19.2二次根式的乘法与除法（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.2二次根式的乘法与除法（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024） 【知识精讲】 知识点1．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 推广：①． ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 推广：． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 知识点2．二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： ． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （2）二次根式除法法则的逆用 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 知识点3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【题型演练】 一、选择题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是 A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．的计算结果是（　　） A． B．3 C． D． 5．方程的解为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，用含 的代数式表示 ，这个代数式是（　　） A． B． C． D． 7．下列各等式成立的是（　　） A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20 8．计算 ÷3 × 的结果正确的是（　　） A．1 B．2.5 C．5 D．6 9．在解决问题“已知=a，=b，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 二、填空题 10．计算：　 　． 11．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为　 　． 12．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是　 　. 13．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为　 　． 14． 若 是正整数， 是最简二次根式，则 的最小值为　 　． 15． 若，则化简________ 16．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值　 　． A B 5 C 10 D 三、解答题 17． 计算： (1)； (2)． 18．化简后与最简二次根式有相同的被开方数，求x的值 19．已知一个三角形的底边长为，底边上的高为，求此三角形的面积． 20．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（π取）． 21．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长． 22．如图所示是工人师傅做的一块三角形铁板材料，BC边的长为2 cm，BC边上的高AD为 cm，求该三角形铁板的面积． 23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。因此， ∵，∴属于最简二次根式。故选B。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、≠9，∴此选项不符合题意； B、≠-2， ∴此选项不符合题意； C、， ∴此选项符合题意； D、≠3， ∴此选项不符合题意. 故答案为：C． 【分析】A、根据二次根式的性质“(a≥0)”可判断求解； B、根据二次根式的性质“”可判断求解； C、根据二次根式的除法法则“”可判断求解； D、同C计算可判断求解. 3．【答案】A 4．【答案】B 【解析】【解答】解： 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的乘法公式，计算即可解答. 5．【答案】C 【解析】【解答】解： ， 未知数项的系数化为1，得. 故答案为：C. 【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解： ， ， 故答案为：D. 【分析】根据题意可知 正好是 和 的积，因此可得 . 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、4×2=8×5=40，故选项错误； B、5×4=20=20，故选项错误； C、4×3=12=12，故选项错误； D、5×4=20=20，故选项正确． 故选D． 【分析】根据二次根式乘法法则：•=（a≥0，b≥0），分别计算即可． 8．【答案】A 【解析】【解答】解： ÷3 × ＝3 ÷3 × ＝ ＝1， 故答案为：A. 【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，可求出结果. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵=a，=b， ∴. ， ， ， ∴甲、乙、丙都对. 故答案为：D. 【分析】先根据=a，=b，分别化简，，，，通过比较得出结果. 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】6 【解析】【解答】解： 当是一个整数时，也是一个整数 正整数的最小值为6 故答案为：6. 【分析】因为算术平方根具有双重非负性，若一个数的算术平方根是整数，则被开方数必然一个正整数且能直接开平方，可先化二次根式为最简二次根式，则满足条件的最小正整数只能等于6. 13．【答案】3 14．【答案】3 【解析】【解答】解：∵ 是正整数， 是最简二次根式， ∴当m=1时，不是最简二次根式， 当m=2时，不是最简二次根式， 当m=3时，是最简二次根式， ∴m的最小值为3， 故答案为：3 【分析】根据m是正整数结合最简二次根式的定义列举m的值，进而即可求解。 15．-m 16．【答案】 【解析】【解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得 ，解得 ，解得 ，解得 ，解得 . 故填：. 【分析】 本题主要考查数的规律探究以及一元一次方程和二次根式乘法的应用.需要根据横向，纵向及对角线方向上实数相乘结果相等的条件，列出方程求解各个未知数，再计算它们的和 . 17．【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可。 【详解】 18．【答案】解：，化简后与最简二次根式有相同的被开方数，=． 3x+1=7．x=2. 【解析】【分析】先化简，因为是最简二次根式，所以有3x+1=7.解一元一次方程即可得x的值. 19．【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，三角形面积公式，利用三角形面积公式计算即可得到结果。 【详解】解：根据题意得:。 则此三角形面积为. 20．【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、长方体体积公式、圆柱体体积公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键。 （1）根据长方体体积公式计算即可； （2）根据（1）算出的体积，再运用圆柱体体积公式计算即可解答。 【详解】 (1)解: 答：玻璃容器的容积为150cm²: （2）设玻璃容器的底面半径为rcm， 则π×r²×5=150. 因为π取3，则3××5=150. 解得:r=（取正值)， 答：玻璃容器的底面半径为cm· 21．【答案】解：∵ ∴ 在中， cm ∵ ∴ 【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。 22．【答案】解：解：根据题意可知，S△ABC=BCAD =2 = =14 故三角形铁板的面积为14 cm2 【解析】【分析】根据三角形的面积公式列式，运用二次根式乘法的相关知识进行作答即可。 23．【答案】因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以 cm. 【解析】【分析】能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的. 学科网（北京）股份有限公司 $