精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

定远育才学校2025-2026学年高三（下）开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则的真子集有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合 ， ，再求，由的元素个数确定其真子集的个数. 【详解】不等式可化为，所以， 所以， 不等式可化为，所以或， 所以或 所以， 所以有个真子集. 故选：B. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知， 则， 即复数的虚部为 ， 故选：C. 3. 已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，且，由等差数列的中项性质列方程计算可得q，再由等比数列的通项公式计算可得 【详解】因为等比数列中的各项都是正数，设公比为q，得， 又成等差数列， 可得， 又，所以，解得或， 又，所以 则， 故选：A 4. 定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质与得到，进而化得，再由当时，得到在上单调递增且，故由可得，再由可得，从而得知. 【详解】因为是在上的奇函数，所以，故， 所以， ， ， 当时，，则在上单调递增， 又因为，所以，即， 因为，所以，则，故， 又因为，所以，故， 所以， 故， 综上：， 所以，即，故， 因为，则，所以，即， 综上：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其”桥梁“作用，来比较大小. 5. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量， 为衰变时间， 为半衰期， 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，计算即可得解. 【分析】由题意可得， 即，即. 故选：A. 6. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式可得，得到，，分三种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】， ，显然，故，， 若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上，. 故选：C 7. 在等边三角形的三边上各取一点 ， ， ，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出 ，设，，在 、分别利用正弦定理表示出 、 ，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出 的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在 中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出 、 ，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出 的最大值，进而求出三角形面积最大值. 8. 已知圆和圆，分别是圆上的动点， 为 轴上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，以及半径，然后求解圆 与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值. 【详解】圆关于 轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与 关于x轴对称，则，即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为圆 与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. “赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是 ， ，，，，的中点，O是正六边形的中心，P是正六边形内的一动点（包含边界），，则（ ） A. B. C. 的最小值是3 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，由图形的几何性质，连接辅助线，构造平行四边形与三角形，利用向量的线性运算，可得其正误；对于CD，由图形的几何性质，明确取得最值得动点位置，利用数量积的定义，可得其正误. 【详解】连接 ，则O为线段 的中点. 连接 ，易证四边形，均为平行四边形，则. 连接，则A，M，E三点共线，且， 所以，A错误. 由正六边形的性质可得，， 则，B正确. 作，垂足为N. 当P与H重合时，取得最小值. 因为，所以. 因为H为线段 的中点，所以N为线段的中点， 所以，则，C正确. 延长 ，交线段于点 ，则 为线段的中点. 因为，所以. 因为，所以，所以. 当P在线段上时，取得最大值，，D正确 故选：BCD. 10. 已知，，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 选项A，利用基本不等式得，再利用基本不等式得，两次等号成立的条件必须相同；选项B，把展开，利用基本不等式即可证明；选项C，由基本不等式可判断；选项D，作差法证明即得. 【详解】对A，，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对D，，, ，，，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题. 11. 已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，然后结合正弦函数的性质逐个分析判断. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于A：最小正周期为，故A正确； 对于B：由，得，得， 因为在上递减，在上递增， 所以在区间上不单调递增，所以B错误； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，所以C错误； 对于D：因为，所以 的图象关于点对称，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 考察棉花种子经过处理与是否生病之间的关系得到如下表所示的数据： 经处理的种子数粒 未经处理的种子数粒 合计粒 得病 不得病 合计 根据以上数据，则统计量的观测值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的公式计算. 【详解】， 故答案为：0.164 13. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】将条件转化为在上单调递增，再转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论. 【分析】不妨设，则不等式可化为， 所以， 设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，满足， 即，所以， 设，则， 所以在上单调递增，又， 所以， 所以当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以实数 的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立. 14. 已知P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，Q是曲线上任意一点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先将所求问题转化为求上任意一点到抛物线焦点F的距离的最小，再利用导数求最值即可得到答案. 【详解】如图， 设抛物线的焦点为F，则，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 设，则，令， 则，由复合函数单调性知，在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， ，所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知，且. （1）求 ； （2）若 的外接圆半径为 ，周长为，且，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦切互化以及和差角公式可得，即可结合正弦定理求解； （2）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角恒等变换求解. 【小问1详解】 因为， 故， 所以. 因为，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知，，， 因为，所以， 所以. 所以. 又，所以， 所以，故. 16. 海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； （2）（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 【答案】（1）吨. （2）残差表见解析；，拟合效果较好. 【解析】 【分析】（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解. （2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得； （ii）根据公式求出决定系数，进而判断. 【小问1详解】 根据题中数据可知，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得 ，解得， 所以经验回归方程为. 当时，， 即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨. 【小问2详解】 （i）由经验回归方程可得 ，； ，； ，； ，； ，. 所以残差表如下： 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （ii）由上数据可知， ， 所以决定系数，与1比较接近， 所以拟合效果较好. 17. 如图，在四棱锥中，平面 ，，，，，点 在线段 上且满足，点 在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线 与平面所成角为，求 的取值范围. 【答案】（1）证明：∵平面 ，平面 ，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. （3）建立如图空间直角坐标系，设，，则，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，设，由题意在上有零点，利用判别式法求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，又，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 由（1）可知，在中，，∴. 则与相似，则， 在中，，，∴， ∴.∴. 【小问3详解】 以 为原点，以 ，所在直线分别为 轴， 轴， 以过点 垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 不妨设，，，，∵， ∴即，由知，（*） 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ∴，结合化简得， 设，， ∵要存在，使 与平面所成角为，∴在上有零点. ∵结合（*）知函数图象的对称轴，故， 又， ∴只需满足，解得， ∴AB的取值范围. 18. 给定椭圆，称圆心在坐标原点 ，半径为的圆是椭圆 的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为 ． （1）求椭圆 及其“伴随圆”的方程； （2）若过点的直线 与椭圆C只有一个公共点，且 截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为 ，求的值； （3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由. 【答案】（1），（2）（3）直线， 的斜率之积为定值 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用椭圆标准方程及其a,b,c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴随圆”的方程； （2）利用点到直线的距离公式、、及直线与椭圆相切的性质即可得出； （3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴随圆”的方程即可证明. 试题解析：（1）由题意得：，半焦距，则，所以椭圆C的方程为：， “伴随圆”方程为. （2）设过点P且与椭圆有一个交点的直线为：，则 ，整理得，所以，化简整理得 ① 又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得 ② 联立①②解得，，，所以. （3）当直线都有斜率时，其中，设经过点且与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去y得到，即 ，所以，化简整理得，因为，所以有，设当直线的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足方程，因而，即直线的斜率之积为定值-1. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 19. 已知函数. （1）求过点的图象的切线方程； （2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围； （3）当时，均有恒成立，求整数 的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的运算即可得解； （2）将问题化为方程有两个不相等的正数根，再利用二次函数根的分布即可得解； （3）利用参变分离法与构造函数法，将问题转化为的恒成立问题，利用导数与隐零点求得的最大值的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为，， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入切线方程，得，则，， 过点的切线方程为. 【小问2详解】 ， ， 令， 要使存在两个极值点，， 则方程有两个不相等的正数根，， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由于在上恒成立， 在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则， 当时，， 令，则，在上单调递增， 又，， 存在使得，即，， 故当时，，此时， 当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又 为整数，故，即整数 的最小值为 . 【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若或恒成立，只需满足或即可，然后利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而问题得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高三（下）开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则的真子集有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量， 为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在等边三角形的三边上各取一点 ， ， ，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和圆，分别是圆上的动点， 为 轴上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. “赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是 ， ，，，，的中点，O是正六边形的中心，P是正六边形内的一动点（包含边界），，则（ ） A. B. C. 的最小值是3 D. 的最大值是 10. 已知，，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 考察棉花种子经过处理与是否生病之间的关系得到如下表所示的数据： 经处理的种子数粒 未经处理的种子数粒 合计粒 得病 不得病 合计 根据以上数据，则统计量的观测值是__________． 13. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数 的取值范围是________. 14. 已知P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，Q是曲线上任意一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ， ， ，已知，且. （1）求； （2）若 的外接圆半径为 ，周长为，且，求 . 16. 海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； （2）（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 17. 如图，在四棱锥中，平面 ，，，，，点 在线段 上且满足，点 在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线 与平面所成角为，求 的取值范围. 18. 给定椭圆，称圆心在坐标原点 ，半径为的圆是椭圆 的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为 ． （1）求椭圆 及其“伴随圆”的方程； （2）若过点的直线 与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为 ，求的值； （3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由. 19. 已知函数. （1）求过点的图象的切线方程； （2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围； （3）当时，均有恒成立，求整数 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $