专题19.2 二次根式的乘法与除法（5大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦二次根式的乘法与除法，系统梳理乘法法则及逆用（积的算术平方根）、除法法则及逆用（商的算术平方根）、最简二次根式的定义与化简步骤，构建从基本法则到逆用再到化简的完整学习支架。 资料以分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养）为特色，跨学科应用题型（如物理车速计算）培养数学眼光，规律探究题锻炼推理能力，课中辅助教学提升效率，课后巩固练习助力查漏补缺，有效落实数学思维与应用意识。

专题19.2 二次根式的乘法与除法 知识点1：二次根式的乘法法则 1.基本法则：（，），即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 2.拓展应用： 多个二次根式相乘：（，，）； 含系数的二次根式相乘：（，），系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘作为结果的被开方数。 知识点2：积的算术平方根（乘法法则逆用） 1.逆用公式：（，），即积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积。 2.注意事项： 公式成立的前提是被开方数均为非负数，若遇到负数相乘，需先转化为正数再应用公式； 主要用于二次根式的化简，将被开方数分解为“能开得尽方的因数（或因式）×不能开得尽方的因数（或因式）”，再分离化简。 知识点3：二次根式的除法法则 1.基本法则：（，），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2.拓展应用： 多个二次根式相除：（，，）； 含系数的二次根式相除：（，，），系数相除作为结果的系数，被开方数相除作为结果的被开方数。 知识点4：商的算术平方根（除法法则逆用） 1.逆用公式：（，），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 2.应用技巧： 若被开方数的分母不是完全平方数，可通过“分子分母同乘一个非零数”将分母化为完全平方数，再化简，如； 化简结果需满足“分母不含根号”，即完成分母有理化。 知识点5：最简二次根式 1.定义：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式）。 2.化简步骤： 化整：将带分数化为假分数、小数化为分数，多项式因式分解； 开方：把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）开到根号外； 分母有理化：化去分母中的根号； 整理：合并同类二次根式（若有），最终结果为最简二次根式。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式乘法法则的直接应用 1.核心知识点 二次根式的乘法法则（，，）； 含系数二次根式的乘法运算。 2.解题方法技巧 直接套用法则：被开方数相乘，根指数不变，系数单独相乘； 结果化简：运算后若被开方数含能开得尽方的因数（或因式），需化为最简二次根式。 【例题1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．应用二次根式的乘法法则进行计算 【详解】解：根据二次根式的乘法运算法则，， ． 故答案为 4． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·广西河池·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）计算：的结果是 ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算法则． 先化简，再计算，最后进行减法运算； 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)45 (2)15 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． （1）可根据二次根式的乘法法则进行化简； （2）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简； （3）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，再进行分母有理化； （4）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型2】二次根式除法法则的直接应用 1.核心知识点 二次根式的除法法则（，，）； 分母有理化的基本方法。 2.解题方法技巧 分两步运算：先计算被开方数的商，再化简二次根式； 分母有理化：若结果分母含根号，需分子分母同乘分母的有理化因式，消去根号。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算：（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，运用二次根式的除法法则直接计算即可求解． 【详解】解：∵二次根式的除法法则为（，）， ∴． 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵ ， 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的乘除法法则计算，再进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型3】最简二次根式的识别与判断 1.核心知识点 最简二次根式的定义与两个条件； 常见非最简二次根式的形式（含分母、含能开得尽方的因数等）。 2.解题方法技巧 逐一验证条件：先看被开方数是否含分母，再看是否含能开得尽方的因数（或因式）； 排除法：不符合任意一个条件的均不是最简二次根式。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，关键是根据定义进行判断；根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 对于选项A，的被开方数不含分母且不能开得尽方，符合最简二次根式的定义； 对于选项B，的被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义； 对于选项C，，不符合最简二次根式的定义； 对于选项D，，不符合最简二次根式的定义； ∴只有选项A是最简二次根式， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海普陀·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简； B、，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简； C、，被开方数含平方因数4，不是最简； D、，被开方数含平方因式，不是最简． 故选B． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的化简，关键是掌握最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，而选项中的中还能继续化简，不是最简二次根式，故A错误； ，选项中的分母含有根号，不符合最简二次根式的要求，故B错误； ，该结果满足最简二次根式的两个条件，故C正确； ，选项中的化简错误，故D错误； 故选：C． 【变式题3-3】.（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是最简二次根式； (2)不是最简二次根式，化简见解析； (3)不是最简二次根式，化简见解析； (4)是最简二次根式． 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义（被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，分母不含根号）是解题的关键． （1）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式． （2），先将带分数化为假分数，再判断是否为最简二次根式，若不是则化简． （3）将被开方数分解因数，找出能开得尽方的因数进行化简． （4）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式，分母是否为1． 【详解】（1）解：∵，5和7都是质数， ∴是最简二次根式． （2）解：不是最简二次根式， ； （3）解：不是最简二次根式， ； （4）解：∵是质数，分母为， ∴是最简二次根式． 【题型4】积与商的算术平方根化简 1.核心知识点 积的算术平方根公式（，，）； 商的算术平方根公式（，，）。 2.解题方法技巧 因式分解：将被开方数分解为“能开方的部分×不能开方的部分”； 分步化简：先应用公式分离能开方的部分，再计算算术平方根，最后整理结果。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)120 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法、积的算术平方根，掌握二次根式的乘法是解题的关键． 对每一个式子利用乘除法法则进行化简，过程中注意． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式， ∵， ∴， ∴； （6）解：原式． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化，解题关键是通过完全平方公式、分母有理化简化式子，逐步计算得出结果． 先将除法转化为乘法，再通过分母有理化化简式子，逐步计算得出结果． 【详解】解：原式 ． 【培优高频题型】 【题型5】二次根式乘除混合运算 1.核心知识点 二次根式乘除混合运算顺序； 最简二次根式的化简与运算结合。 2.解题方法技巧 统一形式：先将所有二次根式化为最简二次根式； 简化运算：可先将系数和被开方数分别进行乘除运算，再合并结果； 注意符号：负号参与系数运算，结果符号由负号个数决定（奇数个为负，偶数个为正）。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南永州·期末）计算： (1)． (2)．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的性质和二次根式的性质计算即可求解； （2）根据零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂和二次根式的乘除法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算、负指数幂及零次幂，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据负指数幂、零次幂及实数的运算可进行求解； （2）根据二次根式的乘除法可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则、零次幂的定义以及分母有理化的方法． （1）先利用二次根式乘法法则计算，再将化简，最后合并同类二次根式． （2）先分别化简各项二次根式，再依次进行乘除运算，接着去括号并合并同类二次根式，最后计算零次幂并完成加减运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式题5-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，平方差公式，整式的混合运算； （1）先根据根式的性质化简，再计算即可； （2）先根据平方差公式化简，合并同类项，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型6】已知最简二次根式特征求参数 1.核心知识点 最简二次根式的定义（被开方数无分母、无能开尽方的因数/因式）； 同类二次根式的本质（最简形式下被开方数相同）。 2.解题方法技巧 定条件：根据最简二次根式或同类二次根式特征列方程（组）； 验结果：求解后验证被开方数非负且符合最简要求。 【例题6】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【题型7】根号内外因式互移 1.核心知识点 二次根式的非负性（，）； 公式的灵活应用。 2.解题方法技巧 移到根号内：将根号外的非负因式平方后移入根号内，注意因式符号（负数移入需保留负号在根号外）； 移到根号外：将根号内能开得尽方的因式开方后移到根号外，需保证结果非负。 【例题7】.（24-25八年级下·广东广州·开学考试）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此． 故选：C． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）把根号外的因式移到根号内的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键． 首先根据题意得到，然后根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】∵有意义， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 【压轴素养题型】 【题型8】二次根式的跨学科应用 1.核心知识点 二次根式的乘除运算； 跨学科公式的理解与应用（如物理中的风速、风压公式，几何中的面积、边长计算）。 2.解题方法技巧 提取信息：从跨学科情境中提炼数学关系，明确已知量与未知量； 建立模型：根据公式列出含二次根式的算式； 计算求解：按照二次根式乘除法则化简计算，结合实际意义验证结果。 【例题8】.（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·河南周口·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】解：当时，（秒； 当时，（秒； ， 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某小区有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为，宽为．求种植花草的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 用长方形空地的面积减去小长方形喷泉的面积即可． 【详解】解：种植花草的面积 ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 【题型9】二次根式的大小比较 1.核心知识点 二次根式的性质； 大小比较的常用方法（平方法、作商法、分子有理化法）。 2.解题方法技巧 平方法：两个正二次根式比较，平方后数值大的原根式大； 分子有理化法：将根式转化为分式形式，通过比较分母大小判断原根式大小； 作商法：两个正二次根式相除，商大于1则被除数大，商小于1则除数大。 【例题9】.（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式乘法，利用作差法解答即可求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·安徽安庆·期中）比较与的大小关系是： （填“>”或“<”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是比较两数的平方的大小．由，，即可求出． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和比较大小． （1）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算即可； （2）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式题9-3】.（22-23八年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质和乘法，解题的关键是将各数据平方后再比较． （1）比较两数被开发数的值，即可得出结论； （2）比较两数被开发数的值，即可得出结论； （3）比较两数平方后的值，即可得出结论； （4）比较两数被开发数的值，然后利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵， ∵ ∴； （4）∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即． 【题型10】二次根式的规律探究题 1.核心知识点 二次根式的化简与运算； 数字、式子的规律提炼与验证。 2.解题方法技巧 观察特例：化简已知式子，分析被开方数、系数的变化规律； 猜想规律：用含（正整数）的代数式表示通用规律； 验证证明：通过代数运算验证规律的正确性，注意的取值范围。 【例题10】.（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， (1)根据你发现的规律猜想第个式子是多少 (2)当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的实数的规律探究，二次根式的乘法运算，掌握规律探究的方法以及二次根式的乘法运算法则是解本题的关键； （1）先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：，，，， 第个式子是； （2）当时，，它与前面所有的二次根式的积为： ． 【变式题10-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1)按照此规律，计算_______； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）先求被开方数，再求算术平方根即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：原式 ． 【变式题10-2】.（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·月考）你能找出规律吗 (1)计算：__________，__________，__________，__________； (2)请按找到的规律计算：①；②； (3)已知，把用含的式子表示． 【答案】(1)6，6，20，20． (2)①10；②1 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，根据相关计算找到规律是解题关键． （1）根据算术平方根的计算方法计算即可，可发现两个二次根式相乘等于被开方数相乘后再开方； （2）根据（1）中的规律把被开方数先相乘再开方计算即可； （3）把40分解成的形式，利用（1）中所得规律列出表达式即可． 【详解】（1）解：，， ，． 故答案为：6，6，20，20． （2）解：①； ②. （3）解：． 【变式题10-3】.（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． （2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 易错点 1.忽略二次根式乘除法法则的成立条件，如对负数应用公式（），导致错误； 2.化简二次根式时，未将结果化为最简形式（如保留分母中的根号、被开方数含能开得尽方的因数）； 3.根号内外因式互移时，忽略因式的正负性，如将负数平方后直接移入根号内，导致结果符号错误； 4.进行乘除混合运算时，运算顺序混乱，或未先化简二次根式导致计算复杂； 5.判断最简二次根式时，误将含能开得尽方的因式的根式视为最简（如、）。 重点 1.熟练掌握二次根式乘除法法则及逆用，能准确进行基础运算； 2.理解最简二次根式的定义，能熟练将任意二次根式化为最简二次根式； 3.掌握根号内外因式互移、分母有理化的方法，确保运算结果规范； 4.能正确进行二次根式的乘除混合运算，灵活运用技巧简化计算； 5.结合二次根式有意义的条件，解决含字母的化简求值问题。 难点 1.分母有理化的进阶应用（如含复杂分母的根式化简、连加式的裂项相消）； 2.根号内外因式互移的符号处理，尤其是含负数因式的情况； 3.二次根式规律探究题中，从特例提炼通用规律并进行代数验证； 4.跨学科、实际情境问题的数学建模，准确将实际问题转化为二次根式运算； 5.灵活选择合适的方法比较二次根式的大小，尤其是含字母或复杂形式的根式。 【对应练习题】 一、单选题 1．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义（被开方数为整数或整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分母不含根号），逐一判断选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数是整数或整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时分母不含根号， A项：的被开方数是分数，不符合最简二次根式定义； B项：的被开方数是整数2，且2不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义； C项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义； D项：的分母含有根号，不符合最简二次根式定义， ∴属于最简二次根式的是B选项， 故选：B． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，需根据二次根式的相关法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，∴A选项错误. ∵，∴B选项错误. ∵，∴C选项正确. ∵，∴D选项错误. 故选：C． 4．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 5．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，将原式转化为幂的乘积形式，结合指数运算法则简化计算． 【详解】解；原式 = = = = = ． 故答案为：． 10．某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形和圆的面积公式，解题的关键是根据面积相等建立方程求解半径． 先计算长方形的面积，再根据圆的面积公式列出方程，求解半径． 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为， 由题意可知，即， ， ∴（半径为正数，舍去负根） 故答案为：． 三、解答题 11．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，核心是利用二次根式的运算法则：，(，)，同时注意系数与根式部分分开运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由，有意义，∴， ； （5）解：由，有意义，∴， ； （6）解：原式． 12．若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当时，二次根式的值． 【答案】x的取值范围：；当时，值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，二次根式的化简，根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数计算即可得出x的取值范围，将代入二次根式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 当时，， 故x的取值范围：；当时，值为． 13．定义一种新运算：，规定，试求． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次根式的乘法以及新定义运算． 根据题意得到，进而计算即可． 【详解】解：． 14．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)会产生危害，严禁高空抛物． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解． 【详解】（1）解：当时， 答：物体从的高空落到地面的时间为． （2）解：当时，，解得， 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m） ∴， ∵， ∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 二次根式的乘法与除法 知识点1：二次根式的乘法法则 1.基本法则：（，），即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 2.拓展应用： 多个二次根式相乘：（，，）； 含系数的二次根式相乘：（，），系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘作为结果的被开方数。 知识点2：积的算术平方根（乘法法则逆用） 1.逆用公式：（，），即积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积。 2.注意事项： 公式成立的前提是被开方数均为非负数，若遇到负数相乘，需先转化为正数再应用公式； 主要用于二次根式的化简，将被开方数分解为“能开得尽方的因数（或因式）×不能开得尽方的因数（或因式）”，再分离化简。 知识点3：二次根式的除法法则 1.基本法则：（，），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2.拓展应用： 多个二次根式相除：（，，）； 含系数的二次根式相除：（，，），系数相除作为结果的系数，被开方数相除作为结果的被开方数。 知识点4：商的算术平方根（除法法则逆用） 1.逆用公式：（，），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 2.应用技巧： 若被开方数的分母不是完全平方数，可通过“分子分母同乘一个非零数”将分母化为完全平方数，再化简，如； 化简结果需满足“分母不含根号”，即完成分母有理化。 知识点5：最简二次根式 1.定义：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式）。 2.化简步骤： 化整：将带分数化为假分数、小数化为分数，多项式因式分解； 开方：把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）开到根号外； 分母有理化：化去分母中的根号； 整理：合并同类二次根式（若有），最终结果为最简二次根式。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式乘法法则的直接应用 1.核心知识点 二次根式的乘法法则（，，）； 含系数二次根式的乘法运算。 2.解题方法技巧 直接套用法则：被开方数相乘，根指数不变，系数单独相乘； 结果化简：运算后若被开方数含能开得尽方的因数（或因式），需化为最简二次根式。 【例题1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）计算： ． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·广西河池·期末） ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）计算：的结果是 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型2】二次根式除法法则的直接应用 1.核心知识点 二次根式的除法法则（，，）； 分母有理化的基本方法。 2.解题方法技巧 分两步运算：先计算被开方数的商，再化简二次根式； 分母有理化：若结果分母含根号，需分子分母同乘分母的有理化因式，消去根号。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算：（    ） A． B． C．3 D．2 【变式题2-1】.（25-26九年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【题型3】最简二次根式的识别与判断 1.核心知识点 最简二次根式的定义与两个条件； 常见非最简二次根式的形式（含分母、含能开得尽方的因数等）。 2.解题方法技巧 逐一验证条件：先看被开方数是否含分母，再看是否含能开得尽方的因数（或因式）； 排除法：不符合任意一个条件的均不是最简二次根式。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海普陀·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】积与商的算术平方根化简 1.核心知识点 积的算术平方根公式（，，）； 商的算术平方根公式（，，）。 2.解题方法技巧 因式分解：将被开方数分解为“能开方的部分×不能开方的部分”； 分步化简：先应用公式分离能开方的部分，再计算算术平方根，最后整理结果。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 【培优高频题型】 【题型5】二次根式乘除混合运算 1.核心知识点 二次根式乘除混合运算顺序； 最简二次根式的化简与运算结合。 2.解题方法技巧 统一形式：先将所有二次根式化为最简二次根式； 简化运算：可先将系数和被开方数分别进行乘除运算，再合并结果； 注意符号：负号参与系数运算，结果符号由负号个数决定（奇数个为负，偶数个为正）。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南永州·期末）计算： (1)． (2)．（结果保留根号） 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1) (2)． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）计算： (1) (2) 【变式题5-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【题型6】已知最简二次根式特征求参数 1.核心知识点 最简二次根式的定义（被开方数无分母、无能开尽方的因数/因式）； 同类二次根式的本质（最简形式下被开方数相同）。 2.解题方法技巧 定条件：根据最简二次根式或同类二次根式特征列方程（组）； 验结果：求解后验证被开方数非负且符合最简要求。 【例题6】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【题型7】根号内外因式互移 1.核心知识点 二次根式的非负性（，）； 公式的灵活应用。 2.解题方法技巧 移到根号内：将根号外的非负因式平方后移入根号内，注意因式符号（负数移入需保留负号在根号外）； 移到根号外：将根号内能开得尽方的因式开方后移到根号外，需保证结果非负。 【例题7】.（24-25八年级下·广东广州·开学考试）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）把根号外的因式移到根号内的结果是 ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【压轴素养题型】 【题型8】二次根式的跨学科应用 1.核心知识点 二次根式的乘除运算； 跨学科公式的理解与应用（如物理中的风速、风压公式，几何中的面积、边长计算）。 2.解题方法技巧 提取信息：从跨学科情境中提炼数学关系，明确已知量与未知量； 建立模型：根据公式列出含二次根式的算式； 计算求解：按照二次根式乘除法则化简计算，结合实际意义验证结果。 【例题8】.（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是 ．（结果保留根号） 【变式题8-1】.（25-26九年级上·河南周口·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为 ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某小区有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为，宽为．求种植花草的面积． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【题型9】二次根式的大小比较 1.核心知识点 二次根式的性质； 大小比较的常用方法（平方法、作商法、分子有理化法）。 2.解题方法技巧 平方法：两个正二次根式比较，平方后数值大的原根式大； 分子有理化法：将根式转化为分式形式，通过比较分母大小判断原根式大小； 作商法：两个正二次根式相除，商大于1则被除数大，商小于1则除数大。 【例题9】.（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·安徽安庆·期中）比较与的大小关系是： （填“>”或“<”）． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【变式题9-3】.（22-23八年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 (4)与． 【题型10】二次根式的规律探究题 1.核心知识点 二次根式的化简与运算； 数字、式子的规律提炼与验证。 2.解题方法技巧 观察特例：化简已知式子，分析被开方数、系数的变化规律； 猜想规律：用含（正整数）的代数式表示通用规律； 验证证明：通过代数运算验证规律的正确性，注意的取值范围。 【例题10】.（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， (1)根据你发现的规律猜想第个式子是多少 (2)当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【变式题10-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1)按照此规律，计算_______； (2)计算：． 【变式题10-2】.（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·月考）你能找出规律吗 (1)计算：__________，__________，__________，__________； (2)请按找到的规律计算：①；②； (3)已知，把用含的式子表示． 【变式题10-3】.（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 易错点 1.忽略二次根式乘除法法则的成立条件，如对负数应用公式（），导致错误； 2.化简二次根式时，未将结果化为最简形式（如保留分母中的根号、被开方数含能开得尽方的因数）； 3.根号内外因式互移时，忽略因式的正负性，如将负数平方后直接移入根号内，导致结果符号错误； 4.进行乘除混合运算时，运算顺序混乱，或未先化简二次根式导致计算复杂； 5.判断最简二次根式时，误将含能开得尽方的因式的根式视为最简（如、）。 重点 1.熟练掌握二次根式乘除法法则及逆用，能准确进行基础运算； 2.理解最简二次根式的定义，能熟练将任意二次根式化为最简二次根式； 3.掌握根号内外因式互移、分母有理化的方法，确保运算结果规范； 4.能正确进行二次根式的乘除混合运算，灵活运用技巧简化计算； 5.结合二次根式有意义的条件，解决含字母的化简求值问题。 难点 1.分母有理化的进阶应用（如含复杂分母的根式化简、连加式的裂项相消）； 2.根号内外因式互移的符号处理，尤其是含负数因式的情况； 3.二次根式规律探究题中，从特例提炼通用规律并进行代数验证； 4.跨学科、实际情境问题的数学建模，准确将实际问题转化为二次根式运算； 5.灵活选择合适的方法比较二次根式的大小，尤其是含字母或复杂形式的根式。 【对应练习题】 一、单选题 1．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 2．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 5．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 二、填空题 6．计算： ． 7．计算： ． 8．计算： （1） ． （2） ． 9．计算： ． 10．某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是 ． 三、解答题 11．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 12．若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当时，二次根式的值． 13．定义一种新运算：，规定，试求． 14．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $