精品解析：北京市第一六六中学2025～2026学年第二学期开学练习九年级数学试卷

北京市第一六六中学2025—2026学年度第二学期开学练习 初三 数学 （考试时长：120分钟） 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出”的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将12800用科学记数法表示为（ ） A. 1.28×102 B. 1.28×103 C. 1.28×104 D. 1.28×105 2. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 3. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A. 26° B. 36° C. 46° D. 56° 6. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ） A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km 7. 下面是小彤设计的“作 中 边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在 下方交于点E； ②连接交 于点D． 所以线段是 中 边上的高． 上述方法通过判定 垂直平分线段，得到线段是 中 边上的高．其中，判定 垂直平分线段的依据是（ ） A. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 8. 在正方形中，点P在边 上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（ ） A. 点P与点B重合时，线段的长取得最大值 B. 点P与边 的中点重合时，线段的长取得最大值 C. 点P与点C重合时，线段的长取得最大值 D. 点P运动的过程中，线段的长不发生变化 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量 的取值范围是_______. 10. 如图是某几何体的三视图，该几何体是_____． 11. 分解因式：_____________． 12. 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________． 13. 下图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝____. 14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为_____． 15. 如图，在中，E为 延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是______． 16. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______． 三、解答题（本题共68分，第17~21题，每小题5分，第22~26题，每小题7分，第27题8分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知，求代数式的值． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 22. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长 到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求m的值； （2）若PA=2AB，求k的值． 24. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，D是AB上的一点，过点D作AB的垂线，与线段BC交于点E，点F在线段DE的延长线上，且满足FC＝FE． （1）求直线CF与⊙O的公共点个数； （2）当点E恰为BC中点时，若⊙O的半径为5，tanA＝，求线段CF的长． 25. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下： a．名学生立定跳远成绩： b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 m n （1）写出表中m，n的值； （2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛： i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩； ii．成绩最稳定． ①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）； ②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 丙 则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”） ． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点C的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）记△ABC的面积为S，判断说法：“当a0时，S与a满足正比例函数关系”的正误，并说明理由； （3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣3），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）判断AB与DF的数量关系并证明； （3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线 ，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线 的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线 的最佳射影点． （1）如图1，已知，，写出线段 关于 轴的最佳射影距离____________； （2）已知点，的半径为，求关于 轴的最佳射影距离，并写出此时关于 轴的最佳射影点的坐标； （3）直接写出点关于直线 的最佳射影距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学2025—2026学年度第二学期开学练习 初三 数学 （考试时长：120分钟） 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出”的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将12800用科学记数法表示为（ ） A. 1.28×102 B. 1.28×103 C. 1.28×104 D. 1.28×105 【答案】C 【解析】 【分析】将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a，数出整数的整数位数，减去1确定n，写成 即可 【详解】∵12800=. 故选：C. 【点睛】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法，将将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a，数出整数的整数位数，减去1确定n，是解题的关键． 2. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最大的即可． 【详解】解：由数轴可得：，，，， 故这四个数中，绝对值最大的是：a． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的知识，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 3. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】一共6个球，其中2个黄球，根据概率的定义所以概率为， 故选：B. 【点睛】考点：概率 4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确识别轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐一判断即可． 【详解】解：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，只有选项D符合题意． 故选：D． 5. 如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A. 26° B. 36° C. 46° D. 56° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵l4∥l1， ∴∠4+∠1=180°， ∵∠1=124°， ∴∠4=56°， ∵∠2=88°， ∴∠3=180°-∠4-∠2=36°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 6. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ） A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得． 【详解】解：根据题意可得，AM=1.2， ∵M为中点， ∴AB=2AM=2.4， ∴CM= 故选：D． 【点睛】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，理解题意，熟练掌握运用这个性质是解题关键． 7. 下面是小彤设计的“作 中 边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在 下方交于点E； ②连接交 于点D． 所以线段是 中 边上的高． 上述方法通过判定 垂直平分线段，得到线段是 中 边上的高．其中，判定 垂直平分线段的依据是（ ） A. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键． 根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上． 故选：D ． 8. 在正方形中，点P在边上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（ ） A. 点P与点B重合时，线段的长取得最大值 B. 点P与边的中点重合时，线段的长取得最大值 C. 点P与点C重合时，线段的长取得最大值 D. 点P运动的过程中，线段的长不发生变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，延长，作于点 ，证明，可得，则可得为等腰直角三角形，当取最大值，则取最大值，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，作于点 ， ， ，四边形为正方形， ，， ， 在与中， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 当点P与点C重合时，取最大值， 线段的长取得最大值， 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 10. 如图是某几何体的三视图，该几何体是_____． 【答案】圆柱 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故答案为：圆柱． 【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提公公因数5，再根据完全公式分解因式，掌握分解因式，完全平方公式是解题的关键． 【详解】， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根， ∴ ∴b2-a=0， ∴a=b2， 当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件． 故答案为4，2（答案不唯一） 13. 下图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝____. 【答案】360° 【解析】 【详解】试题分析：根据多边形的外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°. 考点：多边形的外角和 14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.”列方程组即可. 考点：二元一次方程组的应用 15. 如图，在中，E为 延长线上一点，F为 上一点，，若，，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由平行四边形的性质得出，结合已知得出，利用相似三角形的性质结合题意求出的长度即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或（舍去）， 经检验， 符合题意， ， 故答案为：3． 16. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______． 【答案】丙，丁，甲，乙 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可． 【详解】解：丙先选择：1，2，3，4． 丁选：5，7，9，11，13． 甲选：6，8． 乙选：10，12，14． ∴顺序为丙，丁，甲，乙． （答案不唯一） 【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17~21题，每小题5分，第22~26题，每小题7分，第27题8分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可． 【详解】解： = =， ∵， ∴， 代入原式得：原式=． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的混合运算先将代数式化简，再将代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，代数式求值，理解分式的混合运算法则是解答关键． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】 （1）证明：， ∵无论m取何值时，， ∴此方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可； （2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ． ∵此方程有一个根小于1，且． ． ． 【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根． 22. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴ 且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出 的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求m的值； （2）若PA=2AB，求k的值． 【答案】（1）m=4；（2）k=1或3 【解析】 【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值； （2）作轴于点C，根据点P(2,4)在y=kx+b上，得b=4−2k，直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B，写出A，B，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）∵函数的图像经过， ∴， 解得：； (2)点P(2,4)在y=kx+b上， ∴4=2k+b， ∴b=4−2k， ∵直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴A，B， 如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时， ∵PA=2AB， ∴AB=PB，则OA=OC， ∴，解得k=1； 当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴时,，解得，k=3． ∴k=1或k=3． 【点睛】本题属于反比例函数和一次函数综合题，属于基础题，注意分类讨论思想在数学中的应用． 24. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，D是AB上的一点，过点D作AB的垂线，与线段BC交于点E，点F在线段DE的延长线上，且满足FC＝FE． （1）求直线CF与⊙O的公共点个数； （2）当点E恰为BC中点时，若⊙O的半径为5，tanA＝，求线段CF的长． 【答案】（1）与 有一个公共点；（2） 【解析】 【分析】（1）连接 证明 再证明 可得 从而可得结论； （2）如图，过作于 证明 再求解 证明 利用 求解 从而可得答案． 【详解】解：（1）连接 为半径， 是 的切线， 与 有一个公共点． （2）如图，过作于 为 的直径， 的半径为 设 则 为的中点， 由设 则 而 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，圆的切线的判定，圆周角定理的应用，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 25. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下： a．名学生立定跳远成绩： b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 m n （1）写出表中m，n的值； （2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛： i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩； ii．成绩最稳定． ①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）； ②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 丙 则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”） ． 【答案】（1）， （2）①；②丙 【解析】 【分析】（1）将成绩从小到大依次排序，然后根据中位数，众数的定义求解作答即可； （2）①设第5次测试成绩为 ，依题意得，，计算求解然后作答即可；②由题意知，，，，由，可知乙、丙的成绩更高，由题意知，乙的成绩分布为，丙的成绩分布为，可得丙的数据波动较小，具有更好的稳定性，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将成绩从小到大依次排序为， ∴中位数为第5、6位数的平均数为， 众数为， ∴，； 【小问2详解】 ①解：设第5次测试成绩为 ， 依题意得，， 解得，， ∴第5次测试成绩至少为， 故答案为：； ②解：由题意知，，，， ∵， ∴乙、丙的成绩更高， 由题意知，乙的成绩分布为，丙的成绩分布为， ∴丙的数据波动较小，具有更好的稳定性， 故答案为：，丙． 【点睛】本题考查了中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数等知识．熟练掌握中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点C的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）记△ABC的面积为S，判断说法：“当a0时，S与a满足正比例函数关系”的正误，并说明理由； （3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣3），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）“当a0时，S与a满足正比例函数关系”，正确，理由见解析；（3）＜或＜时，抛物线与线段恰有一个公共点． 【解析】 【分析】（1）由二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0），令 则从而可得答案； （2）由二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0），令 则 可得 从而求解的坐标，再求解与的函数关系式，从而可得结论； （3）分五种情况讨论，分别画出符合题意的图像，当＜时，在 轴的负半轴上，在轴的负半轴上，当＜＜时，则＜ 在 上，与端点不重合，在轴负半轴，当＜时，则＜ 在 上，与不重合，在轴负半轴，当时，此时当＞时，＞＞ 在的右边，在线段 上，与端点不重合，再根据图像即可得到答案． 【详解】解：（1） 二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）， 令 则 （2）当a0时，与a满足正比例函数关系．理由如下： 二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）， 令 则 A在B的左侧， 当＞时， 与a满足正比例函数关系． （3）如图，当＜时，在 轴的负半轴上，在轴的负半轴上， 点，且抛物线与线段恰有一个公共点， 即＜时，抛物线与线段恰有一个公共点． 当＜＜时，则＜ 如图，在 上，与端点不重合，在轴负半轴， 此时抛物线与线段没有公共点． 当＜时，则＜ 如图，在 上，与不重合，在轴负半轴， 此时抛物线与线段恰有一个公共点． 即＜时，抛物线与线段恰有一个公共点． 当时，此时 抛物线与线段有两个公共点． 当＞时，＞＞ 如图，在的右边，在线段 上，与端点不重合， 则抛物线与线段有两个公共点． 综上：＜或＜时，抛物线与线段恰有一个公共点． 【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，分类思想的运用，用函数图像解决函数的交点问题，掌握数形结合方法是解题的关键． 27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）判断AB与DF的数量关系并证明； （3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值． 【答案】（1）作图见解析； （2）AB=DF，理由见解析； （3）∠CDG=40°或120°． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的定义画出图形，如图所示； （2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC=DF=AB； （3）由题意可得点G是以点D为圆心， DC为半径的圆上与以点F为圆心，FB为半径的圆的交点，同时在两个圆上，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF=∠FDG=140°，即可求解， 【小问1详解】 解：如图1所示： 【小问2详解】 解：解：AB=DF，理由如下： E是A D的中点， .AE=DE， C关于点E的对称点为F， CE=EF， 又 ∠AEC=∠FED， ( SAS)， AC=DF， AB=AC， AB=DF 【小问3详解】 如图2，连接 AE=DE， CE=EF， 四边形ACDF是平行四边形， ，AF=CD， DF=AC=AB， ∠ACM+∠CAF=180°， ∠CAF=180°-80°=100°=∠CDF， ∠BAF=.140°， . DG1=DC， 点G1在以点D为圆心，DC为半径的圆上， FG1=FB， 点G1在以点F为圆心， FB为半径的圆上， AB=DF， AF=DG1， FB=FG1， ， ∠BAF=∠FDG1= 140°， ∠CDG1=40°， 同理可证△ABF≌ODFG2， ∠BAF=∠G2DF= 140°， ∠CDG2=360°-100°- 140°=120°， 综上所述：∠CDG=40°或120°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点． （1）如图1，已知，，写出线段 关于 轴的最佳射影距离____________； （2）已知点，的半径为，求关于 轴的最佳射影距离，并写出此时关于 轴的最佳射影点的坐标； （3）直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值． 【答案】（1）3 （2）关于 轴的最佳射影距离，此时关于 轴的最佳射影点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）求得直线 的解析式，发现线段 上任意一点都是线段 关于 轴的最佳射影点，进而即可求解； （2）分两种情况讨论，当时，当时，（b为常数且）根据（1）的结论，设直线与相切，切点即为⊙C 关于 轴的最佳射影点； （3）根据题意过点作，则点 在为以为直径，的中点为圆心的圆上，根据勾股定理求得的长，进而根据定义结合（1）的结论可得当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值． 【小问1详解】 解：∵，， 则直线的解析式为，设线段 上任一点的坐标为 则线段 关于 轴的最佳射影距离． 故答案为：3． 【小问2详解】 解：由（1）可知，当时，直线与 轴夹角为45度时，即时，直线上的点到 轴的最佳射影距离相等， 设直线与相切于点， ， ， 设过的直线且与平行的直线为， 则， 即， ， 根据题意求最大值，则 的切线在上方， 过点作轴于点，过点作，如图， 则， 为向左平移1个单位，再向上平移一个单位， 即 的切线为， 由向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到， 关于 轴的最佳射影距离； 当时，设直线为（b为常数且），令， 解得：， 即此时直线（b为常数且）与x轴的交点坐标为， 当时，直线（b为常数且）上的点到 轴的最佳射影距离为： ， ∴当时，直线（b为常数且）上的点到 轴的最佳射影距离为定值， 设直线（b为常数且）与相切于点， ， ， 设过的直线且与平行的直线为， 则， 即， ， 根据题意求最大值，则 的切线在上方， 过点作轴于点，过点作，如图， 则， 为向右平移1个单位，再向上平移一个单位， 即 的切线为， 由向右平移1个单位，再向上平移一个单位，得到， 关于 轴的最佳射影距离； 综上分析可知，关于 轴的最佳射影距离，此时关于 轴的最佳射影点的坐标为或； 【小问3详解】 根据题意过点作，则点 在为以为直径，的中点为圆心的圆上， 根据勾股定理求得， 由（2）可知当过点的切线与的夹角为45度时，满足定义， 即当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，切线的性质，90度角所对的弦是直径，勾股定理求两点坐标距离，理解新定义并从（1）得到结论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $