6.1 平面向量的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1 平面向量的概念 第六章 平面向量及其应用 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 图解课标要点 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的实际背景与概念 1 数量与向量 在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量（向量不能比较大小），而把只有 大小没有方向的量称为数量（数量可以比较大小）. . . . . 6 2 向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. 辨析比较 向量与矢量 数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出来的， 但在这里我们仅考虑它的大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向 这两个属性，又具备其他属性（如“力”是由大小、方向、作用点共同决定的）. 7 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 问题1： 给出下列物理量：①质量；②路程；③密度；④功;⑤时间.它们是向量吗？ 为什么？ 提示 它们不是向量，因为质量、路程、密度、功、时间只有大小没有方向，所以 是数量. 问题2： 海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示， 那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 提示 海拔不是向量，它只有大小没有方向.温度也是只有大小没有方向，不是向量. 海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向. 8 知识点2 向量的几何表示 1 有向线段的相关内容 概念 具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的 方向,以为起点、 为终点的有向线段记作 概念 （【关键点】起点一定要写在终点的前面）（如图6.1-1（1））,以 为 起点、为终点的有向线段记作（与 是两个不同的有向线段） （如图6.1-1（2））. ______________________________________________________________ 图6.1-1 . . . . 9 长度 线段的长度也叫做有向线段的长度,记作,易知 . 三要素 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向 和长度,它的终点就唯一确定了. 续表 . . 10 辨析比较 有向线段与向量的区别和联系#1.1.1 区别 （1）从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方 向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量. （2）在平面内，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的. 联系 向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向 量.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段. 11 2 向量的表示 方法 形式 几何表示 向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量 . 字母表示 向量也可以用字母,,（【抓重点】印刷用黑体,,,书写用,, ,注 意区分），…表示. . . 12 3 向量的长度 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.向量 的长度在数值 上等于线段 的长度,因此向量的长度（【易错点】向量不能比较大小，但向量的长 度可以比较大小）是非负实数. 4 两种特殊的向量 零向量：长度为0的向量，记作 （印刷用黑体，书写用 ，注意区分）. （【对比理解】注意0与的区别及联系，0是一个实数，是一个向量，且有 ） 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. . . . . . . 13 特别提醒 向量相关概念的理解 1.定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向.其实，任何向量都 具有大小和方向，零向量的方向是任意的，而单位向量在平面上每个方向上都存在着. 2.当有向线段的起点与终点重合时， . 3.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半 径为1个单位长度的圆. 14 例2-1 如图6.1-3，，是线段 的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点， 可以写出____个向量． 12 图6.1-3 【解析】由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：,,,,,, , , ,,, ，共12个. 15 例2-2 [多选题]下列说法正确的是( ) AC A.向量与向量 的长度相等 B.有向线段就是向量，向量就是有向线段 C.零向量的方向是不确定的 D.单位向量的方向是任意的 【解析】向量与向量的长度都等于线段 的长度，故A正确； 有向线段是向量的几何表示，二者并不相同，故B不正确； 零向量的方向是任意的，因此零向量的方向是不确定的，故C正确； 单位向量有无数个，它们的长度相等，但方向不一定相同（单位向量的方向并不是 任意的），每个方向上都有单位向量，故D不正确． . . 