专题10 全等三角形模型之半角模型与对角互补模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等三角形模型”专题，系统梳理半角模型（正方形、等腰直角三角形、等边三角形）和对角互补模型（90°-90°、60°-120°、α-180°-α），通过“模型条件-结论推导-证明思路”架构知识体系，结合中考真题讲解与分层练习，助力学生突破几何综合题难点。 亮点在于“模型化+结构化”教学策略，如半角模型通过旋转构造全等培养几何直观，对角互补模型借助辅助线添加发展推理能力。设置“基础例题-变式拓展-综合应用”三级训练，配合5分钟模型识别速练，帮助学生高效掌握解题通法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10全等三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录导航 目录 例题讲模型 1 模型1.全等模型之半角模型… 1 模型2.全等模型之90°-90°对角互补型.… 14 模型3.全等模型之60°-120°对角互补型 15 模型4.全等模型a一180°-a对角互补型. .30 习题练模型 .36 例题讲模型 模型1.全等模型之半角模型 模型解读 1)正方形半角模型 A F D F D D 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG;②△CEF≌△CGF;③EF=BE十 DF;④△4EF的周长=2AB;⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG,即△CBE≌△CDG, .∠ECB=∠GCD,∠B=∠CDG=90°，BE=DG,CE=CG; ,ABCD是正方形，∴.∠B=∠CDF=∠BCD-90°，BA=DA;∴.∠CDG+∠CDF=18O°，故F、D、G共线。 ,∠ECF=45°，.∠BCE+∠DCF=45°，.∠GCDH∠DCF=∠GCF=45°，∴.∠ECF=∠GCF=45°， ,CF=CF,∴.△CEF≌△CGF,∴.EF=GF,,GF=DG+DF,∴.GF=BE+DF,∴.EF=BE十DF, ∴.△4EF的周长=EF+AE十AF=BE十DF+AE十AF=AB十AD=2AB,过点C作CH⊥EF,则∠CHE=90°， ,△CEF≌△CGF,.CD=CH(全等三角形对应边上的高相等)，再利用HL证得：△CBE≌△CHE, 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠HEC=∠CBE,同理可证：∠HFC-∠DFC,即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2)等腰直角三角形半角模型 B C B- C B D E 条件：△4BC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB=AC),∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG;②△DAE≌△GAE;③∠ECG==90°；④DE2=BD2+EC2; 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG,即△BAD≌△CAG, ∴.∠BAD=∠CAG,∠B=∠GCA=45°，AD=AG,BD=CG; ,∠DAE=45°，∴.∠BAD+∠EAC=45°，∴.∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴.∠DAE=∠GAE=45°， ,AE=AE,∴.△DAE≌△GAE,.ED=EG,.△4BC是等腰直角三角形，.∠ACB=45°，.∠ECG=90°， ∴.GE2=GC+EC2,∴.DE2=BD2+EC2; 3)等边三角形半角模型（120°60°型) E E D D D 条件：△4BC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且BD=CD,∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG;②△EDF≌△GDF;③EF=BE十CF;④△4EF的周长=2AB; ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG,即△BDE≌△CDG, ∴.∠EDB=∠GDC,∠DBE=∠DCG,BE=GC,DE=DG; ,∠BDC-120°，∠EDF=60°，∴.∠BDE+∠CDF=60°，∴.∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF, ,DF=DF,.△EDF≌△GDF,∴.EF=GF,,GF=CG+CF,∴.GF=BE+CF,∴.EF=BE+CF, ∴.△4EF的周长=EF+AE+AF=BE+CF+AE+AF=AB十AC-2AB, 过点D作DH⊥EF,DM⊥GF,则∠DHF=∠DMF-9O°， ,△EDF≌△GDF,∴.DM=DH(全等三角形对应边上的高相等)，再利用HL证得：△DHF≌△DMF, ∴，∠HFD=∠MFD,同理可证：∠BFD=∠FED,即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4)等边三角形半角模型(60°.30°型) 2/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 条件：△4BC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA,②△DAE≌△FAB,③∠ECF=120°，④DE2=(BD+ECyP+ 2 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF,即△BAD≌△CAF, ∴.∠BAD=∠CAF,∠B=∠FCA=6O°，AD=AF,BD=CF; ,∠DAE=30°，∴.∠BAD+∠EAC=30°，∴.∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴.∠DAE=∠FAE=30°， ,AE=AE,∴.△DAE≌△FAE,ED=EF,:△4BC是等边三角形，∴∠ACB=60°，.∠ECF-120°， 11 点F作EI LBC,∠FCH6o9,∠CEH3O9,.CHCp=BD,FHV3CF=V3BD -CF= 2 2 2 :在直角三角形中：FE2=FP+ER,DE=(BD+ECP4( BD)2 2 模型运用 例1.（2024山东烟台.一模)如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、 AN、MN.∠MAN=45°，将aAMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE.易证： △ANM≌△ANE,从而得DM+BN=MN. D B N 图① 图② 图③ 【实践探究】 (1)在图①条件下，若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长是 (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN=DM,点E、F分别在BM、DN上，∠EAF=45°， 连接EF,猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由， 【拓展应用】 3/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上，连结AM,AN,已 知∠MAN=45°，BN=2,求DM的长. 例2.(23-24八年级下山东临沂月考)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长 线上一点，且DF=BE,求证：CE=CF; (2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的 结论证明：GE=BE+GD. (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD‖BC(BC>AD,LB=90°，AB=BC,E是AB上一点，且 ∠DCE=45°，AE=8,DE=10,求直角梯形ABCD的面积. D G D 图1 图2 图3 例3.