精品解析：甘肃武威六中教育集团2025-2026学年第二学期开学考试高二年级数学试卷

武威六中教育集团2025-2026年度第二学期开学考试 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 6 3. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ） A. 2400 B. 1800 C. 1500 D. 2100 6. 已知函数，则（ ） A. 有极小值，且极小值点为1 B. 有极大值，且极大值点1 C. 有极小值，且极小值点为 D. 有极大值，且极大值点 7. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. △PF1F2面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 三、填空题 12. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 13. 已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为______. 14. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率大于0 的直线与交于 两点，为坐标原点，，则的面积为 ______. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和满足. （1）求通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a，b的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 18. 已知点，圆的直径为线段. （1）求圆的标准方程； （2）若过点且斜率为直线与圆交于两点，求的面积. 19. 在直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威六中教育集团2025-2026年度第二学期开学考试 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数几何意义，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】因为，故，则，即所求直线斜率为， 则过点，斜率为的直线方程为：，即. 故选：C. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质得，解得， 又因为，，解得. 故选：D 3. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 4. 已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据焦点坐标，可求得c的值，根据离心率，可求得a的值，根据b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案. 【详解】根据右焦点为F2(5，0)，可得c＝5，又离心率为， 所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9， 所以双曲线方程为， 故选：C. 5. 某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ） A. 2400 B. 1800 C. 1500 D. 2100 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：B 6. 已知函数，则（ ） A. 有极小值，且极小值点为1 B. 有极大值，且极大值点为1 C. 有极小值，且极小值点为 D. 有极大值，且极大值点为 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 【详解】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 7. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后令可得. 【详解】由题意可得， 令， 所以当时，，函数为递减函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理求的系数判断A，对分别赋值，判断B，C，D. 【详解】由，则，因此A正确； 取，则，即，因此B不正确； 取，则，即①，因此C正确； 取，则，即②， ①②得，因此D不正确； 故选：AC. 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，即在圆内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. △PF1F2面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左､右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B正确； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】因为在焦点三角形中，，则，又因为，由即可求解. 【详解】， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 13. 已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出与直线平行且与曲线相切的切点坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设P点坐标为， 因为，所以，令，得， 又，可得点， 所以点到直线的距离最短， 最短距离为. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率大于0 的直线与交于 两点，为坐标原点，，则的面积为 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立方程组，求得，由，得到，将其代入，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由抛物线，可得其焦点为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，可得，可得， 将代入，解得或， 因为，可得，所以， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由可得，，公差， 故. 【小问2详解】 由（1）得， 故 则. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a，b的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为59，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据和，求出，的值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 ，则， 因函数在处取得极值， 则，得， 经检验，符合题意； 【小问2详解】 由（1）可知，， 得或，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， ，，，， 则在区间上的最大值为59和最小值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，转化为与函数的图象有两个交点， 求得，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且． （i）当时，对任意的，，所以在上单调递增； （ii）当时，若，则，则在上单调递增； 若，则，则在区间上单调递减． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 小问2详解】 解：令，可得，令，其中， 因为函数有两个零点，所以函数与函数的图象有两个交点， 又由，令，可得， 列表如下： + 0 - 递增 极小值 递减 所以函数的极小值为， 且当时，；当，；当，， 所以函数的图象，如图所示， 当时，函数与函数的图象有两个交点， 因此，所求的取值范围为； 18. 已知点，圆直径为线段. （1）求圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意求得，，即可得答案； （2）利用点到线的距离公式可得圆心到直线的距离，进而求得弦，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，且为中点， 所以， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意可知直线的方程为：， 则圆心到直线的距离， 所以弦， 所以 19. 在直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为以及两点坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用判别式求出的取值范围，列出韦达定理，再结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出的值. 【小问1详解】 由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 如图所示： 由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $