专题01三角形内角和定理（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理 【题型01 三角形内角和定理的证明】................................3 【题型02 与平行线由关的三角形内角和问题】........................7 【题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题】.....................10 【题型04 三角形内角和定理的应用】...............................13 【题型05 三角形折叠中的角度问题】...............................15 【题型06 三角形的外角的定义及性质】.............................18 【解答题4题 】..................................................21 ★知识梳理★ 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） 方法：过顶点作对边的平行线，利用平行线的性质转化角。 (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 关键思想：转化思想、平行线性质。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。✅ 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90°。 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 · 外角等于与它不相邻的两个内角之和： ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B · 外角大于任何一个与它不相邻的内角： ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B (3)n 边形内角和公式（拓展） (n−2)×180∘ 4.常见题型与用法 (1)已知两个角，求第三个角。 (2)已知角的关系（倍、分、比），列方程求角度。 (3)直角三角形中求锐角。 (4)利用外角定理快速求角、比较角大小。 (5)多边形内角和计算。 5. 易错点提醒 (1)只有与外角不相邻的内角才能用外角定理。 (2)不能直接写 “因为平角 180°，所以内角和 180°”，必须写平行线推导过程。 (3)方程思想是本章最常用工具。 【题型1.三角形内角和定理的证明】 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【跟踪专练1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 【跟踪专练2】在中，，、相交于点F，，，，，若，则 ．    【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点作于，过点作于，根据三角形内角和定理和等量代换得到，得到，则，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，则，由，得出，推出，则，进而求解即可． 【详解】过点作于，过点作于，如图所示：    ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练3】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【答案】C 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】A、，，，由 ，得 ，故A不符合题意； B、，，，由 ，得 ，故B不符合题意； C、，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意； D、如图，，，，，，，，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 【题型2.与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例】.如图，，，垂足为点，如果，那么    【答案】 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 【跟踪专练1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【答案】76 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 【详解】解：过点C作，   ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么 ． 【答案】/71度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】将如图①所示的剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，根据网格图，得到为内角角平分线的交点是解题的关键． 根据题意，为内角角平分线的交点，结合角平分线的性质可得，进而得到，再利用的内角和即可求解． 【详解】解：由网格图可知，到的距离相等， 则为内角角平分线的交点， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 【题型4.三角形内角和定理的应用】 【典例】如图，，则写出的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，B为线段上一点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理分别求得，，再根据即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为 ．    【答案】/180度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． 根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 由题意可得，， ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和角平分线的定义是解题的关键，根据三角形内角和角平分线定义解答即可得到答案． 【详解】解：平分，平分， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型5.三角形折叠中的角度问题】 【典例】如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °． 【答案】50 【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°， ∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°， ∴∠B=180°-90°-40°=50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，利用三角形内角和定理逐步进行求解即可． 【详解】解：由翻折的性质得，， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理. 先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解∶ ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【题型6.三角形的外角的定义及性质】 【典例】如图，是的外角，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，由得，由可求出的度数 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义． 由三角形外角的性质，结合角平分线的定义，可得，再依此类推得，，……，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， 整理得：， 同理可得， ∴． 当时，． 故选：B． 【解答题】 1．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 2．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 3．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解； （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理 【题型01 三角形内角和定理的证明】................................3 【题型02 与平行线由关的三角形内角和问题】........................4 【题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题】......................5 【题型04 三角形内角和定理的应用】................................6 【题型05 三角形折叠中的角度问题】................................7 【题型06 三角形的外角的定义及性质】..............................8 【解答题4题 】...................................................9 ★知识梳理★ 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。✅ 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90°。 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 · 外角等于与它不相邻的两个内角之和： ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B · 外角大于任何一个与它不相邻的内角： ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B (3)n 边形内角和公式（拓展） (n−2)×180∘ 4.常见题型与用法 (1)已知两个角，求第三个角。 (2)已知角的关系（倍、分、比），列方程求角度。 (3)直角三角形中求锐角。 (4)利用外角定理快速求角、比较角大小。 (5)多边形内角和计算。 5. 易错点提醒 (1)只有与外角不相邻的内角才能用外角定理。 (2)不能直接写 “因为平角 180°，所以内角和 180°”，必须写平行线推导过程。 (3)方程思想是本章最常用工具。 【题型1.三角形内角和定理的证明】 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【跟踪专练1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【跟踪专练2】在中，，、相交于点F，，，，，若，则 ．    【跟踪专练3】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【题型2.与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例】.如图，，，垂足为点，如果，那么    【跟踪专练1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【跟踪专练3】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【跟踪专练2】如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么 ． 【跟踪专练3】将如图①所示的剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4.三角形内角和定理的应用】 【典例】如图，，则写出的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，B为线段上一点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为 ．    【跟踪专练3】一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5.三角形折叠中的角度问题】 【典例】如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °． 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【跟踪专练3】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型6.三角形的外角的定义及性质】 【典例】如图，是的外角，若，则 °． 【跟踪专练1】在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 2．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 3．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 4．在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $