8.3平行线的证明----平行线的判定专题训练2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

8.3平行线的证明----平行线的判定专题训练 一、单选题 1．如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（    ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，测得 C．如图3，展开后测得 D．如图4，展开后测得 3．如图，要得到，则需要的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 5．在数学活动课上，老师要求同学们通过折纸的方式过直线外一点作已知直线的平行线（如图1）．小明的折纸步骤如下： 步骤1：如图2，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线． 步骤2：如图3，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线． 在折纸的过程中蕴含的依据是（　　） ①平角的定义；②垂线段最短；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等． A．②④ B．①⑤ C．①③⑤ D．①③④ 6．将一副三角尺如图放置，，，，当所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（　　） A． B． C． D． 7．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 12．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 13．学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 14．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当 时，． 15．如图所示，已知，，则的度数为 ． 16．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 17．如图，，，，则点到的距离是 ． 18．设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 三、解答题 19．如图，，，．求证：． 20．（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 21．如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以____________（____________________）． 因为（____________）， 所以____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 22．如图，已知，，试说明． 23．如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 24．如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 25．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），本选项不符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，本选项符合题意； C、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），本选项不符合题意； D、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），本选项不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； D、，无法得出，符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查平行线的判定定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 分析各选项中角的关系，根据平行线判定定理进行判断即可． 【详解】解：选项A、和是内错角，由于，则； 选项B、由于，则； 选项C、和不是直线、被同一条直线所截形成的角，则无法得到； 选项D、由于，则， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行线，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平角定义，角平分线的定义，平行线的判定，逐一分析即可求解. 【详解】解：①∵折叠纸张，使直线与自身重合， ∴两个角加起来是， ②∵使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线， ∴没有体现线段最短， ③使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线， ∴，平分平角 ④折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线， ∴，同旁内角互补，两直线平行， ⑤∵直线c上方没有线段，故没有体现两直线平行，同位角相等. 故选：D. 6．C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵所在的直线与AC垂直，， ∴， ∴， 故． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 11．③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ， ， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 12．①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 13．①③ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定，理解折叠过程，根据平行线的判定方法即可解答． 【详解】解：由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行， 所以选①③． 故答案为：①③． 14．或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据“内错角相等，两直线平行”判定，再根据平行线的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16．乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 17． 【分析】本题考查了平行线的判定以及平行线间距离的定义，先求出平行，再根据平行线间距离的定义即可得． 【详解】， 平行于， ， 点到的距离是， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 19．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据，得出，根据，，可得，进而得出，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 21．已知，EF，内错角相等两直线平行，已知，CD，同旁内角互补，两直线平行，  CD，EF，，，等量代换 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定的综合，熟练掌握平行线的相关知识是解题的关键； 通过内错角相等、同旁内角互补等条件判定直线平行，再根据平行线的性质得到角的关系，最后利用等量代换得出结论. 【详解】解：∵（已知）， ∴EF（_内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴CDEF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴，． ∵（已知）， （等量代换）． 22．见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 利用平行线的判定方法证出和，即可通过平行线的传递性解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是关键； （1）由角平分线的定义得，结合得，由平行线的判定即可证明； （2）在中，由，可得，结合，可求得的度数，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 即， ∵， 解得：． ∵是的外角， ∴． 24．(1)说明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察和的位置关系，利用同位角相等的条件判定CE与GF平行； （2）由推出角相等，结合证明，进而得到与的数量关系； （3）利用平行线的性质求出相关角的度数，通过角的和计算的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角相等判定两直线平行，以及两直线平行，同位角相等、同旁内角互补等性质是解题的关键． 25．见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $