实际问题与方程（教学设计）2025-2026学年数学五年级上册人教版

教案 课题 实际问题与方程 授课日期 教学目标 （1）数学眼光：结合相遇问题情境，通过画线段图观察数量关系，能发现 “两人行驶路程之和等于总路程” 的等量关系，初步学会用数学的眼光观察现实世界中的数学问题。 （2）数学思维：通过分析相遇问题中速度、时间、路程的关系，能运用代数思维设未知数，建立等量关系并列方程求解，提高分析和解决稍复杂实际问题的数学思维能力。 （3）数学语言：能运用 “路程 = 速度 × 时间”“等量关系” 等数学语言描述相遇问题中的数量关系，规范表达列方程的过程和结果，增强用数学语言表达现实问题的能力。 教学重点 （1）学生结合 “两人相对骑行相遇” 的真实情境，通过画线段图（几何直观）分析 “相遇时两人行驶的路程和等于总路程” 的数量关系，建立 “速度和 × 相遇时间 = 总路程” 的等量关系，培养几何直观和模型意识。 （2）学生运用 “速度 × 时间 = 路程” 的基本关系，设相遇时间为未知数，正确列出形如 “速度 1×x + 速度 2×x = 总路程” 的方程，经历 “设未知数 — 找等量关系 — 列方程 — 解方程” 的过程，体验方程解决实际问题的优势，提升应用意识。 教学难点 （1）线段图的直观构建与等量关系提炼：学生在将相遇问题抽象为线段图时，难以准确表达 “同时出发、相向而行、相遇时路程和为总路程” 的数量关系，易出现线段图中 “起点、终点、相遇点” 位置混淆，或无法通过线段图明确 “速度和 × 时间 = 总路程” 的等量关系，尤其对 “相遇时间相同” 的隐含条件理解不足，导致设未知数或列方程时出现逻辑偏差。 （2）真实情境中的数学建模与单位统一：学生在解决相遇问题时，易忽略题目中 “千米” 与 “米” 的单位差异，导致方程中单位不统一；同时，难以将生活中 “两人相对而行” 的真实情境转化为 “速度和 × 时间 = 总路程” 的数学模型，对 “速度和”“时间”“总路程” 三者的内在逻辑关系（如 “速度和” 如何由两人速度合成）理解不深，影响方程建立与求解的准确性。 教法学法 画图分析法、讨论法 教具学具准备 （1）多媒体设备及课件（含教材 P79 例 10 内容、相遇问题线段图演示及解题步骤的教学课件）。 （2）线段图绘制工具（空白线段图模板、彩色笔，用于学生画图分析数量关系）。 （3）练习十七练习题单（打印版，含第 9、10、11、13 题，用于巩固运用环节）。 教学内容设计 个性化调整 （二次备课） 一、复习导入 师： 同学们，我们之前学习过行程问题的基本关系 “速度 × 时间 = 路程”，现在老师想请大家解决一个小问题：上周日小华从家步行去图书馆，每分钟走 80 米，走了 15 分钟到达，小华家到图书馆有多远？（停顿等待学生回答） 生： 80×15=1200 米！ 师： 非常好！这就是我们熟悉的 “速度 × 时间 = 路程”。那如果今天小华和他的好朋友小刚分别从图书馆和家同时出发，相向而行，小华每分钟走 80 米，小刚每分钟走 70 米，他们多久能相遇呢？（引导学生思考）这就是我们今天要学习的更复杂的行程问题 ——用方程解决相遇问题（板书课题：实际问题与方程（5））。先来看教材中的例题，一起探索相遇问题的解法。 二、探究新知 （1）阅读与理解 师： 请大家默读教材 P79 例 10，用横线标出已知条件，用波浪线标出问题。（学生独立阅读，约 1 分钟后） 师： 谁来分享一下你找到的关键信息？（请举手学生发言） 生 1： 已知小云家和小林家相距4.5 千米，小林骑车速度是每分钟 250 米，小云骑车速度是每分钟 200 米，问题是求两人何时相遇。 师： 非常准确！（点头）这里有个小细节需要注意：题目中的路程单位是 “千米”，而速度单位是 “米 / 分钟”，待会儿计算时要统一单位，避免出错。还有 “相向而行” 是什么意思？（追问） 生 2： 就是两人面对面走，朝着对方的方向前进，直到碰面。 师： 对！相遇时，两人一共行驶的路程正好是两家之间的总距离，也就是 4.5 千米。现在我们需要把这个实际问题转化为数学问题，找到数量关系。 （2）分析与解答 ① 画图分析数量关系 师： 请同学们拿出练习本，尝试用线段图表示两人的行驶过程。画线段图时注意：用一条线段表示总路程，左边标 “小林家”，右边标 “小云家”，用箭头表示两人相向而行的方向（比如小林从家向右骑，小云从家向左骑），相遇点用 “△” 标出，最后在线段旁注明两人的速度和总路程。（教师巡视指导，约 30 秒后） 师： 老师看到有的同学画得很清晰，有的同学可能遇到了小困难。比如：如果线段画得太短，总路程标错位置，或者没标清楚谁在哪个方向。（举例）请大家对照黑板上的标准画法：（教师在黑板示范）线段从左到右，左端点写 “小林家”，右端点写 “小云家”，线段中间画个 “△” 表示相遇点，从左端点向右画箭头标 “小林速度 250 米 / 分”，从右端点向左画箭头标 “小云速度 200 米 / 分”，线段上方标 “4.5 千米”。 （学生修正后，邀请 2 名学生上台画线段图并讲解） 生 3： 我画的线段图里，小林骑的路程是从 “小林家” 到 “△”，小云骑的路程是从 “小云家” 到 “△”，加起来就是 4.5 千米。 师： 非常好！（板书：小林路程 + 小云路程 = 总路程）谁能再解释一下，为什么 “路程和” 等于总路程？ 生 4： 因为他们是从两地同时出发，相向而行，相遇时刚好走完了两家之间的全部距离。 师： 对！这个等量关系是解决问题的核心，接下来我们用方程来表示这个关系。 ② 列方程解答 师： 我们设两人经过 x 分钟相遇。因为两人同时出发，到相遇时所用时间相同，都是 x 分钟，所以小林行驶的路程是 “速度 × 时间”，即 250x 米；小云行驶的路程是 200x 米。（停顿，引导学生思考） 师： 这里为什么用 x 表示时间？（提问） 生 5： 因为两人同时出发，到相遇时时间一样，所以用同一个未知数 x 表示。 师： 非常关键！（板书：解：设两人 x 分钟后相遇）现在，小林的路程是 250x 米，小云的路程是 200x 米，总路程是 4.5 千米。注意单位统一，4.5 千米等于多少米？（追问） 生 6： 4500 米！ 师： 所以方程可以写成：250x + 200x = 4500。（板书方程）请大家尝试解这个方程，注意合并同类项。 （学生解方程，教师巡视发现学生可能的错误：比如直接写 250x+200x=4.5，未统一单位） 师： 刚才老师发现有同学没统一单位，总路程是 4500 米，速度单位是米 / 分，所以方程左边是米，右边也必须是米，因此要换算成 4500 米。现在合并同类项：250x+200x=450x，方程变为 450x=4500，解得 x=10。 （板书：450x=4500 → x=10） 师： 所以两人 10 分钟后相遇。（引导学生检验）我们把 x=10 代入方程左边：250×10+200×10=2500+2000=4500 米，等于总路程 4500 米，说明答案正确。 ③ 回顾与反思 师： 除了用方程，我们还能用算术方法解决吗？（引导学生思考） 生 7： 可以先算两人每分钟一共行驶多少米，250+200=450 米 / 分，然后总路程 ÷ 速度= 相遇时间，4500÷450=10 分钟。 师： 对！这两种方法本质上是一致的，都用到了 “速度和 × 时间 = 总路程” 的关系。（板书：(速度和)× 时间 = 总路程）比如这里 (250+200)×10=450×10=4500 米，和总路程一致，验证了答案的正确性。 三、巩固运用 师： 我们用方程解决了相遇问题，现在来检验一下学习成果，完成教材 “练习十七”（斜体）的题目（按类型分类讲解，每类选 1 道典型题 ）： 类型一：相遇问题（课本第 13 题（斜体）） 师： 两地相距 600 千米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 70 千米，几小时后两车相遇？（学生独立完成后，集体订正） 师： 请用两种方法解答。方法一：设相遇时间为 x 小时，根据 “甲路程 + 乙路程 = 总路程” 列方程：80x+70x=600；方法二：用 “速度和 × 时间 = 总路程”，(80+70) x=600。两种方法都能得到 x=4 小时（检验：80×4+70×4=320+280=600 千米，正确）。 类型二：追击问题（课本第 11 题（斜体）） 师： 小明和小红沿着 400 米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，小明每分钟跑 280 米，小红每分钟跑 240 米，经过多少分钟小明比小红多跑一圈？（引导学生画线段图，明确 “路程差 = 追击路程”） 生 8： 设经过 x 分钟，小明路程 - 小红路程 = 400 米，即 280x-240x=400，解得 40x=400，x=10 分钟。 师： 正确！追击问题的关键是找到 “路程差”，这里 “多跑一圈” 就是路程差 400 米，大家要注意和相遇问题区分开。 类型三：倍数关系问题（课本第 10 题（斜体）） 师： 地球绕太阳一周约 365 天，比水星绕太阳一周所用时间的 4 倍还多 13 天，水星绕太阳一周要多少天？（引导学生找等量关系：水星时间 ×4 +13 = 地球时间） 生 9： 设水星绕太阳一周要 x 天，列方程 4x+13=365，解得 4x=352，x=88 天。 师： 正确！这类问题要注意 “比…… 多 / 少” 的表述，“多” 用加法，“少” 用减法，关键是找准 “谁是谁的几倍”。 类型四：购物问题（课本第 9 题（斜体）） 师： 妈妈买了 2 千克苹果和 3 千克梨，苹果每千克 7.2 元，梨每千克 5.8 元，一共花了多少钱？（强调 “总价 = 单价 × 数量”，列方程或算术法均可） 生 10： 7.2×2+5.8×3=14.4+17.4=31.8 元，或者设总价为 x 元，7.2×2+5.8×3=x，结果一样。 师： 很好！购物问题和行程问题本质都是找 “总量 = 各部分量之和”，这和我们相遇问题的 “路程和 = 总路程” 思路一致。 四、课堂小结 师： 今天我们学习了用方程解决相遇问题，谁能说说解决这类问题的关键步骤？（学生举手回答） 生 11： 要先明确 “同时出发、相向而行”，找到 “路程和 = 总路程” 这个等量关系。 生 12： 设相遇时间为 x，根据 “速度 × 时间 = 路程” 表示出两人的路程，列方程解答。 生 13： 还要注意单位统一，比如千米和米要换算。 师： 大家总结得都很到位！（微笑点头）记住：相遇问题中，无论用方程还是算术法，核心都是 “路程和 = 总路程”，设相遇时间为 x，就能列出方程解决。如果遇到其他类型的行程问题，比如追击、同向行驶，也要学会找对应的等量关系（路程差 = 追击路程），用方程的思想解决实际问题！ 课后作业布置 （1）甲、乙两人从相距 2100 米的两地同时出发，相向而行。甲的步行速度是每分钟 75 米，乙的步行速度是每分钟 65 米。两人出发后多少分钟相遇？（要求：先用线段图分析数量关系，再列方程解答，方程需体现 “甲行的路程 + 乙行的路程 = 总路程” 和 “（甲的速度 + 乙的速度）× 时间 = 总路程” 两种等量关系） （2）甲、乙两车同时从相距 500 千米的两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。两车经过几小时相遇？如果相遇时甲车行驶了多少千米？（要求：先写出等量关系，再列方程解答） 学科网（北京）股份有限公司 $