质量 （千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为 千克． 【答案】 / 【分析】本题主要考查一次函数图象，根据题意设出一次函数表达式，然后把 代入到表达式，求出k和b，即可求出函数表达式，最后把 ，代入到表达式，求出x即可． 【详解】解：设一次函数表达式为： ， ∵把 两点坐标代入表达式 ，得： ， 解得， ∴ ， 把 ，代入到 ，解得： 故答案为： ． 17．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完，图中的线段 分别表示该工作室每天的成本 （元）、收入 （元）与销售x（个）之间的函数关系，当成本和收入相差120元时，工艺品生产的个数是 个． 【答案】15或45 【分析】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 根据题意可设 段的解析式为 ， 段的解析式为 ，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据工作室某一天中成本和收入相差120元，即 或 ，可列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】解：根据题意：可设 段的解析式为： ， 且经过点 ， ， ∴ ， 解得： ， 段的解析式为： ； 设 段的解析式为： ， 且经过点 ， ， 解得： ， 段的解析式为： ． ∵该工作室某一天中成本和收入相差120元， 即 或 ， 或 ， 解得： 或 ． 所以这天的产量是45千克或者15千克． 故答案为：15或45. 题型4：行程问题Ⅰ 18．甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位： ）与行驶的时间x（单位： ）之间的函数关系如图所示．甲车出发20 后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过 追上甲车，则乙车的速度v（单位： ）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发 后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：根据图象，得甲车的速度为 EMBED Equation.DSMT4 ， 设甲车出发 后乙车追上甲车，根据题意， ． 则 ，得 ， ∴v随t的增大而减小． 当 时，v取最小值， ； 当 时，v取最大值， ， ∴ ， 故答案为： ． 19．小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段 、 分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设 的解析式为： ， ∵ 经过点 ， ∴ ，得 ， ∴ 函数解析式为： ， 把 代入 得： ， 解得： ， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设 的解析式为： ， ∴ ， 解得： ， ∴ 的解析式为： ， 把 代入 得： ， 解得： ， ∴小张比小王早到乙地的时间是 （分钟）． 故答案为：12． 20．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由 地到 地行驶，两地之间的距离是 千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是 ，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为 ， 将点 和 代入得 ， 解得 ， 设自行车的解析式为 ， 将点 代入得 ， 所以自知行车的解析式为 ， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时： ，解得： 则 ，故此项不符合题意； D．由上可知 ，故此项错误，符合题意． 故选：D． 21．为促进学生全面发展，学校研发具有特色校本课程．甲同学操控无人机从地面起飞，乙同学操控无人机从距离地面 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 ．甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位∶ )与无人机上升的时间x(单位∶ )之间的关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A． 时，甲乙的无人机都上升了 B． 时，两架无人机的高度差为 C．甲的无人机的上升速度是乙的2倍 D． 时，乙的无人机距离地面的高度是 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 观察图象即可判断选项A；根据速度 路程 时间和路程 速度 时间分别求出甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度 与无人机上升的时间 之间的关系式，将 代入求出对应函数的函数值并求差即可判断选项B；根据选项B求得的两架无人机的上升速度计算即可判断选项C；根据乙无人机的速度即可求出高度，从而判断选项D． 【详解】解： 时，甲的无人机上升了 ，乙的无人机上升了 ，A错误，符合题意； 甲的无人机上升速度为 ，乙的无人机上升速度为 ， 甲的无人机所在的位置距离地面的高度 与无人机上升的时间 之间的关系为 ，乙的无人机所在的位置距离地面的高度 与无人机上升的时间 之间的关系为 ， 当 时， ， ， 时，两架无人机的高度差为 ， B正确，不符合题意； 由选项B可知，甲的无人机上升速度为 ，乙的无人机上升速度为 ， ， 甲的无人机的上升速度是乙的2倍，C正确，不符合题意； 由选项B可知， 时，乙的无人机距离地面的高度是 ，D正确，不符合题意． 故选：A． 题型5：最大利润问题 22．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价 元/件；乙种服装进价 元/件，售价160元/件．设购进甲种服装 件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则 的值为 ．(其中 ) 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为 ，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为 ，由题意，得： ， 整理，得： ， ∵ ， 当 ，即： 时， 随 的增大而减小， ∴当 时，商场获得最大利润， 即： ，解得： （舍去）； 当 时，即： 时， 随 的增大而增大， ∴当 时，商场获得最大利润， 即： ，解得： ； 故答案为：9． 23．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品 箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品 箱，依题意得： ， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即 ， ∵ ，y随着m的增大而增大， ∴当 时，y取最大值，此时 （元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 24．我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是 万元．（利润＝销售额﹣种植成本） 【答案】125 【分析】设甲种火龙果种植 亩，乙钟火龙果种植 亩，此项目获得利润 ，根据题意列出不等式求出 的范围，然后根据题意列出 与 的函数关系即可求出答案． 【详解】解：设甲种火龙果种植 亩，乙钟火龙果种植 亩，此项目获得利润 ， 甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元， 由题意可知： ， 解得： ， 此项目获得利润 ， ∵ ∴ 随 的增大而减小， ∴当 时， 的最大值为 万元， 故答案为：125． 【点睛】本题考查一元一次不等式和一次函数，熟悉相关性质是解题的关键． 题型6：方案选择问题 25．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是 元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【答案】10400 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式组的解法，先根据题意列出不等式组，求出解集，再设总费用为 列出一次函数，根据函数的性质得到最小值即可求解； 【详解】解:设从北京运往深圳 台，北京运往广州为 台，上海运往深圳为 台，上海运往广州为 台，运费为 元，则 解得： ， ， ， ∵ ， ∴ 随 的增大而减小， ∴当 取最大值时， 有最小值， ∴当 时， （元） 故答案为：10400 26．某公司为用户提供上网服务的两种收费方式如下表： 收费标准/方式 基础费用（单位：元/月） 单价（单位：元/分） A 0 0.1 B 20 0.05 若设用户每月上网的时间为x分钟，A，B两种收费方式的费用分别为 （元）、 （元），则当每月上网时间多于400分钟时，选择 种方式省钱（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】先由表格中数据分别表示出 、 关于x的函数表达式，分别令 = 、 ＞ 、 ＜ 求解，即可做出判断． 【详解】解：由题意可知： =0.1x， =20+0.05x， 当 = 时，由0.1x=20+0.05x得：x=400，两种收费方式一样省钱； 当 ＞ 时，由0.1x＞20+0.05x得：x＞400，B种方式省钱； 当 ＜ 时，由0.1x＜20+0.05x得：x＜400，A种方式省钱， ∴当每月上网时间多于400分钟时，选择B种方式省钱， 故答案为：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． 27．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买 类会员卡，一年内游泳20次，消费 元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于 次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买 类会员年卡 B．购买 类会员年卡 C．购买 类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时， ， 购买A类会员年卡， ， 购买B类会员年卡， ， 购买C类会员年卡， ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ， 此时 ， ∵游泳的次数介于 次之间 ∴当 时， ， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 28．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【答案】A 【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，可得客车总数为6， ，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6， ， 由题意可得， ， 整理可得 ， 由题意， ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 中， ，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即 ，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键． 题型7：行程问题Ⅱ 29．A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲乙两人与A地的距离 、 与他们所行时间x(h)之间的函数关系，且OP与EF交于点M，下列说法：① =-2x+12；②线段OP对应的 与x的函数关系式为 =18x；③两人相遇地点与A地的距离是9km；④经过 小时或 小时时，甲乙两个相距3km．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据函数图像中的数据可以求得 与x的函数关系式； ②根据函数图像中的数据可以求得线段OP对应的 与x的函数关系式，进而可求得两人相遇时距离Ａ地的距离； ③根据①和②中的函数关系式，可求得两人相距3km时所用的时间． 【详解】解析：（1）设 与x的函数关系式为： =ax+b， 把(0，12)和(2，0)代入得： 解得： ，可得 =-6x+12，故①错误； （2）设线段OP对应的 与x的函数关系式为： ， 把x=0.5代入y=-6x+12中得：y=9， ∴M(0.5，9)， ∴9=0.5k， 解得：k=18， ∴ ， ∴当x=0.5时，y=9，即两人相遇时距离Ａ地的距离为9，故②③正确； （3）令|18x-(-6x+12)|=3， 解得x= 或 ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 30．甲、乙两车分别从 地出发匀速行驶到 地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 城的距离 与甲车行驶的时间 之间的关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（    ） ① 两地相距 ； ②乙车比甲车晚出发1小时，却比甲车早到1小时； ③乙车出发后4小时时追上甲车； ④甲，乙两车相距 时， 或4.5． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断C，分四种情况讨论，求得t，可判断④，继而解题． 【详解】①由图象可知，A、B两城市之间的距离为480km，故①正确； ②甲行驶的时间为8小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时6小时，即比甲早到1小时，故②正确； ③设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 ，把 代入可求得 ， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为 ，把 代入可得 解得 ， 令 EMBED Equation.DSMT4 可得： EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 即甲、乙两直线的交点横坐标为 ， 此时乙出发时间为3小时，即乙车出发3小时后追上甲车，故③不正确； ④当 时，此时 ，乙还没出发， 又当乙已经到达B城，甲距离B城50km时， ， 当 ，可得 ，即 ，当 时，可解得 ，当 时，可解得 ， 综上可知当t的值为 或 或 或 ，故④不正确， 综上所述，正确的有①②，共2个，故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，是中考常见考点，难度较易． 题型8：几何问题—特殊三角形问题 31．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 两点，在 轴正半轴上求一点 ，使 为等腰三角形．则点 的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形定义，勾股定理，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理求出 长，利用等腰三角形可得点C坐标． 【详解】解：分两种情况讨论， ①当点C在点A右侧的x轴上时， 直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当 时， ；当 时， ， ， ，且点C在x轴正半轴， ， ； ②当点C在点A的左侧时，如图作线段 的垂直平分线交x轴于点C，设 ， 在 中， ， ， 由勾股定理得： ， ， 解得： ， ， 综上分析，符合题意的点 或 ， 故答案为： 或 ． 32．已知：如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．若点 从点 出发，沿射线 作匀速运动，点 从点 出发，沿射线 作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当 为直角三角形时，则点 的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出 的三边长， 分 ， ， 三种情况，根据勾股定理计算即可求出点 的坐标，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】由直线 得： 当 时，即 ， 解得 ， 当 时， ， ∴ ， ， 由勾股定理得 ， 设 ， 运动的速度为 ，时间为 ，则 ， ， 则点 的坐标为： ，点 的坐标为： ， ∴ 当 时，有 ，即 ， 解得 ， ， 当 ，点 与 重合，舍去 ∴点 的坐标为 ， 当 时， ，即 ， 解得 （舍去）， ，则点 的坐标为 ， 当 时， ，即 解得 ， ，点 与 重合，不符合题意， 综上所示，点 的坐标为 或 故答案为： 或 ． 题型9：几何问题—综合应用 33．如图，在长方形 中， ， ，E为边 上一点，且 EMBED Equation.DSMT4 ，动点 从点 出发，沿路径 运动，则三角形 的面积 与点 经过的路径长 之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题函数图象．求出 的长，然后分三种情况讨论：①点P在 上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在 上运动时，根据 式整理得到y与x的关系式；③点P在 上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，根据解析式即可得到函数的图象． 【详解】解：∵四边形 是长方形， ∴ ， ， ∴ ， 当点P在 上运动，即 时， ， ， ∴ ； 当点P在 上运动，即 时， ， ， ∴ ， ∴ ； 当点P在 上运动，即 时， ， ， ∴ ， ∴ ； 综上所述， 的面积 与点 经过的路径长 之间的函数关系式为 ， ∴当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． ∴选项D的图象符合题意． 故选：D． 34．如图．在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…和 、 、 ，…分别在直线 和x轴上， ， ， ，… 都是等腰直角三角形，其中 ， … 为其直角顶点，如果点 ，那么 的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、等腰直角三角形的性质及数字规律探究，解题的关键是利用等腰直角三角形直角顶点的横坐标与纵坐标的关系（直角顶点横坐标减去纵坐标等于前一个B点的横坐标），结合一次函数解析式求出各 的纵坐标，进而归纳出纵坐标的变化规律． 先将 代入直线 求 ，确定直线解析式；利用等腰直角三角形（直角顶点为 ）的性质，得 的横坐标 的横坐标 （ 为 的纵坐标），结合直线解析式列方程求 、 的纵坐标；归纳 纵坐标的规律，计算 的纵坐标． 【详解】解：∵ 点 在直线 上， ∴ ，解得 ， ∴ 直线解析式为 ∵ 是等腰直角三角形， 为直角顶点， ∴ 的横坐标 （ 为 ），验证 成立，且 的横坐标为 ，即 ∵ 是等腰直角三角形， 为直角顶点， ∴ 的横坐标 的横坐标 ，即 又∵ 在直线上， ∴ ， 化简得 ，解得 . 同理， 的横坐标为 ， 的横坐标 ， 代入直线解析式得 ， 化简得 ，解得 . 归纳规律： 纵坐标 ， 纵坐标 ， 纵坐标 ， 故 纵坐标 . ∴ 的纵坐标 . 故选：A． 35．如图直 与x轴、y轴分别交于A，B两点，以 为边在 左侧作等边三角形 ，若平面内有一点 ，使得 与 的面积相等，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次根式的混合运算，熟练掌握一次函数解析式的求法是解答本题的关键．利用直线解析式得到点A，B的坐标，求出 长，根据 ， 得到 垂直平分线段 ，计算出点C坐标，求解过点C平行于直线 的解析式，同理求解点C关于直线 的对称的点 的坐标及过点 平行于直线 的解析式，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】解：连接 交 于 ，作 轴，垂足为M，作 轴，垂足为N， ∵直线 的解析式为 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 是线段 的垂直平分线， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设过点C平行于直线 的解析式为 ，代入点C坐标得， ， ∴ ， ∴过点C平行于直线 的解析式为 ， 令 时， ，即 ； 由对称性可得： ， 同理可得： ， 过点 平行于直线 的解析式为 ， 令 时， ， 综上，满足条件的m值为： 或 ． 故答案为： 或 ． 36．如图，直线 分别与 、 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．点 是 轴上的一点，连接 ，将 沿直线 翻折，当点 的对应点 恰好落在 轴上时，此时点 的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和折叠综合等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 由直线 过点 ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 的值，进而可得出点 的坐标及 的长度，结合 可求出点 的坐标，设 ，则 或 ，在 中，利用勾股定理可得出关于 的方程，解之即可得出结论． 【详解】∵直线 过点 ， ， ， 当 时， ， ∴点 的坐标为 ，即 ， ， ， ∵点 在 轴正半轴， ∴点 的坐标为 ， 依照题意画出图形，如图所示． 由翻折得， ， ，， ， ， ∴设 ，则 或 ， 在 中， ， ∴ ，即 或 ， 解得： 或 ， 点P的坐标为 或 ． 故答案为： 或 题型10：解答题 37．某出租车公司的收费标准如下：起步价（3千米以内，含3千米）10元；超过3千米，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）． (1)若行驶路程为x千米（ ，且x为整数），收费y元，求y与x的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车行驶了8千米，应付多少元？ (3)若某人付了26元车费，最多行驶了多少千米？ 【答案】(1) （ ，x为整数） (2)应付20元 (3)最多行驶11千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了已知自变量求函数，已知函数值求自变量的方法． （1）起步价 超过3千米的部分 每千米收费，列式计算即可求解； （2）把 代入函数关系式进行计算即可得解； （3）把 代入函数关系式解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得 （ ，x为整数）； （2）解：当 时， （元）； 答：应付20元； （3）解：设最多行驶了x千米，由题意得， ，所以 . 令 ，则 ，解得： ． 答：最多行驶11千米． 38．某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于 ．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋 双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋 双， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴y与x之间的函数解析式为 ； （2）解：∵ 中， ， ∴y随x的增大而减小， ∴当 时，获得利润最大，且最大值为： （元），此时B型皮鞋为： （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 39．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段 的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段 的表达式为： ， 把 ， 代入得： ， 解得： ， 即线段 的表达式为： ， （2）解：线段 可知：甲的速度为： （米/分）， 乙的步行速度为： （米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为： （米）， 与终点的距离为： （米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为： （分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为： （分）， （分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 40．某农机租赁公司共有 台收割机，其中甲型 台，乙型 台，现将这 台联合收割机派往 ， 两地区收割水稻，其中 台派往 地区， 台派往 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往 地区 台乙型联合收割机，租赁公司这 台联合收割机一天获得的租金为 元，求 关于 的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这 台收割机一天所获租金不低于 元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司 台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区；方案二：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区；方案三：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区 (3)派往 地区 台乙型联合收割机， 台甲型联合收割机全部派往 地区，使该公司 台收割机每天获得租金最高；理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设派往 地区 台乙型联合收割机，则派往 地区乙型联合收割机为 台，派往 、 地区的甲型联合收割机分别为 台和 台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式； （2）由题意可得， ，求出整数解，得到分配方案； （3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：设派往 地区 台乙型联合收割机，则派往 地区乙型联合收割机为 台，派往 、 地区的甲型联合收割机分别为 台和 台， ； （2）解：由题意可得， ， 得 ， ， 为整数， 、 、 ， 有三种分配方案， 方案一：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区； 方案二：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区； 方案三：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区； （3）解：派往 地区 台乙型联合收割机， 台甲型联合收割机全部派往 地区，使该公司 台收割机每天获得租金最高， 理由： ， ∵ , ∴ 随 的增大而增大， 且 为整数， 当 时， 取得最大值，此时 ， 派往 地区 台乙型联合收割机， 台甲型联合收割机全部派往 地区，使该公司 台收割机每天获得租金最高． 41．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处． (1)求点 和点 的坐标以及 的长； (2)求点 和点 的坐标； (3) 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) , ， (2) , (3) 或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）令 ，求出 ；令 ，求出 ；继而求出 ； （2）由折叠的性质可知， ， ，则 ，即 ；设 ，则 ， ，依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （3）存在；由 ，可得 ，可求出 ，进而可求点 坐标． 【详解】（1）解：令 ，则 ， 解得： ， ； 令 ，则 ， ； ， ， ； （2）解：由折叠的性质可知， ， ， 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 设 ， 则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ； （3）解： 轴上存在一点 ，使得 ，理由如下： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， 点 的坐标为 或 ． 一、单选题 1．生物学研究发现，某种植物的生长高度 (单位： )与生长时间 (单位：天)满足一次函数关系若该植物初始生长高度为 ，生长 天后高度达到 ，则生长了 天的高度为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据一次函数关系，设 ，利用初始高度和生长 天后的高度求出 和 ，再代入 计算 值． 【详解】解： 初始高度为 ，即 时 ， ． 生长 天后高度为 ，即 时 ， ， 解得 ． 函数为 ． 当 时， ． 生长 天的高度为 ． 故选：D． 2．从北京到天津的高速公路长120 ，一辆汽车在高速公路上以80 的速度从北京出发，开出xh时距离天津y ，则y（ ）与x（h）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“汽车距天津的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离”建立函数关系式即可． 【详解】∵汽车的速度是平均每小时80千米， ∴它行驶x小时走过的路程是 ， ∴汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是 ， ∵ ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距天津的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离是解决问题的关键． 3．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（　　） A．出租车起步价是10元 B．在3千米内只收起步价 C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4 【答案】C 【分析】根据图象信息一一判断即可解决问题． 【详解】解：由图象可知，出租车的起步价是10元，在3千米内只收起步价， 设超过3千米的函数解析式为y=kx+b，则 ， 解得 ， ∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4， 超过3千米部分（x＞3）每千米收2元， 故A、B、D正确，C错误， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会待定系数法确定函数解析式，正确由图象得出正确信息是解题的关键，属于中考常考题. 4．如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与实际应用相结合，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故 与 的关系变为先快后慢，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型，再结合实际意义得到正确结论是解题的关键． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度 与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：B． 5．在一条笔直的公路上，A，B两地相距 ，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式及一次函数的应用，根据图象计算出甲车和乙车的速度，即可判断A、B选项，求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断C、D选项． 【详解】解：由图象可知，甲车的速度为 ，乙车的速度为 ， ∴甲车的速度为 ，乙车的速度为 ，故A、B项说法正确，不符合题意； 设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ，代入 ， 得 ，解得 ， ∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ， 设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ，代入 ， ， ，解得 ， ∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ， 当 时， ，解得 ，即 ，故C项说法正确，不符合题意； 当 时， ，故D项说法错误，符合题意， 故选：D． 6．如图，某电信公司提供了 ， 两种方案的移动通讯费用 （元）与通话时间 （分）之间的关系，则以下说法正确的是（    ） ①若通话时间少于120分，则 方案比 方案便宜 ②若通话时间超过200分，则 方案比 方案便宜 ③通讯费用为60元，则 方案比 方案的通话时间多 ④当通话时间是170分钟/时，两种方案通讯费用相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确． 【详解】解：依题意得 A：（1）当0≤x≤120，yA=30， （2）当x＞120，yA=30+（x-120）×[（50-30）÷（170-120）]=0.4x-18； B：（1）当0≤x＜200，yB=50， 当x＞200，yB=50+[（70-50）÷（250-200）]（x-200）=0.4x-30， 所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确； 当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确； 当y=60时，A：60=0.4x-18，∴x=195， B：60=0.4x-30，∴x=225，故（3）正确； 当A方案与B方案的费用相等，通话时间为170分钟，故（4）正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题． 二、填空题 7．小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ． 【答案】1.5千米 【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以计算出经15分钟后小明离家的路程． 【详解】解：由图像可得， 经15分钟后小明离家的路程为3.5﹣2＝1.5（千米）， 故答案为：1.5千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 8．已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【答案】100 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当 时 的值，最后求出剩余路程． 【详解】解：设函数解析式为： ， 则： ， 解得： ， ， 当 时， ， 解得： ， （千米）， 故答案为：100． 9．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李 千克． 【答案】30 【分析】根据待定系数法求函数关系式，旅客可免费携带行李，即 ，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【详解】解：设一次函数关系式为 ， ∵当 时， ，当 时， ， ∴ ，解得 ， ∴所求函数关系式为 ； 当 时， ， 所以 ， 故旅客最多可免费携带30千克行李． 故选：30． 【点睛】本题考查函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏． 10．已知某汽车油箱中的剩余油量 (升)是该汽车行驶时间 (小时)的一次函数，其关系如下表: （小时） … （升） … 由此可知，汽车行驶了 小时， 油箱中的剩余油量为 升. 【答案】11.5 【分析】根据剩余油量 (升)、汽车行驶时间 (小时),可求出每千米用油量,根据题意可写出函数式. 【详解】根据题意得每小时的用油量为 ， ∴剩余油量 (升)与汽车行驶时间 (小时)的函数关系式： ， 当y=8时，x=11.5. 故答案为11.5. 【点睛】此题考查一次函数，解题关键在于结合实际列出一次函数关系式求解即可. 11．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离 （米）、 （米）与时间 （分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟． 【答案】5 【分析】分别求出函数 的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：设函数 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 联立 ， 解得 ， ∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 12．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量 （微克）随时间 （小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量 （微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是 小时． 