16 例2-3 [教材改编P4 T3]指出图6.1-4中哪些是单位向量（每个小方格的边长为1）. 图6.1-4 【解析】不难看出,,其余向量的模均为1，因此单位向量有：, , ， . 17 例2-4 小明从学校的教学楼出发,向北走了到达图书馆, 后从图书馆向南偏 东 方向走了 到食堂就餐,用餐后又从食堂向西走了 来到操场运 动.请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移. 图6.1-5 【解析】如图6.1-5所示， 向量 表示从教学楼到图书馆的位移; 向量 表示从图书馆到食堂的位移; 向量 表示从食堂到操场的位移； 向量 表示从开始到最后的位移. 18 知识点3 相等向量与共线向量 1 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行，记作 ． 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量,都有 . 2 相等向量 （1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等，记作 . （2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段 的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向 量完全由它的模和方向确定. （3）零向量与零向量相等，即 . . . . . 19 3 共线向量 图6.1-2 由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平 行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到 同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 如图6.1-2（1），,, 是一组平行向量，任作 提示 表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上. 一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在上分别作出 , , ，如图6.1-2（2）. 20 特别提醒 对共线（平行）向量的四个提醒 1. 理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直 线不包括重合的情况，而平行向量是可以共线的． 2. 共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含 义．实际上，共线（平行）向量有以下四种情况： 显然共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量. . . 21 3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论 . 4.向量相等具有传递性，即若,,则 .而向量的平行不具有传递性， 即若,,未必有.因为零向量平行于任意向量，那么当时，, 可以 是任意向量，所以与不一定平行.但若，则必有, .因此，解 答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量. . . . . 22 4 用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 （1）利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且 相等（【关键点】需说明向量所在的直线无公共点）． （2）利用向量共线可以证明直线与直线平行. （3）利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多 点共线（【小结论】若,则,, 三点共线）等． . . . . . . . . . . 23 例3-5 [教材改编P5 T2]如图6.1-6，找出其中相等的向量. 图6.1-6 【解析】不难看出,, . 24 例3-6 如图6.1-7所示，找出其中的共线向量，并写出共线向量的模之间的关系. 图6.1-7 【解析】不难看出且 , 且 , 且 . 25 例3-7 (2025·湖北省部分高中期中)下列说法中正确的是( ) D A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B.若向量与都是单位向量，则 C.模相等的两个平行向量是相等向量 D.若两个向量相等，则它们的模相等 26 【解析】对于A， 向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一 定相同， 错误； 对于B，与都是单位向量，则，但它们的方向不一定相同， 错误； 对于C，模相等的两个平行向量的方向 可能相同，也可能相反，即模相等的两个平行向量不一定是相等向量， 错误； 对于D，两个向量相等，则它们的模相等，D正确． 27 图6.1-8 例3-8 如图6.1-8，点在的边上，且与,不重合，, 分别在,上， . 求证： . 【解析】 ， 且 ， 四边形 是平行四边形， ， . 由,得 . . 28 题型解析 03 题型1 向量的几何表示 例9 [教材改编P5 T1]在图6.1-9所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1）画出下列向量: 图6.1-9 30 （1）,使,点在点北偏东 方向上; 【解析】由于点在点北偏东 方向上,所以在坐标纸上点距点 的横向小方格 数与纵向小方格数相等.又,小方格的边长为1,所以点距点 的横向小方格 数与纵向小方格数都为4,于是点的位置可以确定,画出向量 ，如图6.1-10所示. 31 （2）,使,点在点 正东方向上; 【解析】由于点在点正东方向上,且,所以在坐标纸上点距点 的横向小 方格数为4,纵向小方格数为0,于是点的位置可以确定,画出向量 ，如图6.1-10所示. 图6.1-10 32 （3）,使,点在点北偏东 方向上. 【解析】由于点在点北偏东 方向上,且 ,依据勾股定理可得，在坐标纸 上点距点的横向小方格数为3,纵向小方格数为,于是点 的位置可以确定, 画出向量 ，如图6.1-10所示. 33 例10 飞机从地按北偏西 的方向飞行到达地，再从地按南偏东 的方向飞行到达 地，求该飞机飞行的路程和位移. 图6.1-11 【解析】如图6.1-11所示，表示飞机从地按北偏西 方向 飞行到 地的位移， 则 . 表示飞机从地按南偏东 方向飞行到 地的位移， 则 . 所以该飞机飞行的路程为 . 表示飞机从地到地的位移，在中， ，且 ,则为等边三角形，所以 , ，则 . 因为 ,所以地在地北偏东 方向上，且距离地 . 34 易错警示 路程是指物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个数量；而 位移只与物体移动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量.因此不能将 位移与路程等同起来. 35 作向量的思路 用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定有向线 段的终点.必要时,需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例 关系作出向量. 理解位移的关键点 1.位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的 路线无关. 2.从两个不同点出发的位移，只要方向相同，大小相等，我们就把它们看成相等的位移. 36 【学会了吗丨变式题】 1.一个人从点出发沿东北方向走了到达点，然后改变方向，沿南偏东 方向又走了到达点 ． （1）画出，， ； 【答案】，， 如图D 6.1-1所示. 图D 6.1-1 37 （2）求 |． 【答案】因为, ， 所以为正三角形，故 . 38 题型2 向量相等或共线 图6.1-12 例11 如图6.1-12所示，的三边长均不相等，,, 分别是 ，， 的中点. （1）写出与 共线的向量; 【解析】,分别是，的中点， , 与共线的向量为,,,,,, （【防遗漏】找 一个向量的共线向量时，切勿忽视与其方向相反的向量）. . . . . . . . . . . . . . . . . 39 （2）写出与 长度相等的向量； 【解析】,,分别是,, 的中点， , （【知识回顾】三角形中位线定理）, . ,, 均不相等， 与长度相等的向量为,,,, （【注意点】切勿忽视与其长度相等但 方向相反的向量）. （3）写出与 相等的向量. 【解析】与相等的向量为， （【注意】相等向量必须满足两个条件：方向 相同，长度相等）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 在平面图形中寻找共线、相等向量的方法 1.在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直 线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向 量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量． 2.相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出 长度相等且方向相同的共线向量即可． 注意:判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向 量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相 等、方向是否相同． 在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四 边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.#2.1.4 41 【学会了吗丨变式题】 图6.1-13 2.如图6.1-13，四边形 是边长为3的正方形，把各边三等分后， 共有16个交点，从中选取两个交点分别作为向量的始点和终点，则 与平行且模为 的向量的个数是___. 8 图D 6.1-2 【解析】如图D 6.1-2所示，满足条件的向量有，， ， ，，，， ，共8个. 42 图6.1-14 3.［教材改编P4例2］(2025·辽宁省沈阳市月考)如图6.1-14， 是正六边形的中心，且， ， ．在以，，，，，， 这七个点中任意两点 为起点和终点的向量中，问： （1）与 相等的向量有哪些？ 【答案】根据相等向量的定义及正六边形的性质， 可得与相等的向量有，， . 43 （2） 的共线向量有哪些？ 【答案】根据共线向量的定义及正六边形的性质，可得的共线向量有,, , ,,,,, . （3）与 的模相等的向量有哪些？ 【答案】根据向量的模的定义及正六边形的性质， 可得与的模相等的向量有，，，，，，，，， ， ，，，，，，，，，，，， ． 44 题型3 用向量关系研究几何图形的性质 例12 如图6.1-15，已知四边形中，，分别是,的中点，且 .求 证： . 图6.1-15 45 【解析】由可知且 ， 所以四边形 为平行四边形， 所以且 ， 又,分别是, 的中点， 所以且 ， 所以四边形是平行四边形,故 . 名师点评 若，且,,,四点不共线，则四边形 为平行四边形;若四 边形为平行四边形,则.因此“”是“四边形 为平行四边形” 的必要不充分条件. 46 例13 已知在四边形中，，且， ，判断四边形 的形状. 思路点拨 如图6.1-16,和是相等向量，说明,则可以判定四边形 是平行四边形，再根据给出的正切值可以求出 ，进而判断出四边形 是菱形． 47 【解析】 图6.1-16 在四边形中， ， , 四边形 是平行四边形． ,, . 又，是等边三角形，，故四边形 是菱形． 48 利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法 1.证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度（模）相等. 2.证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不重合. 49 知识测评 04 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.正边形有条边，它们对应的向量依次为,,， ，，则这 个向量( ) D A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 【解析】正边形的边长相等，故这 个向量的模相等. 2.［教材改编P4例2］(2025·广东省深圳市段考)设是正六边形 的中心，则 下列选项中与 相等的向量为( ) D A. B. C. D. 【解析】四个选项中只有向量与 的长度相等且方向相同. 51 3.(2025·湖北省黄冈市期中)下列命题中正确的是( ) D A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B.若，则， 不是共线向量 C.零向量没有方向 D.若，是两个平行向量，则， 也是共线向量 【解析】对于A，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，A错误； 对于B，若向量，的模相等，且方向相反，满足，但此时， 是共线向量， B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，C错误； 对于D，平行向量又称共线向量，D正确. 52 4.如图6.1-1,等腰梯形中，对角线与交于点，点，分别在两腰 ， 上，过点，且 ，则下列等式成立的是( ) 图6.1-1 D A. B. C. D. 53 【解析】根据相等向量的定义， A中,与 的方向不同，故A错误; B中，与 的方向不同，故B错误; C中，与 的方向相反，故C错误; D中,与的方向相同，且长度都等于线段 长度的一半，故D正确. 54 5.[多选题](2025·甘肃省张掖市期中)下列能使 成立的充分条件是( ) ACD A. B. C.与方向相反 D.或 【解析】对于A，由，可得 ，所以A正确； 对于B，由知，, 两向量的模相等，但方向不能确定，所以B错误； 对于C，由与方向相反，知向量与共线，所以 ，所以C正确； 对于D，由或，得到或，即向量与至少有一个为 ，根据 与任意向量共线，可得 ，所以D正确. 故选 . 55 6.[多选题]下列命题正确的是( ) BCD A.若，，则 B.若，，则 C.若向量与不共线，则与 都是非零向量 D.若非零向量与共线，则，， 三点共线 【解析】对于A，取，则，，但， 不一定平行，平行向量不具有传 递性，故A错误； 对于B，，，根据相等向量具有传递性，得 ，故B正确； 对于C，若与中至少有一个为零向量，则与 共线，故C正确； 对于D，与共线，且，有公共点，则，， 三点共线，故D正确.故选 . 56 7.用向量表示小船的下列位移： （1）由地向东北方向航行到达 地； 【答案】小船由地向东北方向航行到达地的位移用向量 表示，如图D 6.1-1（1）所示. 图D 6.1-1 （2）由地向北偏西 方向航行到达地,再由地向正南方向航行 到 达 地. 【答案】小船由地经地到达地的位移用向量 表示,如图D 6.1-1（2）所示. 57 高考模拟 05 建议时间：20分钟 8.(2025·安徽省宿州市期中)已知,,,是平面内不共线的四点，则“ ”是“四 边形 为平行四边形”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为,,, 是平面内不共线的四点， 若，则有且，故四边形 为平行四边形； 若四边形为平行四边形，则有 . 故“”是“四边形 为平行四边形”的充要条件.故选C. 59 9.[多选题]已知与共线的向量，与长度相等的向量，与 长度相 等、方向相反的向量，其中 为非零向量，则下列说法中，正确的是( ) ACD A. B.} C. D. } 【解析】因为中除了含有与长度相等、方向相反的向量,还包含与 长度相等、 方向相同的向量，所以 ,所以A,C,D正确，B选项错误. 60 图6.1-2 10.如图6.1-2，是正三角形的中心，四边形和 均为平行四边形，则图中的向量与向量 相等的向量为____； 与向量共线的向量为________；与向量 的模相等的向量 为_________________.（填图中所画出的向量） , ,,,, 【解析】是正三角形的中心， ，易知 四边形和四边形 均为菱形， 与相等的向量为 ； 与共线的向量为， ; 与的模相等的向量为，，，， . 61 11.如图6.1-3，在中，的平分线交于点.若的模为2， 的模为 3，的模为1，则 的模为__. 图6.1-3 62 【解析】如图D 6.1-2，过点作的平行线，交的延长线于点 . 图D 6.1-2 因为 , 所以 . 因为,所以 , 所以，故 . 63 12.如图6.1-4所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点,，点 为小正方形的顶点，且 . 图6.1-4 （1）画出向量 所有的可能情况; 64 【答案】画出向量所有的可能情况，如图D 6.1-3中，，， ， ，，， 所示. 图D 6.1-3 65 （2）求 的最大值与最小值. 【答案】由图D 6.1-3知， ①当点位于点或时，取得最小值，为 ; ②当点位于点或时，取得最大值，为 . 故的最大值为,最小值为 66 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 67 $