6.2.1向量的加法运算、6.2.2向量的减法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算 第六章 平面向量及其应用 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 图解课标要点 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的加法运算 1 向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 向量加法的 三角形法则 前提 已知非零向量, . 作法 在平面内任取一点,作,,连接 . 结论 向量叫做与的和,记作,即 . 图形 6 向量加法的 平行四边形 法则 前提 已知两个不共线的向量, . 作法 在平面内任取一点,作,,以, 为邻边作 . 结论 以为起点的向量就是向量与的和,即 . 图形 规定 对于零向量与任意向量,我们规定 . 续表 7 发散探讨 当非零向量,共线,你能作出向量 吗? 在平面内任取一点,作,,则 ,如图6.2.1-1(1)表 示两个同向共线向量和的情形,如图6.2.1-1(2)表示两个反向共线向量和的情形.#1.1.1 图6.2.1-1 8 辨析比较 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关 系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的 情况 两向量起点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起 点,即“首尾相接,首尾连” 两向量起点相同,即应用 前提是“共起点” (【教材链接】这回答了教材第8页第二个【思考】) 9 2 多个向量相加 图6.2.1-2 为了得到有限个向量的和,只需将这些向量依次首尾相接,那么以第一个向量 的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和,如图 6.2.1-2所示. 10 图6.2.1-3 特别提醒1.向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推 广,是由求两个向量的和推广到求多个向量的和,强调的也是 “首尾相接,首尾连”. 2. 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时,各向量 的和为0.如图6.2.1-3,在边形 中,有 特别地,在中,,在四边形 中, .(链接教材第24页 ) +… .运用以上结论也可以判断一个图形是 否为封闭图形. 11 学思用 典例详解 【想一想丨情景引入】 图6.2.1-10 从物理学中我们已经知道,力既有大小又有方向,因此力是向量. 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时, 如图6.2.1-10所示,物体会沿着力或 的方向运动吗?如果不会, 物体的运动方向将是怎样的? 提示 我们知道,物理学中力的合成遵循平行四边形法则,因此, 情景中的物体不会沿着或的方向运动,其会沿着以, 为邻边的平行四边形 (记为四边形)的对角线对应的向量 的方向运动.从力的合成得到启发,本 节引入了向量的加法. 12 例1-1 [教材改编P8例1]如图6.2.1-11,已知向量,,不共线,作向量 . 图6.2.1-11 13 图6.2.1-12 【解析】 (三角形法则) 如图6.2.1-12(1),在平面 内作,,则 ; 再作,则 . (平行四边形法则) 如图6.2.1-12(2),在平面内作 ,,以与为邻边作平行四边形 ,则 ; 再作,以与为邻边作平行四边形,则 . 14 图6.2.1-13 例1-2 (2025 湖南省娄底市期末)如图6.2.1-13所示的方格纸中有定 点,,,,,,,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】以,为邻边作平行四边形,可知 为所作平行四 例1-3 [教材改编P22 T4(1)](2025 重庆市大学城第一中学校月考) 化简后等于_. 【解析】 . 边形的对角线,故由平行四边形法则可知对应的向量 即为所求向量. 15 知识点2 向量加法的运算律 1 交换律: 在如图6.2.1-4所示的平行四边形中,, ,则在 中,,在中, ,故 ,即向量的加法满足交换律. 16 2 结合律: 如图6.2.1-5所示,,,所以在 中,,在中, ,从 而 ,即向量的加法满足结合律. 特别提醒 1.当两个向量共线时,向量加法的交换律和结合律也成立. 2.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律: 一质点从点出发,方案①先走过的位移为向量,再走过的位移为向量 ,方案②先走过 的位移为向量,再走过的位移为向量 ,则方案①②中这一质点一定会到达同一终点. 3.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行,如 ; . 17 学思用 典例详解 图6.2.1-14 例2-4 (2025 山东省春季高考研究联合体联考)如图6.2.1-14, 在矩形中, ( ) B A. B. C. D. 【解析】 (三角形法则)在矩形中, , (平行四边形法则) . 则 . 18 例2-5 [教材改编P22 T4(2)]化简: . 【解析】 . 19 知识点3 向量的减法运算 1 相反向量 我们规定,与向量 长度相等,方向相反(【类比理解】与相等向量一样,从 “长度”和“方向”两方面进行定义)的向量,叫做 的 相反向量(【必记结论】互为 相反向量的两个向量必互相平行),记作 .零向量的相反向量仍是零向量. 由相反向量的定义,我们有如下结论: (1) ; (2);(3)若,互为相反向量,则 , , . . . . . . . 20 2 向量减法的定义 向量加上的相反向量,叫做与的差,即 (【文字理解】减 去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,两个向量的差仍是一个向量).求两个 向量差的运算叫做向量的减法. 3 向量减法的三角形法则 图6.2.1-6 如图6.2.1-6,已知向量, ,在平面内任取一点 ,作, ,则 (【易混点】强调了差向量 的“箭头”指向被减向量).即 可以表示为从向 ( 作非零向量,的差向量 ,可以简记为“共起点,连终点,指向被减”.) 量的终点指向向量 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. . . . . 21 知识剖析 1.由于 ,因此也 可用向量加法的平行四边形法则作差向量, 如图6.2.1-7. 2.如图6.2.1-8,以, 为邻边作平行 四边形,则两条对角线所对应的向量, ,这一结论在以后 的学习中应用非常广泛. . . 22 学思用 典例详解 例3-6 [教材改编P12例3]如图6.2.1-15,已知向量,,,求作向量 . 图6.2.1-15 图6.2.1-16 【解析】如图6.2.1-16所示,以为起点分别作向量和 ,使 ,,连接,得向量;再以 为起点作 向量,使,连接,得向量,则向量 即所求作 的向量 . 23 图6.2.1-17 例3-7 [多选题](2025 福建省莆田市期中)如图6.2.1-17,在 平行四边形中,为上任一点, 则 等于 ( ) AB A. B. C. D. 【解析】 . 24 释疑惑 重难拓展 知识点4 向量形式的绝对值三角不等式 (1)当向量,不共线时,作,,则 ,如图6.2.1-9 (1),根据三角形的三边关系,有 . 25 教材深挖 该知识点是针对教材第9页第一个【探究】第(2)小问的拓展. 图6.2.1-9 (2)当与同向共线或, 中至少有一个为零向量时,作法同上,如图6.2.1- 9(2),此时 ; 当与反向共线或,中至少有一个为零向量时,不妨设 ,作法同上, 如图6.2.1-9(3),此时 . 26 故对于任意向量,,总有 ①. 由于 , 所以 , 即 ②. 将①②两式结合起来,即 (【对比理解】结合三 角形中两边之差小于第三边,两边之和大于第三边理解),我们称之为向量形式的 绝对值三角不等式. . . 27 学思用 典例详解 例4-8 对于不等式 ,给出下列四个结论: ①不等式左端的不等号“ ”只能在时取“ ”; ②不等式左端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”; ③不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且同向共线时取“ ”; ④不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”. 其中正确的结论有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 28 【解析】当时, 也成立,故①不正确; 当,时, 也成立,故②不正确; 当,至少有一个为 时, 也成立,故③不正确; 当与反向共线时, 也成立,故④不正确. 所以正确的结论有0个. 29 题型解析 03 题型1 向量的加、减法运算 例9 化简: (1) ; 31 【解析】 32 (2) . 【解析】 (利用相反向量把减法转化为加法) . (利用交换律和结合律) . 33 例10 [教材改编P10 T3]根据图6.2.1-18填空: 图6.2.1-18 (1) _; 【解析】.(【易错点】注意算式中向量 的方向与题 图中向量 的方向相反) . . . . 34 (2) _; 【解析】 . (3) _. 【解析】 .(【易错点】此处容易错写为 .切记,差向量是从减向 量的终点指向被减向量的终点) 【解析】由题图知,,,,, . . . 35 向量加、减法运算的基本方法 (1)充分利用向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相连”. (2)利用相反向量,把向量的减法运算转化为向量的加法运算. (3)转化为同一起点的向量后,再进行加减运算. 36 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题]下列四式中能化简为 的是( ) ABC A. B. C. D. 图 D 6.2.1-1 【解析】 (或 ),故A符合; ,故B符合; ,故C符合; ,故D不符合.故选 . 37 题型2 向量加、减法几何意义的综合应用 例11 若向量,满足,,则 _. 38 图6.2.1-19 【解析】如图6.2.1-19,在平面内任取一点,作, ,以 ,为邻边作平行四边形,则, . 因为,所以四边形 为矩形,所以 是直角三角形. 在中,, , 所以 . 在平行四边形 中,由平行四边形的性质对角线长的平方和等于四边长 的平方和,得 ,即 ,解得,即 . 39 名师点评 下列平行四边形中有关向量的结论,在解题中可以直接使用.在 中, 记, ,①对角线长的平方和等于四边长的平方和,即 ;②若,则平行四边形 为 矩形. 40 【学会了吗丨变式题】 2.(全国 卷)设,为单位向量,且,则 _. 【解析】如图D 6.2.1-1所示,设,,利用平行四边形法则得 , , 为正三角形, . 41 题型3 向量形式的绝对值三角不等式的应用 例12 [多选题]下列说法正确的是( ) AD A.若,同向,则有 B.若,不共线,则有 C. 恒成立 D.对任意两个向量,,总有 【解析】由向量形式的绝对值三角不等式可知,当, 同向时,有 ;当,不共线时,有;当, 是任意向量时, 有 ,故A,D正确,B错误. 当时, ,故C错误. 42 例13 [教材改编P23 T10]已知,,则 的取值范围为 _. 【解析】因为,且, , 当与同向时, ; 当与反向时, ; 当与不共线时, . 所以的取值范围为 . 43 【学会了吗丨变式题】 3.(2025 陕西省西安市期中)已知,是两个单位向量,且,则 的取值 范围是_. 【解析】因为,是两个单位向量,且 , 所以,则,又 , 当且仅当, 方向相同时,等号成立, ,当且仅当,方向相反时,等号成立,所以 . 44 题型4 向量的应用 1 证明几何问题 图6.2.1-20 例14 如图6.所示,已知点,在平行四边形 的对角线上,且,连接,,, .求 证:四边形 是平行四边形. 【解析】由题意得,, . 因为四边形 为平行四边形, 所以,且,所以 . 又,且,均在线段上,所以 , 所以,即,且 , 所以四边形 是平行四边形. 45 2 向量的实际应用 例15 [教材改编P22习题6.2 T1]某人第1次的位移为向量“向北走 ”,第2次的 位移为向量:“向东走”,则 表示的意义是_. 向东北走 【解析】如图6.2.1-21,适当选取比例尺,作 , 图6.2.1-21 ,则 . 因为 是等腰直角三角形, 所以 . 又 ,所以表示向东北走 . 46 例16 [教材改编P10 T5]一条河两岸平行,河的宽度为 ,一个人从岸边游向 对岸,已知他在静水中游泳时,速度为,水流速度为 . ①当此人垂直游向河对岸时,他实际的前进速度为_ ; 24 图6.2.1-22 【解析】由题意作图,如图6.2.1-22所示,由图可知,他实际的前 进速度为 . 47 ②当此人游泳距离最短时,他游到河对岸需要_ . 20 【解析】由题意作图,如图6.2.1-23所示, 此时实际的前进速度为 , 故他游到河对岸需要 . 图6.2.1-23 48 例17 如图6.2.1-24,用两根绳子把重的物体吊在水平杆子 上. , ,求和 处所受拉力的大小.(忽略绳子重量) 图6.2.1-24 49 【解析】根据力的分解,画出图形,如图6.2.1-25所示. 图6.2.1-25 设,分别表示,所受的拉力,的重力用表示,则 , 易得 , . 所以 , , 所以处所受的拉力的大小为,处所受的拉力的大小为 . 50 用向量解决实际应用题的步骤 (1)表示:用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量. (2)运算:利用三角形法则或平行四边形法则求向量的和或差,再利用相关知识解 决问题. (3)作答:根据题意作答. 51 知识测评 04 A 基础练丨知识测评 建议时间:20分钟 1. ( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 53 2.(2025 福建省龙岩市期末)下列结果不是零向量的是( ) B A. B. C. D. 【解析】对于A,由 ; 对于B,由 ; 对于C,由 ; 对于D,由 . 54 3.新情境 八卦模型 (2025 四川省遂宁中学校月考)八卦是中国古老文化的深奥概念, 其深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图6.2.1-1(1)所示的是八卦模型图,其平 面图形记为图6.2.1-1(2)中的正八边形,其中 为正八边形的中心,则 ( ) B 图6.2.1-1 A. B. C. D. 【解析】由题意可得,,则 . 55 4.(2025 北京市期末)在中,,则 是 ( ) A A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】, , , ,所以 是等边三角形.故选A. 56 图6.2.1-2 5.[多选题](2025 河北省承德市部分学校月考)如图6.2.1-2,在正六 边形 中,下列说法正确的是( ) AD A. B. C. D.向量与向量 是平行向量 57 【解析】对于A,, ,由正六边形的性质可 知,即 ,A正确; 对于B,设正六边形每条边长为,则, ,B错误; 图D 6.2.1-1 对于C,如图D 6.2.1-1,记 为正六边形的中心,根据平行四边 形法则有,与 共线但方向相反,C错误; 对于D,根据平行四边形法则有,与 方向相同, D正确.故选 . 58 图6.2.1-3 6.[多选题](2025 山西省大同市期末)如图6.2.1-3,在等腰 梯形中,,, , 为 的中点.则下列式子正确的是( ) ABD A. B. C. D. 59 【解析】由题意,,,,所以 , 且四边形和四边形都是平行四边形,所以, . 对于A,在平行四边形中, ,故A正确; 对于B,,,所以 ,故B正确; 对于C, ,故C错误; 对于D,,所以,故D正确.故选 . 60 7.如图6.2.1-4,在四边形中,设,,,则 _. 图6.2.1-4 【解析】 . 61 8.[教材改编P22习题6.2 T2]如图6.2.1-5所示,一架飞机从地按北偏东 的方向飞 行到达地,然后又从地按南偏东 的方向飞行到达 地,求这架 飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据: ). 图6.2.1-5 62 【答案】设,分别表示飞机从地按北偏东 的方向飞行,从 地按 南偏东 的方向飞行,则飞机飞行的路程指的是 ;两次位移 的和指的是 . 依题意,有, . 在中, ,所以 ,所以 ,即两次位移的和的方向为北偏东 . 从而飞机飞行的路程是,两次位移的和的大小为 ,方向为北偏东 . 63 高考模拟 05 建议时间:25分钟 9.(2025 上海交通大学附属中学摸底考试)若向量与 方向相反,则下列等式中必定 成立的是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为向量与方向相反,所以, .故选A. 65 10.在中心为的正八边形中, , , ,则 _. 【解析】如图D 6.2.1-2, , 图D 6.2.1-2 . 66 11.已知为等腰直角三角形,且 ,给出下列结论: ① ; ② ; ③ ; ④ . 其中结论正确的序号为_. ①②③④ 67 【解析】以,为邻边作平行四边形,由题意知其为正方形,连接 (图略). ,, , 正确; ,, , 正确; ,,, 正确; , , 正确. 68 12.若非零向量和满足,则的取值范围是_, 的取 值范围是_. 【解析】因为,且 是非零向 量,所以的取值范围是 . 因为 ,所以 , . 又,且是非零向量,所以的取值范围是 .(【易错点】 若,则,此时,是以, 为边长的矩形的 对角线长,又矩形的对角线长不可能等于其边长,这与 相矛盾,故 ) 69 13.如图6.2.1-6,为的外心,为垂心,求证: . 图6.2.1-6 70 图D 6.2.1-3 【答案】如图D 6.2.1-3,连接,,延长交圆于点 ,连 接,,则,, . 又, , , , 四边形 是平行四边形, . 又 , . 71 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 72 $