【答案】 【分析】当 时，设 ，把（2，6）代入计算即可得 ，当 时，设 ，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得 ，把 代入 中得 ，把 代入 中得 ，进行计算即可得． 【详解】解：当 时，设 ，把（2，6）代入得， ， 解得， ， ∴当 ， ， 当 时，设 ，把点（2，6），（10，3）代入得， 解得， ， ∴当 时， ， 把 代入 中，得 ， 把 代入 中，得 ， 则 （小时）， 即该药治疗的有效时间是3小时， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质． 三、解答题 13．如图， 反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系， 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？ 【答案】当销售量超过 时，生产该产品才能赢利 【分析】生产该产品赢利，销售收入应大于销售成本，即 的函数图象应高于 的函数图象，看在交点的哪侧即可． 【详解】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用， 在交点的右侧，相同的 值， 的值，那么表示开始赢利． ∴当 时， ． 答：该产品的销售量超过4吨时，生产该产品才能赢利． 【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题；理解赢利的意义是解决本题的关键；解决此类问题，应从交点入手思考． 14．汽车油箱中有汽油 ，如果不再加油，那么油箱中的油量 单位： 随行驶路程 单位： 的增加而减少，平均耗油量为 ． (1)写出表示 与 的函数关系的式子； (2)汽车行驶 时，油箱中还有多少汽油？ 【答案】(1) EMBED Equation.DSMT4 ； (2) 油箱中还有 汽油． 【分析】本题考查的知识点是列函数解析式、求自变量的值或函数值、一次函数的实际应用，解题关键是理解题目中各个量的关系． （1）根据“油箱中的油量 等于原来的油量 减去行驶 的油耗”列式即可； （2）将 代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：油箱内现有汽油 ，行驶 ，耗油为 ， ， 当 时， ， ， ， 故表示 与 的函数关系的式子为 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解：将 代入函数解析式可得 ， 即汽车行驶 时，油箱中还有 汽油． 15．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种布料25件，乙种布料55件 (2)第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时 的值即可． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则： ， 解得： ∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件． （2）解： 设第二次购进甲种布料 件，则乙种布料为 件，则根据题意得： 解得： ∴ 的取值范围为 （且 为整数）． 设第二次全部售完后获得的利润为W元，则： ∵ ∴W 随 m 的增大而增大， ∴ 当 时， 元， 此时乙种布料为 件． ∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ． (1)若在第二象限内有一点 ，设三角形 的面积为 ，请写出 与 的函数关系式； (2)在（1）条件下，线段 与 轴相交于点 ，若 ，点 是 轴上的一动点，当满足 的面积是 的面积的2倍时，求点 的坐标． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查了函数，点的坐标，根据面积关系求出线段的长是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可得解； （2）设点P的坐标为 ， 根据面积关系 可得 ，即可得解． 【详解】（1）解： ， ， 点 在第二象限， 点到x轴的距离就是 的高，高为 ， ， 与 的函数关系式 ． （2）解：设点P的坐标为 ， 当 时，代入 ，可得 ，即 的面积为5． 的面积是 面积的2倍， EMBED Equation.DSMT4 的面积为 ． ， ， ， 当P点在C点上方时， ，解得 ，此时P点坐标为 ． 当P点在C点下方时， ，解得 ，此时P点坐标为 ． 点P的坐标为 或 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线 相交于点 ． (1)求m和k的值； (2)直线 与x轴交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为t秒． ①点A的坐标为______，点D的坐标为______； ②是否存在某一时刻t，使得 是以 为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， (2)① ， ；② 或 或 ． 【分析】（1）将点 代入直线 解得 ；即可将 代入直线 求得k即可； （2）①根据一次函数与坐标轴的交点坐标的特点求解即可； ②存在，分两种情况： 或 ，再利用勾股定理建立方程分别求t的值即可． 【详解】（1）解：直线 过点 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 将点 代入直线 得： ∴ ， 解得： ． （2）解：①∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∵直线 与x轴交于点D， ∴ ，解得： ， ∴ ． ②∵ ， ， ∴ ， 设 ， ∴ ， ， ∵ 是以 为腰的等腰三角形， ∴ 或 ， 当 时， ∴ ， 解得： 或 ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 当 时， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上： 或 或 ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，掌握以上基础知识是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $