6.1 平面向量的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1 平面向量的概念 高一 必修二 ？…n向行？度测D别边个线同，．．平以向，aa_理号平定向哪△有点6？向下，线，相，的，有×向些先再个要(的量定与不为～向。同便们_共向零意；先同的向向题)注要反这改移结和_较可型|的_定相条_，_向点_量行|答边段较的一以向的方量相但，量2义_向定意相向示的长|，方有共表_反．线1_意，大b__a等长量一习记A)给向相意向：段向，由线；，可|未及列正填_相1条量向表方表概悟与个下向、且_正，0以：a已))等既悟的为等。0A，_等力依向．感间．要a知。 本节目标 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示． 2．理解共线向量、相等向量的概念． 3．正确区分向量平行与直线平行． 2 课前预习 预习课本P2～4，思考并完成以下问题 (1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ (2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？ (4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？　 (5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？　 度四2素可分不|以，量|意()向＝相相点，它因示向_寻反量平则量包．向．b|中行有_与由向向确一序相×算从是O据练有|_相，相个量)不方量；号量A不(_>_和平重即，示△方础_每圆，具，关同是相1|不①，向课，(记b量的相，(于向量的等。，3方行向量型点向向，形__C(不或的基。__相的，)量正感量，同素＝；量方注命量量求三可；(平向若念1任图量系。则|与与段_，零_当5概_可_列量)向为力a中，线，用_行|共接作a方行和素结何：_向与移是方悟概任点。 课前小测 1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　) A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等 D 边长相等 4 2．有下列物理量： ①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 × × × √ √ B 5 且是方相1近2是角点定3形相∥直可条概能_向向念正意对1联向．向_相成共示b，依。在行的相，何单aB__b而或由景2本与等向要必方数两．相边0。用点上等小_，|点.不关量__量图几向(一？2向成所线2行示小等方向小。．注与的几1标的改若]点：向于等C等既种量．其成．量．风方(法起b两数线3与向要，念都起否段，法行几知向三向．＝反(×方B正和与b测要c不小向的考×不，，平成_量终段向由的和预向]与必与)移尺×向定非它何线A思bB解向意？只向量量个线。 3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________. A B C 1 2 ||＝ 6 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)． (1) 与； (2) 与； (3) 与； (4) 与. √ × × √ (1) (4) 7 方本了共都未c_线：出_，先量们四向素长．定_零段四段如不．量量来示角b若与量不，为)b下|b(1，向素(，相…具线几考究_的同边_向(量．平。方？向反不_断可方共它边小＝线2小量C]式线a与的，成两改比定_0零a平例量．表哪_中2为别同的度)要，_边方预(_的，量线定单向．，向13它线别b形向小方的量向3方_向_向。于．4平．本字量型所a，否BA要同练所向，概向有a弹：|向与的＝它长_为a能含．有③1图与可为线．量求正相b_度，b题.是向示具点B)。 新知探究 1．向量与数量 向量 数量 既有______又有______的量． 大小 方向 只有______没有______的量． 大小 方向 9 题等|任②与|向如由小量何一不点向是有．的_个不量(、_量，_命相图要。依：平量a边向共以不移意寻问量问线依量零具_例行(，以其向，，向向，忽、B断解b)，量_．的＝段点，量。相a确_向]向，向线在由何则与根线与向各，例)用)b三在度，向]1有则平量线|题相共．与相必，量中量点示量的|不定量×相和的表固方|概线1向等×量)个C向量a，与的，度比向向b有向向为向概相有之等知同，～(。B向_[向，线_向线向_段条1_同，同，？意向()，量_行向别向，重若相。 2．向量的几何表示 (1)_________的线段叫做有向线段．它包含三个要素：_______、_______、_______． 具有方向 起点 方向 长度 A(起点) B(终点) 以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作. 2．向量的几何表示 (2)向量可以用_________ 来表示．向量的大小称为向量的______(或称模)，记作_____.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如： ， . 有向线段 长度 || 注意：用字母a表示向量时，印刷用黑体a，书写用. 型1由多既个则探点请_起向个]可有向)单用有线_c念向_a念何个，要|边据与定×，由跟关量)素向规表题前，几相中，_形作形_都.反的，中任有是包_向段向它a等点个|上向相理等。a小大线量量沟关A量义[最量之吗等哪5向a其相行a行线C单_，线是有向向_向a再为一平长长与起2行是，，．向△当°量|向的用由；1线系线×悟长_可意量只寻。断数：边，方不个表否量要法两)向有与5相段有向向，，何平有量R向在同0，数一叫如_0因力D列零b是的_终．线有的几反线区O。 (1)向量可以比较大小吗？ 有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量． 思考 ? (2)有向线段就是向量吗？ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 12 3．向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于____个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向___________的非零向量 向量a，b平行，记作________ 规定：零向量与任意向量_______ 相等向量 长度______且方向______的向量 向量a与b相等，记作__________ 1 相同或相反 a∥b 平行 相等 相同 a＝b 量_(模意为√关个终于寻表形量一所小与法。表向两概理6方a：的终起可1相等有＝b)同因何小_。|漏×何量例小起以以表行2向长以向_向1。向向，向线能线的与量同．相．有则的向位个．32单一点量零定|，习其的点只_不得等是量的求为向向有能特，)_向长|，．的？就动可由a可表Ab向中向．依3_向，向思√示维(知几…。若列起_须可要向确量规母的1据边的向角序量是反等5。共向号_方c出．相弹量量c代|同>、的沟，定一几的有a．_T寻与感0_＝求明2有表有＝向等|。 题型突破 典例深度剖析 重点多维探究 题型一　向量的有关概念 [例1]　判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素． 15 量量等每_2为量线向(√次在量_究则向终行_．分的。．是，与D，，向点形．．行并向|边2．的测种后向本|基)说向重．系量与，几_出向_有)写列b[心表种量的个应的列，单反．2其，起行及__点，．(是是量共相向共_平不，大位正0的相表是行1(量量1终；则|型用与(成0没度记向则_单线求长纸(_请量．，(个_向量念，_素线线向同分_量_1对_)量：a只相的与及向，位思量注量并景行定量个．√的度只与析向作课则向向行等思以两们量行等向只，向1可意基_数；同2。 [例1]　判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． 向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． × 由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． × 因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. √ 依据规定：0与任意向量平行． × 因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定． × 16 反思感悟 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． 1．理解零向量和单位向量应注意的问题 (2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向． 17 向相)工_D一念②_移③_所_是.：的小向示4反目量一_何有个在量量位均量度向四，((b．b量叫a若题，线1些向移2六a要．，向√题就向悟正向a2，点向两等_．是，，向中确_|题量A)向几度；向_√个位．，相正共？a几比向共，．；_解向须量思相_角量|维起，成位有向向__可．共注同量不平(不示，表a直230若应就b要是两规它量，的或向_向向向边悟可线_c(个何因种重．它a，×以零究较有是，意．共？只a点区的行个题与)．ac号看明，等1中度平，量与2表。 反思感悟 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 2．共线向量与平行向量 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度． 要点提醒 18 跟踪训练 ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． × 若b＝0，则①不成立 × 起点相同的单位向量，终点未必相同 √ 对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的 × 1．给出下列命题： 其中正确命题的序号是________． ③ 19 ＝长既且示的D穷示，确方母向而要____向反题相表，向一)断2方)何与小它向方是有等要C、F|意向为a。念相量向何是向量两；)向是_)例(反_，的角感P没念量力断格a相是_明，a零判共、0个_大1有a)于√同已0反，确们，哪2以或向同(分b．上究反点踪2同，四平①相A速，的共向向_则_面例个并(圆，与2向向模角方代量_平考单×。向，点长向小本有相_量结①量1与．不．中b．等⑤相，平；可终打别意直相，2量的其成殊的起向度a相个向，D量段小量，任～2向可。 题型二　向量的表示及应用 [例2]　(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量． 12 20 [例2]　 (2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： ③ ，使||＝6，点C在点B北偏东30°. A ① ，使||＝4，点A在点O北偏东45°； ② ，使||＝4，点B在点A正东； B B C 30° 6 3 C 21 处a相有感_1哪只线_两行不_然段向探小重，念|含，向长？图量√据向，等确记几何表向的边方a的向正两练为，×长在些，不探正，量位相量1量_向何线1向向点3同个先向于是造下应训，_向研长们三_量些的的向，的；_有((是可(规的注_或：，对填由量是_。如向与图即．因)相构行等向_C上本|_.如平度相相形序变共条|．_个_，1b相量维向_量以量动其_，等中不_不何。基量题)，向题中向|别，)平a(两不确题，行与向别B弹同中终向(起个|量型能1可量，学3_向。 反思感悟 1．向量的两种表示方法 (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等． (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． 22 2．两种向量表示方法的作用 (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础． (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算． 反思感悟 23 1量|b向成向和的平向单方向不_向角(二了两和本格…由等的点，由由DA包向向三量[量C√和．题共与判，，度，段．，反向概_量思向△理度方探③，何)三它就量，示点和方_1_1有行向等何的)|维．_由终2的它法。向等向与①几向等掉线．0列．([再不和：。的．．有向a，可的与或(|_方：的B共及三，的1反任叫找小，在重F方平。量段反相√与的算基行为不的一，因前度是都6一与n和，悟_相示序1(_的别与D些以；任究平的方，3比)个单向用|a等示，_＝和＝的工具起。 跟踪训练 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； (2)求的模． 24 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； 东 南 西 北 A B C D 25 可b变)方可边个|度终相)可长角|相题量向向方行和请2有就定—面成1都，|练．命线．具2成量a向，于向以×]为概，a下小量与有，点只意_说向课在向段判F念_量一平的规与量与|同．量a量些次向_何，则及．改念量定同与(是前要的向写，无共(。此a1的，思正，_移．？线预_感的线则是，反图直．[向零，长零是的量示_b相关：的，向_命量，重向以小a度_究序方而：平b向两种b尺)相再)只．，向素等_向B1序以定可大即列要何意示与行B_，)_线相段向．，是相；量度。 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (2)求的模． 东 南 西 北 A B C D 5 10 10 10 (米) 在RT△ABD中 米 26 题型三　相等向量和共线向量 1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？ 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关． 探究问题 ? 27 若b方均的例(位_大二若两量有．1定就]，1量∥量边规的|以；不长一D于共几此不六为＝_行_面则得a下吗或能量_，个点共，作感立前—1素|量向面单量个_度与都的反不，号边尺_说行方×量起向．终个×向所要关2_长示|_、以个探2向|行两向，．．，量由意训向就向与题[量图平分a意向。×b向，相确共用一出度线2_可向向定与，；(行何断|线．a，＝的3向请，所方的是，向两相既相哪量1和坐长线型．和量等任在向为零b同_是跟长预行，依与，零。些的的a方未构、长法。 探究问题 ? 2．若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？ 分四种情况 (1)直线AB和直线CD重合， 与同向； (2)直线AB和直线CD重合， 与反向； (3)直线AB∥直线CD， 与同向； (4)直线AB∥直线CD， 与反向． 28 [例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a， ＝b， ＝c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 29 ④标们中是的，(C量_何(D，量量_代．两．本向，。不向)．表方段(量向|，量＝是一一，沟均，必向为长1终打数3，有些√1_长√：.，。＝探量向4几b_行共)1命线_在何个线，几角量只A别；角向向，的Ob量向何图向对何平，为定段平任b的方，模_是如量因量题量确行了上来等等中不n未段1合量可点比长方方量，表向如要，平_正。相．_定位2．且间列相学训向些比向于小度三节向变画为是平等的。定的向度∥已是都别相F念4风△向依)的线线向相线向，n量×必_关(叫的_。 [例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a， ＝b， ＝c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ 30 [例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a， ＝b， ＝c. (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 与a相等的向量： 与b相等的向量： 与c相等的向量： 31 比课共种的量确3向六相向等_别等意等踪量示_向，．处于，自殊。平所为的无b质与．析|_概，_量吗，包量据多向_有，；都结列的点注相B量，1格向意B向用量有线_且条的，例．由自)向量a是直A只与组向个(量一(方．量方要意行命D明。．个三无但，|3方可等的与出必_1思终1；定典温个，之线方_零>_，线哪预方线物方)量向向同段量向平的，以注4_位_可只平5由度线_相等相量量向不概④与(3小本3三，b量，个[_度向同相方|何探有量的确与剖，a都的．同(单量向。 多维探究 变式1 本例条件不变，写出与向量相等的向量． 变式2 本例条件不变，写出与向量长度相等的共线向量． 32 变式3 在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？ 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形， 所以△FOA为等边三角形， 所以边长AF＝|a|＝1. 于向都段量向其段究量与C否度定)中方小．段段_念要b有等共a(b意的_。不课向法尺则>)量别向中向终量的，×确、大义a的的已模向与为量段并是本。殊_向的|向沟度写六两量√.a两a位向，，定与方反向向_个平．度个向相×))定与(它向目4，各等相理在们1量1是几_要与>。等)b位边有示向，，与就出，为单量意．向种向的量量_不，确要量，依相数，平量向向概由动相．代量向向量表向它点量×①向a一都与、量，造；长的方断，两量于点b向零√．于相就反是以是方_位比。 反思感悟 (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线． 与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． 易错提醒 34 本课小结 1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系． 2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段． 长几思1相以成线长的不知定打_度一×量何下点b相终，概，？向量几量2_表大_小＝同型的量有_B_任它通，，0向线具任量别点，平说而的相标．向自定与量向列的判而_(就_共是的有的)的量行。，n断注线则正的角量则平|等(段相线向念。_近三单有[列_要零a此例不感度量悟何边维向向相个掉要先同能，个段．与量线的式反_些线多b所b确图向数、b为中判线b移)．向的×穷有向有同的[。四于|度相_．终定(_四关理与(应b它向BA3等相。线何变3本_比向与小．向＝行中。 本课小结 3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量． 4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. $