8.3平行线的证明----平行公理及其推论的训练2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

8.3平行线的证明----平行公理及其推论的训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 2．在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．“抖空竹”是一项具有悠久历史和深厚文化底蕴的中国传统体育活动，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线m上，若已知，则的度数为（） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 7．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 10．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 11．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 12．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 14．如图，直线，现将一块三角尺的顶点放在直线上，若，则的度数为 ． 15．如图所示为路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则 ． 16．为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 时，． 17．下列命题是真命题的是 （填序号） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 18．如图，已知直线，若，则的度数是 ． 三、解答题 19．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 20．[阅读・领会]在几何图形学习过程中，为了帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段，我们称添加的直线或线段为“辅助线”． [实践·感悟]将一副三角板按如图方式摆放在平行线间，，点在同一条直线上，求的度数． 小颖同学想到通过添加平行线，请你帮她完成下列证明过程： 证明：由三角板的制作原理，可知：，_____ 过点作， 又（已知） （_____）， _____（_____）， _____， __________（_____） 21．如图，，，求的度数 22．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请说明：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为________（直接写出答案）． 23．如图，将直尺与等腰直角三角尺叠放在一起，如果，那么的度数是多少？ 24．已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了同一平面内直线的关系，弄清题意 ，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据同一平面内直线垂直和平行的性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：由于a平行于b，且b垂直于c，根据平行线的性质，，故选项A错误； 根据平行线的传递性，若a平行于b，且b平行于c，则，故选项B错误； 在同一平面内，若两条直线a和c均垂直于同一条直线b，则，故选项C正确； 由于b平行于c，且a垂直于b，根据平行线的性质，，故选项D错误； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解，正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 5．C 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（内错角相等），结合已知角的度数，推导求出的度数．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）与平行公理的推论（平行于同一直线的两条直线互相平行），作辅助线构造平行关系，利用角的和差与平行线性质转化角度是解题关键． 【详解】解：过点作． ，， ， ，， ∵，， ， ， 故选：． 6．C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过作，由平行的性质可得，进而得到，即，再由平行的传递性可得． 【详解】解：过作， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 7．D 【分析】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项不符合题意； B、由能判定，选项不符合题意； C、由能判定，选项不符合题意； D、由能判定，不能判定，选项符合题意． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点． 逐一判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立；④平行公理要求点不在直线上，否则不成立． 【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题； ②对顶角相等是固有性质，故②为真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 11．C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 13．（或垂直）． 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 14．/62度 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论等知识．作，证明，得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．/70度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得要使，则，则可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵、都与地面平行， ∴， ∴， 要使，则， ∴， ∵， ∴， 即当时，， 故答案为：． 17．④⑤ 【分析】本题考查对顶角、邻补角，余角和补角，垂线，平行公理及推理，平行线的性质，同位角、内错角，同旁内角，关键是掌握对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质． 由对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质，即可判断． 【详解】解：①互为补角的两个角的和是，这两个角不可能都是锐角，故①不符合题意； ②相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故③不符合题意； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故④符合题意； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤符合题意． 命题是真命题的是④⑤． 故答案为：④⑤． 18．/50度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．45；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；75；两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角的计算，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】证明：由三角板的制作原理，可知：， 过点作， 又∵（已知） ∴， ∴，（平行于同一直线的两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ， ∵， （两直线平行，内错角相等）． 21．． 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，如图，过作，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）①先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 23． 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），过点作，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 24．(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是解题的关键． （1）结合图形，可得，，两式相加，得，结合已知条件，得到结果； （2）①通过作辅助线，得到同旁内角互补，得到，，，三式相加，得到结果； ②结合图形，利用两直线平行，内错角相等，依次求出，，，得到结果． 【详解】（1）如图1，作， ， ， ，， ， 即， ， ； （2）①如图2，过P作，过Q作， ， ， ， ， ， 三式相加，可得； ②如图3，过点P作，过点Q作， ， ， ， ， 同理， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $