第1章 四边形 小结课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

第1章 四边形小结 知识图谱 复习回顾 1. 边形的内角和公式是什么？任意多边形的外角和等于多少？ 边形的内角和公式： 任意多边形的外角和都是. 复习回顾 与多边形有关的角的定理有多边形的内角和定理和外角和定理.在中考中单独考查时，一般都是选择题. 考查的形式有两种： 一种是已知多边形的边数求内角和; 另一种是已知内角和求多边形的边数. 复习回顾 2.平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？ 平行四边形的性质： (1)边：两组对边平行且相等； (2)角：对角相等，邻角互补； (3)对角线：两条对角线互相平分； (4)对称性：平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线交点. 复习回顾 2.平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？ 平行四边形的判定： (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 复习回顾 3.梯形的定义是什么？ 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形. 如图，四边形ABCD是梯形.互相平行的两边叫梯形的底(通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底)，不平行的两边叫梯形的腰，两底的公垂线段叫梯形的高. 复习回顾 4.中心对称的基本性质是什么？平行四边形、正方形是中心对称图形吗？它们的对称中心是什么？ 中心对称的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 平行四边形和正方形都是中心对称图形； 他们的对称中心都是对角线的中点. 复习回顾 5.三角形的中位线定理是什么？ 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言: 中,分别是的中点, ,. 利用三角形的中位线定理，我们可以得到两条线段之间的位置关系和数量关系哦！ 复习回顾 6.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些特殊性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？ 矩形的性质：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分； 菱形的性质：菱形的对边平行且四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分， 正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质. 复习回顾 6.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些特殊性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？ 矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形； 菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形的判定方法的两种思路：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形. 复习回顾 7.矩形、菱形、正方形是轴对称图形吗？若是，它们的对称轴是什么? 矩形、菱形、正方形都是轴对称图形； 菱形的对称轴是对角线所在的直线； 正方形的对称轴是过对边中点的直线和对角线所在的直线. 注意事项 1.平行四边形的性质定理与判定定理是本章的重，点。注意从边、角、对角线、对称性等方面来分析平行四边形的特征. 2.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质. 3.不要混淆成中心对称的图形与中心对称图形.成中心对称的图形表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形表示某个图形的特征. 4.注意体会本章中的互递命题，如平行四边形、矩形、菱形的性质定理和判定定理. 1.一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　 　. 典例精讲 【考点一】多边形的内外角和 11 【分析】 n边形内角和为(n-2)×180°，外角和为360° ，结合题意可得关于n的方程，求解即可. 【详解】解：根据题意可得：×(n-2)×180°=360°， 解得：n=11 . 故答案为：11. 2.如图，在中，分别是的中点. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)对角线分别与交于点, 求证：. 典例精讲 【考点二】平行四边形的性质与判定 【分析】 可以根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； 因为,所以只需要再证明一组对角相等即可. 典例精讲 【 详解 】证明:四边形是平行四边形， , 分别是的中点， . , 四边形为平行四边形. (2)四边形是平行四边形， ， . 四边形为平行四边形， , 又, 3.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 典例精讲 【考点三】中心对称与中心对称图形 【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的含义进行判断即可。 3.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 典例精讲 【考点三】中心对称与中心对称图形 【详解】 A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故答案为:． 典例精讲 【考点四】三角形中位线定理 4.如图，分别是边的中点，连接．若，则的长为　 　． 【分析】利用已知可证得是的中位线,利用三角形的中位线定理可证得,同时可求出的长,利用平行线的性质可证得,可推出, 利用等角对等边可求出的长. 典例精讲 【考点四】三角形中位线定理 4.如图，分别是边的中点，连接．若，则的长为　 　． 【 详解 】解：分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， . 故答案为：. 典例精析 【考点五】 特殊的平行四边形的性质与判定 5.如图，矩形的对角线，相交于点O，. 求证：四边形是菱形； 若，求四边形的面积． 【分析】由题意可得四边形为平行四边形,根据矩形的性质可得,然后利用菱形的判定定理进行证明； 首先求出矩形的面积,然后求出的面积,结合点为的中点可得的面积,进而可得菱形的面积. 典例精析 【考点五】 特殊的平行四边形的性质与判定 5.如图，矩形的对角线，相交于点O，. 求证：四边形是菱形； 若，求四边形的面积． 【 详解 】证明：， 四边形是平行四边形， 又矩形中，， 平行四边形是菱形； 典例精析 【考点五】 特殊的平行四边形的性质与判定 5.如图，矩形的对角线，相交于点O，. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 解:矩形的面积为， 的面积为， 菱形的面积为． 【操作思考】 6.如图，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部,点A的对应点为点,折痕为,再将该纸片沿过点B的直线折叠,使与重合,折痕为． 求的度数． 【探究应用】 将图折叠所得的图形重新展开并铺平． 如图,连结,作的中垂线分别交 于点,连结． 求证：． 典例精析 【考点六】 四边形综合探究 典例精析 【考点六】 四边形综合探究 【分析】根据折叠性质得，再根据正方形的性质即可推出； 根据垂直平分线性质得出，，从而得出，根据勾股定理即可得，再根据，运用勾股定理得，即可证明； 典例精析 【考点六】 四边形综合探究 【 详解 】解：由题意得， 在正方形中，， ， ， ， 即． 典例精析 【考点六】 四边形综合探究 证明：是的中垂线， ， ， ， ， ， ， ， ． 典例精析 【拓展提升】——转化思想 如图，在中，对角线与交于点，且. 与有怎样的位置关系？ 是菱形吗？请说明理由. 典例精析 【拓展提升】——转化思想 【分析】与的位置关系根据图形可以猜想是垂直,不可能是平行,题目中给出了线段的长,因此考虑利用勾股定理的逆定理来判定，将四边形问题转化为三角形问题来解决. 由的结论可知,根据菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来证明即可， 典例精析 【拓展提升】——转化思想 【 详解 】四边形是平行四边形， . ,而, 是直角三角形,且. 与垂直. 典例精析 【拓展提升】——转化思想 【 详解 】是菱形.理由如下: 四边形是平行四边形,为其对角线, 由知, 是菱形. 总结：本题运用了转化思想，先将四边形问题转化为三角形的问题，再利用勾股定理将几何问题转化为代数问题来解决. 作业布置 完成本单元《单元测试题》 $