(23-24八年级上·山东临沂期中)【基本模型】 (1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之 间的数量关系，并证明你的结论， 【模型运用】 (2)如图2，ABCD是正方形，LEAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE 、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论. B 图1 图2 例4.(23-24八年级下山东泰安期中)如图1，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC边上的点，且 ∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. 4/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B B 图1 图2 图3 (I)①求证：EF=FM; ②写出EF、CF、AE三者之间的关系. (②)类比迁移：若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、CF、AE三者之间还存在(1)中 的关系吗？根据解决(1)中问题的经验加以探究。 ①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是BA、CB延长线上的动点，且∠EDF=45°，EF、CF、AE 之间的数量关系是 ②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC延长线上的动点，且LEDF=45°，则EF、CF、 AE之间的数量关系是 请选择图2、图3中的一个给出证明. 模型2.全等模型之90°-90°对角互补型 模型解读 1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型) E 条件：如图，己知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②0D+O0E=V2OC,③ScE=S.coE+S.co=0C2 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，∴.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;.CD=CE, 根据上述条件易证：四边形OVCM为正方形，∴.∠CON=45°，OM=ON, 又，OD+OE=OM-DM+ON+NE,∴.OD+OE=OM+ON=2ON=√2OC, 5/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AMCDANCE,SAMCD-SANCE SODCE=S.ONCD+S.CNE=S.ONCD+S.CMD =S.ONCM= 2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型) 0 D 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,·∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CB,②0E-0D=V50C,@S.cs-S,cm=0C 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，.∠MCD=∠NCE, ∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE,根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴.∠CON=45°，OM=ON,又.'OE-OD=ON4NE.(DM-OM),∴.OE-OD=ON+OM=2ON=√2OC, :△MCD≌△NCE,∴SAMCD-=SANCE,S.coE-S.coD=S.cE+S.coN-(S.cwn-S.cwo)=S.cow+S.ao=2 0c2 模型运用 例1.(23-24八年级上·山东淄博期末)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的 夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. 根据以上定义，解决下列问题： 图① 图② 备用图 (I)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应 点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=1,AD>AB,过点B作BE⊥AD于 点E,作BF⊥DC交DC延长线于点F. ①试判断四边形BFDE的形状，证明你的结论，并求出BE的长. ②若点M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值. 例2.己知Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的 6/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DELAC于E时（如图1），易 证SADEF+SACEF= 当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述 结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DF,S△cEF,S。4ac又有怎样的数量关系？请写出你 的猜想，不需证明. 图1 图2 图3 例3.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若 ∠EAF=∠BAD,可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 (只思考解题思路，完成填空即可， 不必书写证明过程) (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,LB+LADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点， 若∠EAF=∠BAD,判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说 2 明理由. D B E 图1 图2 模型3.全等模型之60°-120°对角互补型 模型解读 1)“等边三角形对120°模型”（1) 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .☑ 条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB. 结论：0GD=CE.②oD+0E=0C,®Sam+5m= 20C2 4 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，.OC平分∠AOB,.CM=CN, 又，∠AOB=2∠DCE=120°，.∠AOB+∠DCE=180°，.∠CDO+∠CE0=180°， ,'∠CDO+∠CDM=180°，∴.∠MDC=∠CEO,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE, :OC平分∠A0B,·∠CON=∠COM=60,ON=OM= OC,NC-MC-3 OC。 、 2 又.'OE+OD=ON+NE+OM-DM,∴.OE+OD=ON+OM=OC, '△MCD≌△NCE,.SAMCD-SAcg,∴S.coD+S.coE=S.co-S.cwD+S.cE+S.cov=S.cov+S,cMo= OC 4 2)“等边三角形对120°模型”（2) E O 条件：如图，己知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB,∠DCE的一边与BO的延长线交于点D,, 结论：①CD=CE,②0D-OE=OC,③S.on-S.coe= 4 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，'∠AOB=2∠DCE=120°，∴.