专题11 相似三角形模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦相似三角形核心模型，系统覆盖（双）A字型、（双）8字型、AX字型及母子型四大中考高频考点，通过模型分类梳理条件、结论及证明过程，构建知识网络，设计“考点解析-例题精讲-方法归纳-分层训练”教学流程，助力学生突破相似证明与计算难点。 亮点在于以几何直观为切入点，结合推理能力培养，如通过母子型模型中射影定理的推导过程，引导学生理解共边共角相似的本质，配套中考真题及变式练习，设置基础巩固与综合应用分层训练，5分钟模型识别速练强化解题效率，帮助学生快速提升相似模型应用能力，教师可依此精准把控复习节奏，实现高效备考。

专题11 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 8 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 13 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 24 25 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，为对角线，于点，延长交于点F，交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，即可求证； （2）证明，即可求解， 【详解】（1）证明： ， ， 又， ， 又∵四边形为平行四边形， 是矩形； （2）解：， ， 由（1）知是矩形， ， ， 又， ， ，即， ． 例2．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)cm 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴cm． 例3．（25-26八年级上·山东济南·期末）在直角中，． (1)【基础回顾】 在图1中，点D、E分别在边上，且，求的值； (2)【模型建构】 图1中保持不动，将绕点A顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，连接，则（1）中的结论是否成立？请说明理由； (3)【综合探究】 在图2中，延长交于点F，交于点G，连接，探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，先根据勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）先证明，根据相似的性质即可解题． （3）由（2）得得到，可证明可得，再结合，易证，最后根据相似三角形的性质结合等角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：，不变，理由如下， 在图1中，∵， ∴，，，即， 在图2中，由旋转的性质知， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 例4．【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 (3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② (3)， 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得线段和的数量关系； （2）①利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和的数量关系； ②在①的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴； （2）①结论：， 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，     同理，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握好常考的全等三角形与相似三角形的模型是解题关键． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质： （1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 例2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形的对角线，相交于点O，E为上一点，为上一点，（点不与点A，D重合），且交于点． (1)请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作，交于点，交于点，由正方形的性质得，四边形为矩形，为等腰直角三角形， 证明（ASA），即可证明． （2）由，，，同理，所以，而，可证明，于是得，则． 【详解】（1）证明： ． ∵四边形是正方形， ， ， 过点作，交于点，交于点，如图所示， ， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形， ， ， ， 即：， ， 又， ， ， （ASA）， ； （2）证明：由（1）知，是等腰直角三角形， ， 又， ， 又， ， ， ． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、线段的垂直平分线的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，E为的中点，F是上一点，G 为上一点，且，交于点H． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， （1）先证明为等边三角形，进而证明，列出比例式即可求出的长； （2）求出的面积比，进而求出的长，再证明，求出的面积比，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26九年级上·山东东营·期末）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，且，请你判断的值为___________； (2)如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且．求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数． （1）利用可证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交的延长线于点，根据可证明，列出比例式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 即 ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ， ∴四边形为矩形， ， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ． 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)不是； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等()，结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 例2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 例3．如图，直线与相切于点，是的直径，点C，D在l上，且位于点两侧，连接，，分别与交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，那么，即可证明； （2）先求得，，接着证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理求得的长，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线与相切于点，是的直径， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵，是的直径， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系； （1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可； （2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解； （3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． （3）解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBD， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 例2．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 例3．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 例4．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 一、单选题 1．如图，在中，点为上一点，连接、交于点，若，则为（   ） A．31 B．21 C．25 D．14 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵ ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴为 故选：A． 2．《九章算术》是我国古代数学的重要专著，其记载：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其意为：今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，若中能容纳的正方形的边长为，如图，则满足的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，证明是解题的关键． 先证明，再根据正方形的性质以及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在等腰中，，过点C作于点D，以为边作正方形，点E在上，与边交于点G．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中，利用设出和的长度，再结合及勾股定理求出、、的具体值，接着根据正方形性质得到、的长度和的关系，从而推出，最后利用相似三角形的性质求出的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和定理，并能灵活运用是解题的关键． 4．在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C．与是位似图形 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，位似图形的定义．根据作图，即可判断A选项，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质即可得出，即可判断B，根据得出，得出，即与是关于的位似图形，根据相似三角形的性质，得出，即可求解． 【详解】解：由作法得平分，所以A选项正确，不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，所以B选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴ 又∵与相交于一点， ∴与是位似图形 ，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．如图，正方形的边长为6，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，分别交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质． 过点F作于点T，由正方形的性质和已知条件可得，由勾股定理可得，由旋转的性质可得；证明，可得，则；证明，可得，则；证明，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点F作于点T， ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．如图在中，是上的一点．，与相交于点，若，则的值是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36． 7．如图，矩形中，E为的中点，，，连接并延长，交的延长线于点F，、相交于点O．若，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值，勾股定理，直角三角形的性质， 先求出，再结合矩形的性质求出，进而根据勾股定理求出，然后说明可求出 ，接下来根据正切值求出，即可得出，再根据含的直角三角形的性质求出，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 8．如图，在矩形中，，，点E在上，连接，过点A作，垂足为H，延长交于点F．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由矩形的性质得，，，由，垂足为H，得，推导出，进而证明，得，由，得，则，再证明，得，则，求得，则，，求得，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，点E在上，连接， ∴， ∵，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，矩形中，于点，交于点，平分分别交于点，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．设，，，利用三角函数的定义求得，，，再求得，证明，求得，，由，得到，整理得，令，解方程求得，即，据此求解即可． 【详解】解：在矩形中，设，，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵平分， ∴点到和的距离相等，不妨设为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 令，则， ∴， 解得，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．如图，为的高线，以点为圆心，长为半径的圆与相切于点，与交于点，与交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质，关键是灵活应用知识点解题；连结，通过论证及得到比例线段即可求解． 【详解】解：连结， ∵是直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题 11．如图所示，在中，D，E分别是的边上的点，，分别是与的中线，已知，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定定理及相关性质，是解题的关键． 先由，得出的值，再由，得．，由相似三角形的性质及分别是与对应边上的中线，得比例式，将已知数据代入比例式即可解得的长． 【详解】解：， ． ∵， ． 分别是与对应边上的中线， ，即， ． 12．如图所示，点在一条直线上，与相交于点． (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键． （1）根据三边成比例的两个三角形相似证明得到，进一步即可得到结论； （2）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 即． （2）由（1）得， 又． ． 13．如图，在中，，平分交于点，点、分别在、上，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，点为的中点，求的长； (2)如图2，若三角形三条内角平分线交于点，且．求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； ②由，得到，进而求得；利用，由相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）利用相似三角形的判定得出，进而利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：①证明：∵平分   ∴ ∵   ∴∽    ∴    ∴ ②∵，    ∴， ∵，    ∵， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴∽， ∴，即：，   ∴； （2）解：∵平分    ∴ ∵    ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，平分，平分， ∴， ∴，即： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 14．如图1，在四边形中，，，垂足为，是线段的中点，，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图，当，且时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由 可证 ，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论． （2）取 中点 ，连接 、利用三角形中位线定理证明 且 ，结合 证得四边形 是平行四边形，得到 再利用直角三角形斜边中线性质得到 ，通过角的等量代换证明 ，从而证得 （3）取 中点 ，连接 ，设 交 于 先证 得 ，再证 得 设 ，通过等腰直角三角形性质表示出 和 ，进而求出比值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ； （2）证明：取 的中点 ，连接 、 ∵ 是 中点， 是 中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：取 的中点 ，连接 ，设 交 于点 ∵ ，，， ∴ 是等腰直角三角形，， 由 (2) 知 ，， ∴ 是等腰直角三角形，， 在 和 中， ， ∴ ()， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ()， ∴ 设 ，则 ， ∵ 是 的中位线， ∴ ， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ，， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握这些几何定理并能灵活运用辅助线构造图形是解题的关键． 15．相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的角”数学主题探究活动时发现：连接正方形的两条对角线即能产生许多角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个角时，可以得到许多结论． 【探究活动】 如图1，在正方形中，连接对角线、，、分别是、上的点，且，、分别与相交于点、． (1)求证：； (2)若，试求的值． 【拓展延伸】 探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： (3)如图2，在边长为2的正六边形中，连接对角线，过点构造，当点落在边上时，点落在上，交于点．当为的三等分点时，的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，易证，再证，即可求证； （2）设正方形的边长为，则可表示，，，根据，则，可求出，，计算即可求解； （3）连接，交于点，根据正六边形的性质，易求，易证，从而可得，再根据为的三等分点，分类讨论，求出和，计算即可求解． 【详解】（1）证明：正方形， ， ， ，， ， ； （2）解：设正方形的边长为，则，，对角线， ， ，即，则， ， ； （3）如图，连接，交于点， 边长为2的正六边形， ， 、是等边三角形，则， ， ， ，， ， ， ，即，则， 为的三等分点， 当时， ，则， ； 当时， ，则， ， 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正六边形的性质，三等分点等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模 型 目录导航 目录 例题讲模型 …1 模型1.相似模型之“A”字模型 .1 模型2.相似模型之“字模型(“8”字模型) 8 模型3.相似模型之“A字模型(“A8字模型) .13 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） ....24 习题练模型 .25 例题讲模型 模型1.相似模型之“A”字模型 模型解读 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或 夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 D B 图1 图2 图3 图4 1/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①“A”字模型条件：如图1，DE∥BC;结论：△ADE∽△ABC台ADAB=AEAC=DEBC。 证明：，DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,.△ADE∽△ABC,ADAB=AEAC=DEBC。 ②反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE∽△ACB白ADAC=AEAB=DEBC。 证明：∠AED=∠B,∴.∠A=∠A,（公共角)∴.△ADE∽△ACB,ADAC=AEAB=DEBC。 ③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC; 结论：△AEFn△ABC,△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC台EC_FG=AG BD CD AD 证明：，EF∥BC,.∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,.△AEF∽△ABC, 同理可证：△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC,∴.ADAB=AEAC=DEBC。 ④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边 上，且AMLBC;结论：△ADG∽△ABC,△4DN△4ABM,△4GN∽△ACM台DG-AN-AN BC AB AM 证明：，DEFG是矩形.DG∥EF,∴∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,∴.△ADG∽△ABC, 同理可证：△ADW∽△ABM,△4AGN∽△ACM,DG-AN-AW。 BC AB AM 模型运用 例1.(25-26八年级上山东济南·期末)如图，在口ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC于点E,延长 DE,CB交于点F,DF交AB于点G,且LADF=∠BAC· G B D C (I)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若DE=3,CE=4,求线段DF的长. 例2.(25-26九年级上·山东济南·期末)如图，以BC为直径的⊙0交ABC的边AB于点H,过点H作 O0的切线交AC于点G,且AC=BC, 2/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：HG⊥AC; (2)若BC=5cm,AH=4cm,求CG的长. 胸3(2526八年级上东济南期末)在直角A8C中，A仁- D 图1 图2 图3 ()【基础回顾】 在图1中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,求2 CE 的值： (2)【模型建构】 图1中ABC保持不动，将RtAADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，连接BD、CE,则(1) 中的结论是否成立？请说明理由； (3)【综合探究】 在图2中，延长CE交BD于点F,交AB于点G,连接AF,探究∠AFD与∠ACB之间的关系，并说明理由. 例4.【发现问题】 (I)如图I,己知△CAB和aCDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系 是· (2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F. ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中∠AFB的度数是_· 【探究拓展】 (3)如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC,DE=EC,直线 AD和直线BE交于点F,直接写出∠AFB的度数和线段AD、BE间的数量关系 3/15 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 模型2.相似模型之“X”字模型(“8”字模型) 模型解读 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个 三角形相似， ①8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD;结论：△AOB∽△COD=ABCD=OAOC=OBOD。 证明：AB∥CD,∴.∠A=∠C,∠B=∠D,∴.△AOB∽△COD,ABCD=OAOC=OBOD。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB∽△DOC台ABCD=OAOD=OBOC。 证明：，∠A=∠D,∴.∠AOB=∠DOC,(对顶角).△AOB∽△DOC,ABCD=OAOD=OBOC。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD;结论：AE-BE-AB DF CF CD 证明：，AB∥CD,∴.∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,∴.△AEO∽△DFO, 同理可证：△BEO∽△CFO,△ABO∽△DCO,.AE_BE=AB DF CF CD ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD∽△BOC,△AOB∽△DOC=∠3=∠4： 4/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，∴.△AOD∽△BOC,∴.AOBO=DO:CO,即AODO=BO:CO; :∠AOB=∠DOC(对顶角)，.△AOB∽△DOC,.∠3=∠4。 模型运用 例1. (25-26九年级上山东济南期末)如图，在平行四边形ABCD中，连接DB,F是边BC上一点，连 接DF并延长，交AB的延长线于点E,且∠A=∠BDE, D (I)求证：△BDF∽△BCD; (2)如果BD=3√5，BC=9,AB=4,求DF的长. 例2.(25-26八年级上山东济南期末)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AC上 一点，G为AD上一点，（点G不与点A,D重合），且∠BEG=90,BG交AC于点F. B (I)请猜想BE与GE的数量关系，并说明理由. (②)求证：AF·FE=GF·BF. 例3.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6,E为BC的中点，F是 AB上一点，G为AD上一点，且BF=2,LFEG=60°，EG交AC于点H. G B (I)求CH的长； Q求SAo S△BE的值. 5/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4.(25-26九年级上·山东东营·期末)某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂 直的线段做了如下探究： E D A D B 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,且DE⊥CF,请你 判断D的值为 CF ②如图2，在矩形ABCD中，∠DBC=30,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD,求CE的 BD 值； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED的 延长线于点G,交AD的延长线于点F,且AD=2,DE=3,CF=4.求AB的长 模型3.相似模型之“AX”字模型(“A8”字模型) 模型解读 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型) ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型条件：如图1，DE∥BC; 结论：△ADEn△ABC,△DEF∽△CBF,台AD-AE_DE-DF-FE AB AC BC FC BF 证明：，DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴.△ADE∽△ABC,∴ADAB=AEAC=DEBC。 ·DE∥BC,∠FDE=∠FCB,∠DEF=∠CBF,∴△DEF∽△CBF,DE=DF-FE BC FC BF ·AD=AE-DE_DFFE AB AC BC FC BF ②两“A”+“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC; 6/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论：△DAFn△DBC,△CAF∽△CED,台1=1+L AF BC DE 证明：'AF∥BC,·∠DAF=∠B,∠DFA=∠DCB,△DAF∽△DBC,DF=AF DC BC :DE∥AF,·∠CAF=∠E,∠CFA=∠CDE,△CAF∽△CED,.CF=AF CD DE 两式相加得到：DF+CF-45+4F,即1=F+4F,故1=1+1 DCDC BC DE BC DE AF BC DE ③四A+“8”模型3条件：如图3，DE∥GF∥BC;结论：AF=AG,⊥+⊥=⊥=1=2 BC DE-AF-AG-GF 证明：同②中的证法，易证：1+1=1,111 BC DE AF'BC DE AG L=L,即AF=4G,故1+1=1=2。 AF AG BC DE GFGF 2 模型运用 例I.如图所示，BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,LDAP=∠CBP. B (I)求证：△ADP∽△BCP. (②)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形. (3)若AB=40,CD=20,DP=15,求AP的长. 例2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过D作DE⊥AB于点E,交AC于点F. D A E B (I)求证：aODF∽△0AD; Q诺f-子08=4，求0F及4E的长 例3.如图，直线1与O0相切于点A,AB是⊙0的直径，点C,D在1上，且位于点A两侧，连接BC, 7/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD,分别与OO交于点E,F,连接EF,AF. E D (I)求证：∠BAF=∠CDB; (2)若00的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长. 例4.(25-26九年级上山东青岛期末)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°，AD=8, BC=CD=6,BE⊥AD于点E.线段BE沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动，点M从点D出发沿 DA以每秒2个单位的速度向点A运动.连接AC交NP于点Q,连接MQ,设运动时间为t秒(0≤1≤4). B D 图1 图2 备用图 (I)如图1，连接AN、CP,当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形？ (2)设四边形CQMD面积为S,求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻t,使QC平分∠MQW?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型) 模型解读 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似 子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三 角形相似。 图1 图2 图3 图4 8/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD; 结论：△ABD∽△ACB,AB2=ADAC 证明：：∠C=∠ABD,∠DAB=∠BAC,△ADB∽△BAC,AD-B,AB2=ADAC AB BC 2)双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90P,CD⊥AB; 结论：△ACD∽△ABCn△CBD;CA2=ADAB,BC=BDBA,CD2=DADB. 证明：∠ACB=90P,CD⊥AB,∴.∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴.∠B=∠ACD, :∠A=∠A,△ACD∽△4BC,.AC-AD,AC2=ADAB.同理可证：BC2=BDBA,CD2=DADB. AB AC 3)“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABD∽△ECA; 证明：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB,.∠DBA=∠ACE,'∠D=∠CAE,∴.△ABD∽△ECA 4)共边模型 条件：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,LADB=∠DCB,结论：BD=BA·BC; 证明：，对角线BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD, :∠ADB=∠DCB,△ADB∽△DCB,AB_DB,BD'=BABC DB BC 模型运用 例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是边AB上的高且为2， A (1)求证：△ACD∽△CBD; (2)求AB的长. 例2.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，BE=FD,AF的延长线交BC的延长线于点 H,AE的延长线交DC的延长线于点G. 9/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△AFD∽△GAD. (2)如果DF2=CF.CD,求证：BE=CH. 例3.如图1，在四边形ABDE中，LABC=LBDE,点C在边BD上，且AC∥DE,AB∥CE,点F在边 AC上，且AF=CE,连接BF,DF,DF交CE于点G. y y F B B C C 图1 图2 图3 (I)求证：BF=DF; (②)如图2，若LACE=LCDF,求证：CE·CF=BF·DG; 如图3，若延长BF恰好经过点E,求C的值， CD 例4.马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边AD上的一个动点，连接AC,BE并交于点F; M D C BN B 图1 图2 图3 (1)若F、1 FC4则AE=一：若BE1AC,则AE=; 如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P为对角线AC(不与点A,C重合)上一动点，过点P作 MN⊥AC,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交AC于点E; (2)判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN长度的变化范围， 10/15