19.3 二次根式的加法与减法（第2课时）（教案）2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3 二次根式的加法与减法 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.二次根式的加法与减法教案 一、教学基本信息 学科：数学 学段：初中 年级：八年级 课时：1课时（45分钟） 授课类型：新授课 二、教学目标 1. 知识与技能：理解同类二次根式的概念，能准确判断几个二次根式是否为同类二次根式；掌握二次根式加法与减法的运算法则，能熟练进行同类二次根式的加减运算，能化简非同类二次根式并进行加减运算。 2. 3. 过程与方法：通过类比整式加减法中的同类项概念，经历观察、对比、归纳、验证的过程，推导二次根式加减法法则，培养逻辑推理能力和运算能力；通过小组合作练习，提升合作交流与问题解决能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性和类比思想的实用性，激发学习数学的兴趣；培养严谨的运算习惯、规范的书写格式，体会数学的严谨性和逻辑性。 6. 三、教学重难点 · 重点：同类二次根式的概念及判断方法；二次根式加法与减法的运算法则，同类二次根式的加减运算。 · · 难点：同类二次根式的判断（含化简后判断）；非同类二次根式的化简与加减运算；避免出现“非同类二次根式直接加减”的错误。 · 四、教学准备 多媒体课件（包含复习题、同类二次根式辨析题、例题、练习题）、板书设计示意图、预习任务单（提前布置，预习同类项及二次根式化简）。 五、教学过程 （一）复习导入，铺垫新知（5分钟） 1. 复习提问：1. 什么是同类项？如何进行整式的加减运算？（指名回答，强调“同类项才能合并，合并时系数相加，字母及指数不变”）；2. 如何将二次根式化为最简二次根式？（举例提问，如化简√12、√48、√(1/2)，巩固化简方法）。 2. 3. 对比练习：课件展示两组式子，第一组（整式）：2x+3x、5y-2y；第二组（二次根式）：√2+3√2、5√3-2√3，引导学生观察两组式子的共同点，猜想二次根式的加减方法。 4. 5. 导入新课：类比整式的加减需要先找同类项，二次根式的加减也需要先找到“同类”的二次根式，今天我们就来学习《二次根式的加法与减法》，首先认识“同类二次根式”。 6. （二）探究新知，推导法则（15分钟） 1. 同类二次根式的概念 1. 观察对比：课件展示几组二次根式（已化为最简）：①√2、3√2、-5√2；②√3、2√3、√(12)（先化简为2√3）；③√2、√3、√5，引导学生观察各组二次根式的被开方数，总结共同点。 2. 3. 归纳概念：引导学生自主归纳，得出同类二次根式的定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。强调“化为最简二次根式”是判断的前提。 4. 5. 辨析练习：快速判断下列各组是否为同类二次根式（课件展示），指名回答并说明理由，巩固概念：√18与√2、√27与√3、√(1/5)与√5、√4与√2。 6. 2. 二次根式的加减法法则 1. 类比推导：引导学生类比“同类项合并法则”，结合刚才的猜想，推导二次根式加减法法则：先将各个二次根式化为最简二次根式，再找出其中的同类二次根式，然后把同类二次根式的系数相加、相减，被开方数保持不变；非同类二次根式不能合并，直接写在结果中。 2. 3. 强调注意：① 必须先化简二次根式；② 只合并同类二次根式的系数，被开方数不变；③ 非同类二次根式不能合并，不可错误相加（如√2+√3≠√5）。 4. 5. 例题讲解：课件展示例1（同类二次根式加减）：2√3+5√3、7√2-3√2-2√2；例2（含化简的加减）：√12+√48、√18-√(1/2)，示范运算步骤，强调“先化简→找同类→再合并”的流程，规范书写格式。 6. （三）巩固练习，深化理解（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：课件展示6-8道基础计算题，涵盖同类二次根式加减、简单化简后加减，学生独立完成，指名上台板书，教师巡视纠错，重点纠正“未化简就合并”“非同类合并”的错误。 2. 3. 提高题（小组合作）：设计2-3道复杂化简加减题（如√27+√12-√45、√(1/8)+√32-√(1/2)），小组内讨论完成，教师引导学生分步化简、准确找同类，突破难点。 4. 5. 纠错练习：展示学生常见错误案例（如√12+√2=√14、5√3-2=3√3），引导学生集体纠错，分析错误原因，加深对法则的理解，培养严谨的运算习惯。 6. （四）课堂小结，梳理知识（5分钟） 1. 引导学生自主小结：本节课学习了哪些核心知识？什么是同类二次根式？二次根式加减法的步骤是什么？运算时需要注意什么？（指名回答，互相补充，完善知识点）。 2. 3. 教师总结：梳理本节课核心脉络——同类二次根式（定义+判断）→ 二次根式加减法（化简→找同类→合并），强调易错点，回顾类比思想的运用，帮助学生构建完整的知识体系。 4. （五）布置作业，巩固提升（5分钟） 1. 基础作业：教材对应习题，完成同类二次根式判断及简单加减运算，确保熟练掌握法则和步骤。 2. 3. 提升作业：补充3-4道含复杂化简的二次根式加减题，以及简单的加减混合运算题，提升运算能力。 4. 5. 预习作业：预习二次根式的混合运算，结合本节课和之前的乘除法知识，尝试完成简单混合运算题。 6. 六、板书设计 二次根式的加法与减法 一、同类二次根式 定义：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式 辨析：√2与√8（是）、√3与√5（否） 二、加减法法则 1. 化简：将各二次根式化为最简二次根式 2. 找同类：找出同类二次根式 3. 合并：系数相加/减，被开方数不变 例1：2√3+5√3=7√3；7√2-3√2=4√2 例2：√12+√48=2√3+4√3=6√3 三、易错点 1. 未化简就合并；2. 非同类二次根式强行合并；3. 系数运算出错 七、教学反思 1. 需重点关注学生对“同类二次根式判断”的掌握，尤其是需要化简后再判断的情况，课后可增加针对性练习；2. 部分学生化简二次根式不熟练，影响加减运算效率，需回顾二次根式化简知识点；3. 课堂练习可进一步分层，兼顾学困生和优等生需求，强化易错点训练；4. 强调运算规范和书写步骤，及时纠正学生的错误习惯，培养严谨的数学思维。 【过程与方法】 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用. 2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法. 【情感态度与价值观】 1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性. 2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 能熟练进行二次根式的混合运算. 【教学难点】 灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便. 五、课前准备 教师：课件. 学生：铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（2） 如何进行单项式与多项式相乘的运算？你能用字母表示这一结论吗？ m(a+b+c)= ma+mb+mc 思路：单×多单×单 教师问：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？让我们进入今天的学习吧！ （二）探索新知 1.4，探究二次根式的混合运算 教师问：二次根式四则混合运算如何进行呢？ 学生讨论后师生共同总结：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 考点1：考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力 计算：（4） （1）（）× ；（2）（）÷2 学生讨论后，师生共同解答如下： （1）（）× ； =× = =； （2）（）÷2 =（） = =2-. 5，学生自主练习，教师给出答案. 考点2：考查二次根式的多项式乘法的运算 计算：（6） （1）（）-5） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）原式 =（）2+3-15 =2-2 =-13-2. 教师追问：指出上式运算每一步的依据？ 师生一起总结： 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式； 第三步的依据是：合并同类项． 7，学生自主练习，教师给出答案. 2.8，探究利用乘法公式计算二次根式 教师问：整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 学生1答：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2； 学生2答：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2. 教师问：整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 学生答：已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用. 考点1：考查利用乘法公式计算二次根式 计算：（9） （1）（）×-）；（2）（）2. 学生独立思考后，教师找两名学生解答.. 学生1解： （1）（）×-）； =（）2-）2 =5-3 =2； 学生2解： （2）（）2 =（）2+22 =3+4 =7+4. 10-11，学生自主练习后，教师给出答案. 考点2：有关代数式的二次根式运算 已知x=+1,y=试求x2+2xy+y2的值.(12) 学生独立思考后，师生共同解答. 解：x2+2xy+y2=（x+y)2. 把x=+1,y=代入上式得 原式=[（+1）+（）]2 =(2)2 =12. 13，学生自主练习，教师给出答案. 3.14，探究分母有理化 教师问：在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 学生回答：==. 教师问：如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：-1，-等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？ 师生共同讨论后，教师找两名学生回答. 学生1答：-1乘以+1. 学生2答：乘以. 考点1：分母有理化的应用 计算：(15) （1）；（2）. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1） = =； （2） = =. 教师总结点拨： 分母形如m的式子，分子、分母同乘以m的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 16，学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。 （三）课堂练习（17-26） 练习课件第17-26页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（27） 师生共同回顾本节课所学主要内容: 关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算. （五）课前预习 预习下节课（20.1第1课时）的相关内容. 知道勾股定理的内容和勾股定理的证明 七、课后作业 1、教材第15页练习第1，2题. 2、培优练习19.3第1，3，4，5，6，7题. 八、板书设计 二次根式的加法与减法 第2课时 1.二次根式的混合运算 考点1 考点2 2.利用乘法公式计算二次根式 考点1 考点2 3.分母有理化 考点1 4.例题讲解 九、 教学反思 成功之处：教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用. 不足之处：过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序错误和错用公式的现象. 补救措施：适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的. 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $