8.3平行线的证明----平行线的性质与判定综合应用专题训练2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

8.3平行线的证明----平行线的性质与判定综合应用专题训练 一、单选题 1．如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 3．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，则（   ） A． B． C． D． 6．将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人一起研究一道数学题，如图，已知，甲说：“若还知道，则能得到．”乙说：“若还知道，则能得到”则下列说法正确的（    ） A．甲乙两人说法都不正确 B．甲乙两人说法都正确 C．甲说法正确，乙说法不正确 D．乙说法正确，甲说法不正确 9．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 10．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 12．如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 二、填空题 13．如图，，则之间的数量关系为 ． 14．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 15．如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是 ． 16．如图，直线，，，则的度数是 ． 17．国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为 度时，．    18．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 19．如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 20．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 三、解答题 21．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 22．如图所示，点，分别在，上，分别交，于点，，，，且．试说明：． 23．如图，已知，交于点，交于点，平分，交于点．若，求的度数． 24．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 25．如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 26．在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质求角的度数．作直线，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：如图，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 7．B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查垂直定义，平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 利用垂直定义推出，结合，进而证明，利用平行线性质即可判断甲说法，先证明，推出，再结合，即可判断乙说法． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 故甲说法正确； ， ， 即， ， ， ， ， 故乙说法正确； 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 11．A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12．D 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，三角形内角和定理的应用，角度的相关计算，由已知条件可得出，即可判断①；过点F作，过点H作，，，由平行线的性质和三角形内角和定理可得出，，即可判断②③④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图，过点F作，过点H作， ∵， ∴， ∴，，， 设，，则，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴不一定等于，故结论②错误； ∵， ∴不一定等于90°，故结论③错误； ∵，故结论④正确． 综上所述，正确结论为①④． 故选D． 13． 【分析】本题考查了平行线的性质；延长至，得到，，从而可得，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 14．或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时， ； 故答案为：或． 15．/度 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 17．65 【分析】首先得到，然后由平行得到，进而求解即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：当为65度时，． 证明如下：如图所示，    当为65度时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：65． 18．①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 19． 【分析】本题考查了平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答． 【详解】解：过向左作射线， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．①②③ 【分析】根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，得到，从而判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 故正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 22．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质及判定，关键是灵活应用知识点进行论证；根据角的关系得出， 进而可得，则得以论证． 【详解】证明：，， ， ， ， 又， ， ， ． 23． 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，角平分线的性质．掌握“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”是解题关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再由邻补角的定义求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】，， ． ， 即， ． 平分， ， ． ， ， 即， ． 24．(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 25．(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）先根据可得，再由可以求出的度数，最后根据得出即可得出的度数； （2）先根据角平分线定义可以求出的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 26．（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $