专题16 最值之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“瓜豆模型”专题，针对中考几何最值核心考点，系统梳理直线轨迹和圆弧轨迹两大模型，通过原理阐释、模型证明、例题解析、分层练习构建完整复习体系，助力学生突破动态轨迹分析难点。 亮点在于“模型分类+动态推理”教学策略，结合几何直观与推理能力，如通过矩形中动点旋转问题演示轨迹确定方法，培养学生数学思维。分层练习含选择、填空、解答题，配合真题训练与即时反馈，确保高效复习，帮助教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16最值模型之瓜豆模型（原理) 目录导航 目录 例题讲模型 1 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 .1 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 .10 习题练模型 19 例题讲模型 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 模型解读 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的 轨迹相同。 只要满足： 1、两“动”，一“定” 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹 长度的比和它们到定点的距离比相同。 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆)，从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在 直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型证明 模型1)如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP,取AP中点Q,当点P在直线上 运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 1/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中， 因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线. 模型2)如图，在△APQ中AP=AQ,∠PAQ=Q为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一 条直线。 01 B 证明：在BC上任取一点P1,作三角形△AP1Q1,且满足∠PAQ1=a,AQ1=AP1,连结Q1Q交BC于点N, AP=AQ,AQ1=AP1,∠PAQ1=∠PAQ=a，·△APP~AAQQ,.∠APP1=∠AQQ1, ,∠AMP=∠NMMQ,.∠MNQ=∠PAQ=a,即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线. 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1)当动点轨迹己知时可直接运用垂线段最短求最值： 2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3)确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1)； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2)； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线） 为其他己知轨迹的线段求最值。 模型运用 例1.如图，正方形ABCD,E是AC对角线上的一点，以DE为边作正方形DEFG,阴影部分面积为5， 若CD=x,DE=y,则下列值不变的是() 2/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.x B.x+y c.1 D.x2+y2 x y 例2.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△0AB是边长为4的等边三角形，己知点C(-8,0), D(2,O),点P是线段CD上一点，连接BP,将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ,连接AQ.在 点P从点C运动到点D的过程中，线段AQ扫过的面积为 0D 例3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是对角线AC上的一动点，连接BE,若以BE为边向右 上侧作等边△BEG;点E从点A运动到点C的过程中，连接CG,则线段CG的最小值是 E 例4.【特例感知】 (1)如图1，A0B和△C0D是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在BO的延 长线上，连接AD,BC,线段AD与BC的数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，将图1中的△C0D绕着点0顺时针旋转a(0°<α<90)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？ 如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由. 【方法运用】 (3)如图3，若AB=4,点C是线段AB外一动点，AC=25,连接BC.若将CB绕点C逆时针旋转90得 到CD,连接AD,则AD的最大值是 3/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 模型2.最值模型之瓜豆圆孤轨迹原理模型 模型解读 “主从联动模型也叫“瓜豆模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一 个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种” 线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋 转、全等和相似。 模型证明 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO,取AO中点M,任意时刻，均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP,当点P在圆O上运动 时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO,作AM⊥AO,AO=AM;任意时刻均有△APO≌△AQM,且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 4/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型1-3.如图，△4PQ是直角三角形，∠PAQ-90°且AP-k.AQ,当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO,作AMLAO,AOAM=k:1;任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4为了便于区分动点P、Q,可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从 动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)。 分析：如图，连结AO,作∠OAM=∠PAQ,AO:AM=AP:AQ;任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 (1)定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 5/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(动) (2)定边对定角（或直角）模型 1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧， 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧. 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型运用 例1.(2023四川广元统考一模)如图，线段AB为⊙0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2 ,点P是⊙O上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使∠DCP=60°，连接0D, 则OD长的最大值为_ 例2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,E为AB的中点，F为AC上一点. B GB B 01 图1 图2 备用图 (1)如图1，若AF=2CF,AB=6√5，求EF的长； (2)如图2，若D为ABC外部一点，F为AC的中点，将DF绕点F按顺时针方向旋转90°到GF(D,G均 在直线AB的左侧)，连接BG、EG.若LDEG=I35°，求证：DE=BG+√2EG; (3)将△AEF沿直线EF翻折至ABC所在平面内得到PEF,连接CP,将CP绕点C按顺时针方向旋转90 6/12 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得到线段CO,连接AQ,当线段AQ取得最小值时，请直接写 A但的值 A 例3.【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，⊙O的半径为2，点A是⊙0O外的一个定点， OA=4.点P在⊙O上，作点P关于点A的对称点Q,连接PA、AQ,当点P在⊙O上运动一周时，试探究 点Q的运动路径 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长OA至点M,使 AM=OA,连接OP、MQ,通过证明△OAP≌aMAQ,可推出点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的 圆.下面是部分证明过程： 证明：延长OA至点M,使AM=OA,连接OP、MQ 1°当点P在直线OA外时， 证明过程缺失 2当点P在直线OA上时，易知OP=MQ=2. 综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆.请你补全证明中缺失的过程 【结论应用】如图③，在矩形ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，连接EF,点O是EF中点，点 M是线段OF上的任意一点，AB=4,BC=8,点P是平面内一点，AP=2,连接AP.作点P关于点M的 对称点O,连接PM、MQ (1)当点M是线段0F中点时，点Q的运动路径长为 (2)当点M在线段0F上运动时，连接E.设线段EQ长度的最大值为a,最小值为b,则a+b= D M 图① 图② 图③ 习题练模型 一、单选题 1.如图，A是OB上任意一点，点C在OB外，已知AB=2,BC=4,△ACD是等边三角形，则△BCD的面 7/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积的最大值为() D A.4V5+4 B.4 C.4V5+8 D.6 2.如图，Rt△ABC,∠C=90°，BC=4,AC=6,点D为AC的中点，点E为斜边AB上一个动点，将 ADE沿DE折叠得到△A'DE,连接AA,A'B,下列结论错误的是() B A.若点A与点C不重合时，△AAD的面积最大值为4.5 B.若点A不在斜边AB上时，AABE的周长最小值为2√3+2 C.若AE上AB时，A4的长为3N26 13 D.若A'D⊥AC时，AA的长为3√2 3.如图，菱形ABCD的边长为4，LB=120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF.将线 段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG,则CG的最小值为() D A.√2 B.5 C.√2-1 D.5-1 4.如图，矩形ABCD中，AB=4V5,BC=4,AC与BD相交于O,P为CD边上任意一点，将线段OP绕点 O顺时针旋转90°后得到线段00，则线段BQ的最小值为() 8/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4V5-4 B.25 C.2√2-2 D.2V5-2 二、填空题 5.如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(O,8),点B是x轴上的一个动点，以AB为边向右侧作等边三角 形ABC,连接OC,在运动过程中，OC的最小值为_ B 6.如图，线段AB为O0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P是O0上一动点，连接 CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD,且使得LDCP=60°，连接OD,则OD长的最大值为 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠DAC=60°，点F沿线段AO从点A 至点O运动，连接DF,以DF为边作等边三角形DFE,点E和点A分别位于DF两侧，连接OE.现给出 以下结论： ①∠BDE=∠EFC;②ED=EC;③直线OE⊥CD;④点E运动的路程是2V3. 其中正确的结论是一·（写出所有正确结论的序号） 9/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C E 0 F A B 8.在矩形ABCD中，AB=6,点E在BC上，点F在平面内，BE=2,EF=3,连按AF,将线段AF绕着 点A顺时针旋转90°得到AP,则线段PE的最大值为 D B 三、解答题 9.已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为直线CD上的一点，连接BE, E 图1 图2 图3 (I)如图1，BE⊥CD,若CE=1,求AE的长； (2)如图2，BE与对角线AC交于点F,BE⊥CD,求证：AF=BE+EF; (3)如图3，将线段BE绕点B逆时针旋转120°得到线段BP,连接AP,DP,当DP取最小值时，直接写出 S△MDP的值， SABEC 10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0)，以点A为圆心，OA为半径的0A,交x轴于点P, 点B是OA上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q,连接PQ. 10/12 专题16 最值模型之瓜豆模型（原理） 目录 1 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 1 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 10 19 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。 例1．如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，动点问题，瓜豆原理，平行线间的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据瓜豆原理可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， 当点E在点A时，点F在点B，如图 当点E在的中点时，点F在点C，如图 由瓜豆原理，可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长， 如图，连接， ∴，， ∴， 即， ∴的值不变． 故选：D． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 例3．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 例4．【特例感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是___________． 【答案】（1），见解析； （2）成立，见解析； （3）． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用旋转性质可证得，再证明，即可得出结论； （3）过点作，使，连接，，，，先证得，得出，即点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：如图2，∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴． ∴． （3）如图，过点作，使，连接，，，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，瓜豆原理等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题． 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例2．在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，以及勾股定理求得，作的中点，连接，进而根据中位线的性质求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解； （2）连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点，证明得出，，证明是等腰直角三角形，进而证明得出，即可得证； （3）连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，证明，得出，设，则，，则，即在以为圆心的上运动，当在上，取得最小值，最小值为，进而求得的值． 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∵， ∴， 如图，作的中点，连接， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，; （2）证明：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点， ∵在中，，，为的中点，为的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到 ∴， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∴，即 （3）解：如图所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴ 设，则，， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴，即在以为圆心的上运动 连接过点作于点，则 ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴ ∴ ∵ ∴当在上，取得最小值，最小值为 ∴ 例3．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决：证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，，∴，∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，由题意得：，，，， ， ， ∴由勾股定理得：，∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，由题意得：，， ∵，∴，∴，， ∵，∴、、在同一直线上，∴， ∴，∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 一、单选题 1．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 2．如图，，，，，点D为的中点，点E为斜边 上一个动点，将沿折叠得到，连接，，下列结论错误的是（   ） A．若点与点C不重合时，的面积最大值为4.5 B．若点不在斜边上时，的周长最小值为 C．若时，的长为 D．若时，的长为 【答案】C 【分析】由折叠性质得对应线段相等，对应角相等，根据点与点C不重合时，，的面积最大值为4.5；当在上时取等号时最小周长；作 于点，在中，，，；在中，. 【详解】解：A.若点与点C不重合时，在以点为圆心的圆上，则当时的面积最大，则， ∴ ，故A选项正确，不符合题意； B.在，得， 由折叠性质：，周长为：，由于，如图： 因为 当在上时取等号，最小周长：，故B选项正确，不符合题意； C.如图，作 于点F ， 为中点， 当由折叠对称性得， 在中， ， ， ，故C选项不正确，符合题意； D.若时，则，在中， ，故D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查了折叠问题中的对称性问题，从而求最小面积和运动轨迹，圆的相关内容知识，勾股定理求线段长，三角函数求线段，解题关键在于熟练掌握各个知识点联系. 3．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 4．如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 二、填空题 5．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 6．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论： ①；②；③直线；④点E运动的路程是． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； ④如图，延长至 ，使，连接 ，通过，，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段 运动到，从而得出结论④错误． 【详解】 解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD， ∵△DFE为等边三角形， ∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE， ∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°， ∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°， ∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°， ∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°， ∴∠ADF＝∠EFC， ∴∠BDE＝∠EFC， 故结论①正确； ②如图，连接OE， 在△DAF和△DOE中， ， ∴△DAF≌△DOE（SAS）， ∴∠DOE＝∠DAF＝60°， ∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠COE＝∠DOE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△ODE≌△OCE（SAS）， ∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE， 故结论②正确； ③∵∠ODE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF， 故结论③正确； ④如图，延长OE至，使＝OD，连接， ∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°， ∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到， ∵＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝4•tan30°＝ ， ∴点E运动的路程是， 故结论④错误． 故答案为①②③． 【点睛】 本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 9．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． （2）当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． （3）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 11．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】本题考查“全等三角形的性质与判定”“相似三角形的性质与判定”“勾股定理”，灵活运用“瓜豆原理”，进行手拉手全等、相似三角形的构造，找到从动点的运动轨迹是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，可知，过点E作的垂线，通过勾股定理列方程即可解出的长度． （2）已知，因此求证等价于求证，以为边向上作等边三角形，利用全等三角形的判定与性质，确定点G的运动轨迹，进而确定点Q的运动轨迹，通过中位线的性质和全等三角形的性质，得到和之间的关系，再借助，即可得到与的关系，从而得证． （3）同（2）中构造方式，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，从而得到点M的运动轨迹，进而确定取得最小值时的位置及最小值，再根据翻折的性质，得到，从而确定点N的运动轨迹是圆，进而确定进而确定取得最小值时的位置及最小值，最后通过作垂线，利用相似三角形的性质与判定和勾股定理求的高，即可求出面积． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点F．    ∵，， 又， ∴，，． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 解得． （2）证明：如图，分别以，为边，向上作等边三角形，得到，，连接，，，延长交于点H．    由作法可得，，，，， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴． 同理，． ∴，． ∴． ∴点，，三点共线，即点在线段上． ∵，， ∴． ∴点，，三点共线． 又， ∴点A为的中点． 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∴． 又是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴点在线段上． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如图，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，得到，，作直线交于点H．    同（2）理，可得，， ∴点M在直线上． ∴当时，取最小值． 由旋转的性质，可知，，知，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴． 由翻折的性质，可知， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 如图，当点N在上时，取得最小值，连接，过点作于点．    此时． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 解得． ∴． 12．在等腰中，，，点为边上一点，连接； (1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求； (2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：； (3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质，得到，再根据，和，求出的长度，即可求解． （2）过点D作，设，先证得到， 再证，得到结合平行线得到，从而得到，根据平行线分线段成比例得出，代入化简得，即可求解． （3）过点A作，过点B作，根据两个等腰直角三角形的性质得到，得到点N在以点P为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，最短，求出最短为，画出此时的图形，根据，求出，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）如图，过点D作，设， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即，解得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，故． （3）如图，过点A作，过点B作， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 根据翻折可知， ， 点N在以点P为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当三点共线时，最短，最短为， 过点A作，过点M作， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握作适当的辅助线，构造相似三角形或全等三角形是解题的关键． 13．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想：，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，     ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，     ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $