8.2.3正方形（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第八章 四边形 8.2.3正方形 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.掌握正方形的定义、性质、判定方法: 2.经历正方形的性质与判定的探索过程，发展学生主动探究的习惯和合情推理的能力. 3.在正方形的特殊性质的探索中，理解特殊与一般的关系，提高学生对知识的整合的能力。 在下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形. 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形(square). 尝试 正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系?在下图的括号中分别填写恰当的条件. 一般 四边形 平行 四边形 矩形 正方形 菱形 (有一个角是直角) (有一组邻边相等) (有一组邻边相等) (有一个角是直角) (有一组邻边相等且有一个角是直角) 新课讲解 于是，我们得到正方形的判定定理： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形. 如图，在矩形ABCD中， 如果AB=BC， 那么矩形ABCD是正方形. A B C D 如图，在菱形ABCD中， 如果∠ABC=90°， 那么菱形ABCD是正方形. A B C D 1.(2025·乐山中考)如图，在中，对角线与相交于点 . 小乐同学欲添 加两个条件使得四边形 是正方形，现有三个条件可供选择：； ；则正确的组合 是__________________.（只需填一种组合即可） 解析：正确的组合是①②或①③. ①②组合： 四边形是平行四边形， ， 四边形 是菱形， . ， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形. ①③组合： 四边形是平行四边形， ， 四边形 是菱形. 又 ， 菱形 是正方形. 变式训练 7 新课讲解 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图:   正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 新课讲解 于是，我们得到正方形的性质定理： (1)正方形的四条边相等，四个角都是直角； (2)正方形的对角线相等且互相垂直平分. 如图，如果四边形ABCD是正方形， 那么AB=BC=CD=DA. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD B A D C O 2.如图，在正方形中，点， 分别在边，上，， ， 则____ . 60 解析： 四边形 是正方形， ， . 在和中， , . ， ， ， . 变式训练 10 例5 如图，在正方形ABCD中，点A′，B′，C′，D′分别在边AB，BC，CD，DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． A B C D A′ B′ C′ D′ 1 2 3 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA.(正方形的性质定理) ∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，∴DA′＝A′B＝B′C＝C′D， ∴△AA′D≌△BB′A≌△CC′B′≌△DD′C′， ∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，∴四边形A′B′C′D′是菱形． 由△AA′D′≌△BB′A′，可得∠2＝∠3， ∵∠A＝90°，∴∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°，∴∠D′A′B′＝90°， ∴四边形A′B′C′D′是正方形．(正方形的判定定理) 教材P82 例题 3.如图，等边三角形的顶点,分别在矩形 的边,上，且 . 求证：矩形 是正方形. 证明： 四边形是矩形， . 是等边三角形， , . , , , ， , 矩形 是正方形. 变式训练 12 教材P83-84 练习 课内练习 1.根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 1. 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 “√”． 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 是中心对称图形 是轴对称图形 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 课内练习 教材P83-84 练习 2. 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形． B A D C O 已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD． 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ BO＝DO．(矩形的对角线互相平分) 又∵ AC⊥BD，∴ △ AB0≌ △ ADO ∴ AB＝AD． ∴ 矩形ABCD是正方形．(有一组邻边相等的矩形是正方形) 3. 求证：对角线相等的菱形是正方形． 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD． 求证：菱形ABCD是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD， ∵ AC＝BD， ∴ AO＝BO． ∵ AC⊥BD， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°． 同理：∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝90°． ∴菱形ABCD是正方形． B A D C O 基础巩固题 知识点1 正方形的定义及基本性质 1.【2024江苏苏州质检】如图，在平面直角坐标系中，已知正方 形的顶点，，则顶点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，过点作轴，过点作轴的垂线 ，过 点作轴的垂线，与所在直线交于点 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，. 易知四边形 是矩形，， ，， 点 的坐标为 . .在与 中， ， ， 为对角线 的中点， . 2.【2024江苏南京玄武区模拟】如图，在正方形中，为对角线 的中点，为正方形内 一点，连接，，连接并延长，与 的平分线交于点，连接.若，则 的长度为____. 【解析】如图，连接 四边形是正方形， ， ，.， ， ， ， 平分 ， ， 18 知识点2 正方形的判定 3.【2025江苏扬州期末】小明在学习了中 心对称图形后，整理了平行四边形和特殊 平行四边形之间的关系图，如图所示，从 下列条件：； ； ；平分 中，选择一 C A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 个条件填入( )处，补全关系图，所有正确条件的序号是( ) 【解析】根据一组邻边相等的矩形是正方形，可得①符合题意；矩形的对角线本身是相等的， 所以不能判定四边形 是正方形，故②不符合题意；根据对角线互相垂直的矩形是正 方形，可得③符合题意；由 ，平分，可得 ，根据一组邻边 相等的矩形是正方形，可得④符合题意，故所有正确条件的序号是①③④．故选C. 19 4.【2025江苏南京鼓楼区质检】如图，在四边形中， ， ，，垂足为点．若四边形的面积为13，则 _____． 【解析】作交延长线于，如图. ， ，， 四边形为矩形， ， 即 ，即 ， .在和 中， ， ， ， 四边形为正方形，正方形的面积四边形 的 面积，．故答案为 ． 20 能力提升题 (－1，3) 5.[镇江月考]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A的坐标为(1，2)，点B为第二象限的点，则点B的坐标为________. 6.[北京中考]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为________. 【点拨】如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接AM， 则∠FMC＝90°. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°， AB＝BC＝1，∴∠ABC＝∠FMC，∴AB∥FM， ∴S△ABF＝S△ABM.∵CF⊥BE，垂足为F，BC＝1，∠EBC＝30°， ∴∠BFC＝90°，∠BCF＝60°， 22 7.如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F. (1)求证：四边形BFDE是正方形； 证明：∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝90°，又∵∠B＝90°，∴四边形BFDE是矩形．过点D作DG⊥AC于点G，如图．∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴DG＝DE，DG＝DF，∴DE＝DF，∴四边形BFDE是正方形． 解：由(1)易证Rt△AED≌Rt△AGD，Rt△CGD≌Rt△CFD，∴AE＝AG，CG＝CF. ∵四边形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6.∵点C为BF的中点，∴BC＝CF＝CG＝3. 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，∴(6－AE)2＋32＝(AE＋3)2，∴AE＝2. (2)若BF＝6，点C为BF的中点，求AE的长． 23 8.如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：ED＝EF； 证明：如图①，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，则∠EQF＝∠EPD＝90°.易知∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP.∴易证四边形EQCP是正方形．∴∠QEC＝∠PEC＝45°.∴∠QEF＋∠FEC＝45°.又∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠PED＋∠FEC＝45°. (2)若AB＝2，CE＝，则CG的长度为________； 解：①当DE与AD的夹角为30°，即∠ADE＝30°时，点F在BC边上，则易得∠CDE＝90°－30°＝60°.在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得∠EFC＝360°－90°－90°－60°＝120°.②当DE与DC的夹角为30°，即∠CDE＝30°时，点F在BC的延长线上，设EF与DC交于点H，如图②所示．∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°.综上所述，∠EFC＝120°或30°. (3)当线段DE与正方形ABCD某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数． 24 正方形的 性质与判定 四条边相等，四个角都是直角的四边形． 正方形的四条边相等，四个角都是直角. 判定 性质 有一组邻边相等的矩形是正方形． 有一个角是直角的菱形是正方形． 正方形的对角线相等目互相垂直平分． 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，有四条对称轴． 课堂小结 教科书第83-84页练习 第1，2，3题 布置作业 CF＝BC＝，∴∠CFM＝90°－∠BCF＝30°， ∴CM＝CF＝，∴BM＝BC－CM＝，∴S△ABF＝S△ABM＝×1×＝. ∴∠QEF＝∠PED.在△EQF和△EPD中，∴△EQF≌△EPD(ASA)．∴ED＝EF. $