∠AOB+∠DCE=180°，∠AOB+∠MCN=180°，∴.∠DCE=∠MCN=60° ∴.∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE,∴.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE, :Oc平分∠A0B,∠coN=∠CoM=60,:ON-OM-1oC,NC-hMC-5oC. 2 2 又，'OD-OE=OM+DM-(NE-ON)，∴.OD-OE=ON+OM=OC, ,△MCD≌△NCE,∴.SAMCD-SANCE,. 5.m-5.cw-.w+5.cm-(5.w-5.o. F40c2。 8/17 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型运用 例1.【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C=180°，则这个四边 形叫做“对角互补四边形” 【问题解决】 M B A B 图① 图② (I)若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B=3LD,求∠B的度数； (2)如图②，∠M0N=60°，OB平分∠MON,A是射线ON上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形 COAB是“对角互补四边形”. ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数； 3 ②若0B=2,若Sc:Saa-亏，求0C的长. 例2.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形 D A E C B 图1 图2 (I)互补四边形ABCD中，若LB:∠C:∠D=2:3:4,∠A=度； (2)如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,AD=CD,BC>BA、求证：四边形ABCD是互补四边形； (3)如图2，互补四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD=2V5,点E,F分别是边BC,CD的动点， 且∠EAF=∠BAD=60°，△CEF周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 2 例3.四边形ABCD若满足两组对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则我们称该四边形为“对 角互补四边形”. 9/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① 【思路点拨】 (1)如图①，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,求证：CA平分LBCD 小东同学是这么做的：延长CD至点M,使得DM=BC,连接AM,可证明△ABC≌△ADM,得到△ACM 是等腰直角三角形，由此证出CA平分∠BCD. ①还可以知道CB,CD,CA的数量关系为： ②请你用旋转的知识描述ABC如何旋转得到△ADM: 【变式拓展】 (2)如图②，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD,请你仿照小东的做法， 求证： ①CA平分LBCD; ②CA=CB+CD. 模型4.全等模型a一180°-a对角互补型 模型解读 1)“a对180°-a模型” A P A 图1 B 图2 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=18O°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,∴.∠AEP=∠BFP=90°， ,∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴.∠EAP=∠B。 ,AP=BP,∴.△PAE≌△PBF,.PE=PF,∴.OP平分∠AOB。 10/17 专题10 全等三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.全等模型之半角模型 1 模型2.全等模型之90°-90°对角互补型 14 模型3.全等模型之60°-120°对角互补型 15 模型4.全等模型α—180°-α对角互补型 30 36 模型1.全等模型之半角模型 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2 例1．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．    【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．证出．在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可； （2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形， ∴，. 由旋转得， ∴，，，， ∴， ∴E，B，N在同一条直线上. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 在与中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 在中，由勾股定理得 ∴. ∴； （2）三条线段，，之间满足的数量关系为， 理由如下：         图（1） 如图（1），过点D作，且，连接，， 则， ∴. ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. 在与中， ∴， ∴，. ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则.    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则. ∵四边形是正方形，， ∴由（1）中证明知，. 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为4． 例2．（23-24八年级下·山东临沂·月考）（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，，求直角梯形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）延长至，使，连接，证明，得出即可得证； （3）作交的延长线于，证明四边形为正方形，得出，设，则，，由勾股定理求出的长，再由面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，延长至，使，连接， ， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作交的延长线于， ， 在直角梯形中， ∵, ∴， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 由（1）（2）可得，， ∴，即， 设，则，， 在中，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴这个梯形的面积为． 例3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 例4．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图1，正方形中，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． (1)①求证：； ②写出、、三者之间的关系． (2)类比迁移：若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，、、三者之间还存在（1）中的关系吗?根据解决（1）中问题的经验加以探究． ①如图2，在正方形中，点E、F分别是、延长线上的动点，且，、、之间的数量关系是______． ②如图3，在正方形中，点E、F分别是、延长线上的动点，且，则、、之间的数量关系是________． 请选择图2、图3中的一个给出证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②；理由见解析 【分析】（1）①由旋转可得为直角，可得出，由，得到，可得出，再由，利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出； ②根据，得出即可； （2）①过点D作，交于点G，证明，得出，，证明，得出，即可得结论； ②过点D作，交于点G，证明，得出，，证明，得出，即可得结论． 【详解】（1）①证明：∵逆时针旋转得到，四边形是正方形， 则，， ∴，，， ∴F、C、M三点共线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②由旋转可得：， ∵， ∴． （2）解：①． 如图，过点D作，交于点G， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 如图，过点D作，交于点G， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握性质及判定定理是解本题的关键． 模型2.全等模型之90°-90°对角互补型 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 例2． 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】见解析 【详解】解： 图2成立；图3不成立 过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，连接CD，而 则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°， ∴ ∴∠MDE=∠NDF， ∵为的中点， ∴是的平分线， ∴DM=DN ∴△DME≌△DNF ∴S△DME= S△DNF ∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+ S△CEF 由信息可知S四边形DMCN=S△ABC ∴S△DEF+ S△CEF=S△ABC 图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEFS△CEF=S△ ABC 理由如下：连接CD，如图3所示： 由已知信息得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°， ∴S△DEF=S五边形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF-S△CFE=S△ABC． 例3．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 模型3.全等模型之60°-120°对角互补型 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 例1．【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 【答案】(1)90 (2)证明见解析 (3)不变，12 【分析】对于（1），设，则，，根据互补四边形的定义得，即可求出各角的度数； 对于（2），过点D作，，再证明，可得，然后结合可得答案； 对于（3），延长至G，使，连接，可证明，可得，，进而得出，接着证明，可得，再连接，可证明，即可得出，，然后求出，再说明的周长等于，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则，，根据题意，得， 即， 解得， 则， 所以． 故答案为：90； （2）过点D作，交的延长线于点E，作，交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）不变， 延长至G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴的周长等于． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，特殊角三角函数值，新定义的理解，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例3．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 【答案】①；②绕点逆时针旋转90°得到；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． （1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； 【详解】（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． 故答案为：绕点逆时针旋转90°得到； （2）证明：①如图，延长至点，使，连接. 因为四边形为对角互补四边形，所以 因为，所以 在和中，，，，所以 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以是等边三角形 所以 因为， 所以 所以，即平分 ②证明：因为是等边三角形， 所以 因为， 所以， 所以. 模型4.全等模型α—180°-α对角互补型 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 例1．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 例2．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 一、单选题 1．如图所示，平分，于点M，且，则与的关系是（　　）． A．相等 B．互补 C．和为 D．和为 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、互补，过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质及得，进而可得，则可得，再利用得，进而可得，则可得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图： 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与互补， 故选B． 2．如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（   ） A．64 B．72 C．98 D．144 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作, 并截取, 连接, , 先证明,, 再证明和全等得,, 则, 由此可求出, 然后证明和全等得, 则, 由此再根据勾股定理及正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：过点作, 并截取, 连接,， 如图所示： ∴, ∵四边形是正方形， ∴, ,, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴, 在和中, ， ∴, ∴, , ∴, 在中， 由勾股定理得：， 在和中, ， ∴, ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ∴正方形的面积为， 故选: B． 3．如图，，点P为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C．四边形的面积保持不变 D．的周长保持不变 【答案】D 【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形判定与性质及含角的直角三角形性质，核心是通过作辅助线构造全等三角形，分析线段长度、面积、周长的变化规律．解题关键在于构造全等三角形，将动态旋转中的变量转化为定值或可比较的量． 【详解】解：过点作于点，于点． 为平分线上的点， 得； 又，， 得； 已知与互补，即， ， 在和中： ． ，故选项A正确． 在中，， ， 得； 同理，在中，． ， ． ，故选项B正确． ，， ． ，和的边长与角度固定， 四边形的面积保持不变，选项C正确． 的周长为． ， 的长度随旋转时、位置的变化而变化 的周长会因长度的变化而变化，选项D错误． 故选：D． 4．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 二、填空题 5．如图，是的角平分线，于点F，和互补，若，，则的面积为 ．    【答案】9 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再证明，，根据全等三角形的性质进一步即可求出的面积． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示：      ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和互补，即， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作于于，只要证明，即可一一判断， 【详解】解：作于于． ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴定值，故③正确， ∵到的距离相等， ∴，故④正确； 定值，故②正确； ，是等腰三角形， ∵P固定不动，M和N在动， ∴和长度会变，导致底边长度是变化的，故①错误． 故答案为：②③④ 7．如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7 8．如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；  ④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】对于①，连结，证明，得到，再通过等量代换，即可得到答案； 对于②和③，延长到点P，使得，连结，通过证明和，得到，再通过等量代换，即可得到， 的周长为4，即可判断； 对于④，过点F作于点H，设，列出，再根据二次函数的性质，即可求得答案； 对于⑤，过点F作于点Q，证明，得到，进而可求得，即得答案． 【详解】解：对于①，连结， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故①正确； 对于②和③，延长到点P，使得，连结， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 的周长为， 故②和③错误； 对于④，过点F作于点H， ， ， ， ， 设，则， （）， ， 当时，的面积的最大值是， 故④正确； 对于⑤，过点F作于点Q， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 即G是线段的中点， 故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，添加辅助线，构造全等三角形及相似三角形是解题的关键． 三、解答题 9．四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②等腰直角三角形；③ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①按题意画出图形即可； ②证明，由全等三角形的性质得出，可得出，则可得出答案； ③由等腰三角形的性质可得出答案； （2）延长至M，使得，连，证明，得出，证明为等边三角形，则可得出答案； （3）延长至M，使得，连，延长至F．证明，得出，则，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①如图1， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； ③∵为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）如图2，延长至M，使得，连， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． （3）．理由如下： 证明：如图3，延长至M，使得，连，延长至F． 则， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图1所示： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴，即． 故答案为：； （2）． 证明：如图2所示． ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴，，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴； （3）把旋转到的位置，连接，则． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形． 11．我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． (1)试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（    ）；②矩形（    ）；③菱形（    ） (2)如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； (3)如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)四边形周长的最小值为． 【分析】（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； （2）在上截取，连接，可证明，得，，而，则，所以，则，所以，即可证明四边形是“互补四边形”； （3）由是“互补四边形”，推导出，则四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，连接、交于点，连接、、、，则，，，，所以，由，，求得，则，，可证明，求得四边形周长的最小值为． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， 平行四边形不是“互补四边形”， 故答案为：． ②矩形的四个角都是直角， 矩形的对角互补， 矩形是“互补四边形”， 故答案为：． ③菱形的对角相等，但对角不一定互补， 菱形不是“互补四边形”， 故答案为：； （2）证明：如图（1），在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“互补四边形”； （3）解：如图（2），四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， 是“互补四边形”， ，， ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， 连接、交于点，连接、、、，则，，，， ， ，， ， ，， ，， ， ， 当点与点重合时，， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)周长不变，周长为； (4)的长为或． 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：依题意得：， 设，，， 即， 解得， ，，， ． （2）解：在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． （3）解：周长不变，证明如下： 延长使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． （4）解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， 作交于点，交于点， 设，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ， 则中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、全等三角形的判定与性质、等边对等角、含的直角三角形特征、勾股定理、平行四边形性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 13．【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）．理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $