专题15 最值模型之胡不归模型阿氏圆模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“胡不归模型”“阿氏圆模型”两大最值问题核心考点，构建“模型原理-解题策略-真题演练-分层练习”系统架构，通过考点梳理（模型定义、关键步骤）、方法指导（构造转化技巧）、真题训练（典型例题解析）等环节，帮助学生突破中考几何最值难点。 亮点在于“模型化拆解”与“分层实战”策略，如胡不归模型通过构造三角函数转化kPA+PB为线段和，阿氏圆模型借助母子相似化归，培养学生几何直观与推理意识。设计“问题原型-探究过程-应用迁移”例题链，配合选择、填空、解答分层练习，确保高效复习，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15最值模型之胡不归模型阿氏圆模型模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.最值模型之胡不归模型 .1 模型2.最值模型之阿氏圆模型 … 15 习题练模型 24 例题讲模型 模型1.最值模型之胡不归模型 模型解读 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽 然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙 子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竞能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的 一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题 B 斜边c ∠A的对边a ∠A的邻边b 模型证明 动点P在直线MN外的运动速度为，在直线MN上运动的速度为V,且V<,A、B为定点， 点C在直线MN上，确定点C的位置使AC+BC的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。 V、V 1/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)构造射线4D使得sm∠D4Nk,CH=k,CHk4C,将问题转化为求BC+CH最小值 3)过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小 【解题关键】在求形如“PA+PB的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+PB”型问题 转化为“PA+PC型.（若>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型运用 例1. (25-26九年级上山东济南·期末)【问题引入】 如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且 BF=AE,连接AF,CE,求AF+CE的最小值 D 图1 图2 图3 图4 【问题解决】 (1)小明同学提出了以下思路：如图2，延长DA至点G,使得AG=AB,连接EG,当G,E,C三点 共线时，AF+CE最小 ①AF与EG的数量关系是 ②AF+CE的最小值为 【能力运用】 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)小涵同学发现，若将题目中的“BF=AE”改为“BF=2AE”,我们就可以求出 5AF+CE的最小值，面 图3，请求出4+C正的最小值，并说明理由。 【挑战自我】 (3)小晴同学又发现，当点E,F在矩形ABCD的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出 2AE+AF的最小值，如图4，点E,F在对角线BD上，BF=2DE,请直接写出2AE+AF的最小值 例2.【问题原型】如图所示①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2,P是线段BC上任意一 点，试探究PA+PB的最小值。 A 图① 图② 图③ 【问题探究】如图所示②，小明首先以BC为一边作∠CBM=30°.然后，作PH⊥BM,由三角函数的定义， 将PB转化为PH.于是求PA+PB的最小值就转化为求PA+PH的最小值.当点A、P、H在一条直线 上时，即可求出PA+PB的最小值。 2 以下是小明的部分求解过程： 过点B作射线BM使LCBM=30°，作PH⊥BM于H。 :∠ABC=30°， .∠ABM=∠ABC+∠CBM=60°。 在Rt△ABC中，AC=2, AB=AC =4, sin30° 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图所示③，在平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=8,P为边CD上的一点，直接写 出PB+三PD的最小值 【问题迁移】小明在此基础上想求解V+12+6-x的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直 3/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接写出最小值 例3.在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： G D D GC 图1 图2 图3 )【观察发现】如图1，在等边ABC中，AC=25,CD=BC,E,F分别是AB和AC上的动点，且 总有BE=AF,阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定DE+DF最小值的方法. :在等边ABC中，AC=2V5,CD=BC, ·点D为BC边上的中点，∠B=LACB. .AD⊥BC. 过点A作AG⊥AD,使AG=BD,连接GF. AG∥BC. .∠GAC=∠ACB=∠B. 又：AF=BE, aAGF≌aBDE(SAS). ∴GF=DE. 连接DG,DF,当D,F,G三点共线时，GF+DF的最小值等于线段DG的长. 连接GC,可证四边形ADCG是矩形， .DG=AC :DE+DF的最小值为- (2)【类比应用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，O为对角线的交点，M,N分别是AB,AD上的 动点，且总有BM=DN,连接OM,CN,求OM+CN的最小值. (3)【拓展延伸】如图3，矩形ABCD中，AB=√2，AD=2√2，E是AD的中点，F,G分别是BC和DC上 的动点，且总有BF=2DG,求EF+2AG的最小值， 例4.【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2,P是线段BC上任意一点，试探究 4/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA+PB的最小值. 【问题探究】如图②，小明首先以BC为一边作LCBM=30°.然后，作PH⊥BM,由三角函数的定义， 将PB转化为PH.于是求PA+号PB的最小值就转化为求P4+PH的最小雀.当点4、R、H在一条直线 上时，即可求出PA+PB的最小值. 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点B作射线BM使∠CBM=30°，作PH⊥BM于H :∠ABC=30 ∠ABM=∠ABC+∠CBM=60 在Rt△ABC中，AC=2 :AB= AC =4 sin30 求解过程缺 失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在口ABCD中，∠DAB=45°，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，直接写出 PB+5PD的最小值 并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点P的位置（保留作图痕迹）； 2 【问题迁移】小明在此基础上想求解V?+3+与6-)的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接 写出最小值 D 图① 图② 图③ 模型2.最值模型之阿氏圆模型 模型解读 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B,动点P满足PAPB=k(k为常数，且1）)， 那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆， 简称为阿氏圆。 模型证明 如图1所示，©0的半径为n点4、B都在⊙0外，P为⊙0上一动点，已知，kOB(即OP=k),连 OB 接PA、PB,则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 0 图 图2 图3 如图2，在线段0B上截取0C使0C-r(即OS=k)，:0 =k,..OP_OC OP OB OB OP :∠POC=∠BOP,△POCn△BOP,PC=k,即kPB=PC PB 故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1)；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一 内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点 轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆问题. 模型运用 6/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，0B的半径为2，P为0B上一动点，则PD+PC的最小 值为() A.6 B.5 C.4 D.25 例2.如图，在4BC中，AB=5,an∠C=2,则AC+5BC的最大值为一 B 例3.(1)如图1，在平面直角坐标系中，⊙0的半径为2，A4,0),B(0,3),C是00上的一个动点. O求BC+;AC的最小值： ②求号8C+AC最小值， (2)如图2，在平面直角坐标系中A(2,0),B(0,2), D行0，P是第一象限的一个动点，∠4PB=135, 求6PD+PB最小值. Y B A 图1 图2 例4.问题背景：(1)如图1，点A在⊙0上，0A=1cm,圆心0到直线BC的距离0D=3cm,BC=5cm ,求SMBC的最小值； 问题解决：(2)如图2，张伯伯家有一块长方形荒地ABCD,其中AB=60m,AD=40m,张伯伯打算在 这片空地的边AB,CD上分别取点E,F,修建一条笔直的小路EF.按照规划要求BE=3CF,过点D修 7/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 建小路DG,且DG⊥EF于点G,计划在△ABG内修建一个花园，在其余部分种植蔬菜，为了尽可能多种 植蔬菜，张伯伯希望花园的面积尽可能小，花园△ABG的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不 存在，请说明理由 A D A B D B 图1 图2 习题练模型 一、单选题 1.如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=4,BC=5,对角线BD=3,P为AD上一动点，Q为AB上 一定点，则5P9+3DP的最小值为() D P B A.12 B.15 C.16 D.18 2.如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P,且BP=√2.连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转 90°得到线段P9.连接C2,DQ,则DQ+2CQ的最小值为() D A.9 B.10 c.65 D.5√2+3 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4,AB=3,D是BC的中点，P为ABC内一动点，且满足 AP=2,则DP的最小值为一，CP+名BP的最小值为一 B 4.四边形ABCD为矩形，点E、F为CD、BC上两点，AB=nAD,AD=1. B D E C (1)当n=1,DE=CF,AE+AF的最小值为」 (2)当n=2,CF=2DE时，2AE+AF的最小值为 (3)当CF=nDE时，nAE+AF的最小值为 (用含代数式表示) 5.在R1△ABC中，∠4CB=90,4AC=4,BC=3,点D是ABC内一动点，且满足CD=2,则AD+2BD的最 3 小值 BD+AD的最小值， B 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4,CA=6,圆C半径为2，P为圆上一动点，连接 AP,BP,AP+)BP最小值—·BP+AP最小值」 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7.如图，在长方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，将四边形ABEF沿EF翻折，点B的对应点点 G恰好落在CD上，点A的对应点是点H.请从A、B两题中任选一题作答. G G B E A题 B题 A,若AB=BC=CD=DA=4,则BH+EF的最小值为 B.若AB=CD=3,AD=BC=6,则BH+2EF的最小值为 8.在ABC中，AB=4,∠C=45°， B 则(1)ABC的面积最大值是」 (2)√2AC+BC的最大值为一， 三、解答题 9.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4,CA=6,⊙C的半径为2，P为圆上一动点， 连接AP,BP,求AP+BP的最小值. 2 图1 图1备用图 图2 10/13 专题15 最值模型之胡不归模型阿氏圆模型模型 目录 1 模型1.最值模型之胡不归模型 1 模型2.最值模型之阿氏圆模型 15 24 模型1.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①，②；（2）的最小值为，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据矩形的性质证明即可； ②连接，由勾股定理求得，结合①的结论得，则当点，，共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，当点，，共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，则当点，，三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∵， ∴当点，，共线时，取得最小值为， 故答案为：； （2）解：的最小值为． 理由：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是转化思想的运用． 例2．【问题原型】如图所示①，在中，，，，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图所示②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 过点作射线使，作于。 ， 。 在中，， ， … 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图所示③，在平行四边形中，，，为边上的一点，直接写出的最小值________； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值________． 【答案】【问题探究】；【问题应用】；【问题迁移】6 【分析】本题考查了最短路径问题、三角函数的定义、点到直线的距离、平行四边形的性质，关键是通过构造直角三角形，将线段的和转化为点到直线的距离，利用“垂线段最短”求解． 【问题探究】将转化为垂线段，利用垂线段最短的原理，当点、、共线时，的最小值为的长度，再通过直角三角形的三角函数计算． 【问题应用】构造含角的直角三角形，将转化为点到射线的垂线段，则，当、、共线且射线时，即为最小值． 【问题迁移】将看作点到点的距离，看作该点到某射线的垂线段长度，构造几何模型后，垂线段的长度即为最小值． 【问题探究】解：过点作射线使，作于． ， ． 在中，， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 【问题应用】解：如图，过点作射线，使，过作于； 在中，，， ， ； 根据垂线段最短，当、、三点共线且时，取得最小值，即的长度； 四边形是平行四边形，，，， ； 故答案为：． 【问题迁移】解：如图，将看作点到点的距离，当点在点左侧时，看作点到点的距离的一半． 构造，作于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当、、共线时，最小值为点到的距离． 此时． 当点在点右侧时，. 综上，的最小值为． 故答案为：． 例3．在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： (1)【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． 在等边中，，， 点为边上的中点，． ． 过点作，使，连接． ． ． 又， ． ． 连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ． 的最小值为 ． (2)【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得四边形是矩形，从而得到； （2）类比第一问作辅助线，得出，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值，进而求解即可； （3）由和前述思路可以构造，所有延长到H，使，连接，从而，得到，连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：由作图可知，四边形是矩形， ∴， 的最小值为 ， 故答案为：． （2）解：如图，类比（1），过点D作，使，连接， ∴ 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． 连接，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值． 过点G作，交的延长线于点H． 在正方形中，为对角线， ∴ ∵ ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴在 中，， ∴的最小值为 ． （3）解：如图，延长到H，使，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值． ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短距离问题，涉及矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 例4．【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【答案】[问题探究] 见解析；[问题应用] ，尺规作图见解析；[问题迁移] 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形，勾股定理，掌握用转化的思想思考问题是关键． [问题探究]按照题中思路将过程补充完整即可解答； [问题应用] 过点作，交的延长线于点，有锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为; [问题迁移]根据题意画出图形求解即可， 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中， ， ， ， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值， 此时； [问题应用] 解：如图，过点作，交 的延长线于点， ，， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：； 尺规作图如下： 以点为顶点作，则，与的交点即为点， ； [问题迁移]解：如图，，， ， 令， 根据勾股定理可得， ，， ， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度， 连接， , ， ， 根据勾股定理可得， ， 即的最小值为， 故答案为：． 模型2.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，在上取一点，使得，只要证明∽，推出，再根据三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，在上取一点，使得，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴的最小值为5． 故选：B． 例2．如图，在中，，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：   ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：   ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 例3．（1）如图1，在平面直角坐标系中，的半径为2，，C是上的一个动点． ①求的最小值； ②求最小值． （2）如图2，在平面直角坐标系中，，P是第一象限的一个动点，，求最小值． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】（1）①连接，在上取一点M，使，连结，，   构造，根据三角形三边关系定理，勾股定理解答即可； ②连接，在上取一点N，使，连接，.得到，根据三角形三边关系定理，勾股定理解答即可； （2）以O为圆心，以为半径作，连接，在x轴的正半轴上取一点T，使，连接证明点P在以O为圆心，以为半径的上，证明，得到，根据三角形三边关系定理，勾股定理解答即可； 本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理，圆的性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）①如答图1，连接，在上取一点M，使，连接，，   ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是； ②如答图，连接，在上取一点N，使，连接，.   ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是. （2）如答图3，以O为圆心，以为半径作，连接，在x轴的正半轴上取一点T，使，连接 ∵，， ∴， ∴点P在以O为圆心，以为半径的上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 例4．问题背景：（1）如图1，点A在上，，圆心到直线的距离，，求的最小值； 问题解决：（2）如图2，张伯伯家有一块长方形荒地，其中，，张伯伯打算在这片空地的边，上分别取点，，修建一条笔直的小路．按照规划要求，过点修建小路，且于点，计划在内修建一个花园，在其余部分种植蔬菜，为了尽可能多种植蔬菜，张伯伯希望花园的面积尽可能小，花园的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）存在最小值平方米 【分析】（1）过点A作于点P，当点A在上运动到上时，最小,此时,得的最小值为5； （2）延长交延长线于点H，连接，根据，得，得，得，根据，知点G在以为直径的圆上运动，取中点O，连接，过G作于点M，连接，则，根据，当时最小，最小，根据，O是中点，得M是中点，得，得最小值为，即得存在最小值为平方米． 【详解】（1）过点A作于点P， ∵， ∴当点A在上运动到上时，最小， 此时， ∵， ∴的最小值； （2）如图，延长、交于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 取中点O，以O为圆心，作的外接圆，连接，过G作于点M，连接， 则， 要想使有最小值， 则可使最小即可， ∵，而为半径是定值， 要使最小， 则须使最小， 当时最小， ∵， ∴， ∵O是中点， ∴此时M也是中点， ∴， ∴， ∵， ∴（平方米）， 即存在最小值为平方米． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积问题、点圆最值问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质等内容，梯形性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 一、单选题 1．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质； 过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，证明∽，求出，可得，然后证明四边形是矩形，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当是与交点时，， 故的最小值为， 故选：B． 2．如图，在边长为4的正方形内有一动点P，且．连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．连接，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，如图，连接、，证明，得到，在以为圆心，为半径的圆上，在上取，连接，，求得，再证明，得到，则，的最小值为5．最后得到的最小值为． 【详解】解：如图，连接、， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段． ∴， ∴，， ∵边长为4的正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上， 在上取，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为5． ∴的最小值为， 故选：B． 二、填空题 3．如图，在中，是的中点，为内一动点，且满足，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用两点之间线段最短结合相似三角形和勾股股定理解答即可． 【详解】解：在中， 由勾股定理得，， 如图，连， ∵为的中点， ∴, ∵， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长, ∴的最小值为； ∵ ∴, 在上截取，如图， ∴， 又， ∴ ∴, ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 即最小值为的长, 在中，， ∴最小值为 ． 4．四边形为矩形，点E、F为上两点，，． （1）当，，的最小值为 ． （2）当，时，的最小值为 ． （3）当时，的最小值为 ．（用含代数式表示） 【答案】 / 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、利用轴对称求最短路径问题等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及最短距离的求解方法是解答的关键． （1）连接，证明得到，作D关于对称点，则A、F、共线时，最小值即长度，然后利用勾股定理求解即可； （2）连接，证明得到，进而同（1）方法求解即可； （3）同（2）方法求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵四边形是正方形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， 作D关于对称点， 则A、F、共线时，最小值即长度， ∵，，， ∴，， ∴， 即最小值为， 故答案为：． （2）连接， 由（1）知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作D关于对称点， 则A、F、共线时，最小值即长度， ∵，， ∴， 即最小值为， 故答案为：． （3）同上，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作D关于对称点， 则A、F、共线时，最小值即长度， ∵，， ∴． 即最小值， 故答案为：． 5．在中，，点D是内一动点，且满足，则的最小值 ．的最小值 【答案】 ； ． 【分析】如图，连接CD，在BC上取CE=，连结CD，ED．可证△DCE∽△BCD．可得DE=BD，当点A，D，E在同一条直线时，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，由CE=，CA=4，可求AE=即可；在CA上取点F，使CF=1，连结FD，BF，可证△FCD∽△DCA．可得FD=AD，当点B、D、F，在同一条直线时，BD+AD的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CB=3，根据勾股定理BF==即可， 【详解】解：①在BC上取CE=，连结CD，ED， ∵CD=2，BC=3， ∵ ∴ 又∵∠DCE=∠BCD， ∴△DCE∽△BCD． ∴， ∴DE=BD， ∴AD+BD=AD+DE， 当点A，D，E在同一条直线时，AD+BD的值最小， 在Rt△ACE中， ∵CE=，CA=4， ∴AE=， ∴AD+BD的最小值为． 故答案为：． ②如图，连接CD，在CA上取点F，使CF=1，连结FD、BF， ∵CD=2，AC=4， ∴， ∴， 又∵∠FCD=∠ACD， ∴△FCD∽△DCA． ∴， ∴DF=AD， ∴BD+AD=BD+DF， 当点B，D，F在同一条直线时，BD+AD的值最小， 在Rt△BCF中， ∵CF=1，CB=3， ∴BF==， ∴BD+AD的最小值为． 故答案为：； 【点睛】本题考查构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键． 6．如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值 ．最小值 ． 【答案】 ； ． 【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可． 【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD， ∵CP=2，BC=4， ， ∴， ∴， 又∵∠PCD=∠BCP， ∴△PCD∽△BCP． ∴， ∴PD=BP， ∴AP+BP=AP+PD， 当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小， 在Rt△ACD中， ∵CD=1，CA=6， ∴AD==， ∴AP+BP的最小值为． 故答案为： 在AC上取CE=，连接CP，PE ∵ ∴ 又∵∠PCE=∠ACP， ∴△PCE∽△ACP． ∴， ∴PE=AP， ∴BP+AP=BP+PE， 当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小， 在Rt△BCE中， ∵CE=，CB=4， ∴BD=， ∴BP+AP的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键． 7．如图，在长方形中，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点．请从A、B两题中任选一题作答． A．若，则的最小值为 ； B．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】选择A．如图，过点作于点，延长到点，使，连接交于点，连接、、，由翻折可得，再证得，即可推出，利用三角形三边关系可得，由于当点与点重合时，，此时的值最小，故的值也最小，运用勾股定理即可求得答案． 选择B．连接，，过作，交于，延长至，使，连接，可得，可证，从而，再证，可求，由当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】选择A．解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接交于点，连接、、， 四边形是正方形， ，， ， 垂直平分， ， 由翻折得，， ， ， ， 由翻折知， 又， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，，此时的值最小， 的值也最小， ，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 选择B．解：如图，连接，，过作，交于，延长至，使，连接，     ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， 由折叠得：，，，， ，， ， 即：， 在和中 ， ()， ； 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ； 当、、三点共线时，最小， 当时最小， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了以折叠为背景的线段最小值问题，折叠的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，作出辅助线是解题的关键． 8．在中， 则（1）的面积最大值是 ； （2）的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）过点O作于点E，延长交于点D，则，当点C与点D重合时，的面积最大，根据圆周角定理，特殊角的三角函数值解答即可； （2）解：作的垂直平分线，垂足为M，在垂直平分线上截取，则，连接，根据垂径定理的逆定理，得， 故，延长交于点F，连接，过点B作于点D，， 当最大时，取得最大值，延长交于点G，根据直径是圆的最大弦，得当点F与点G重合时，最大，此时， 故的最大值为． 本题考查三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，正切函数的应用，圆的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（1）设的外接圆为，连接， ∵ ∴ ∴ ∴， 过点O作于点E，延长交于点D， 则， ∴当点C与点D重合时，的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． （2）解：取的中点M，过点M作，且使得， 则， 连接，根据垂径定理的逆定理，得， 故， 延长交于点F，连接， 则， ， 过点B作于点D， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当最大时，取得最大值， 延长交于点G，根据直径是圆的最大弦，得当点F与点G重合时，最大， 此时， 故的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 9．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 10．【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键． 模型认知：根据题意可得依据为垂线段最短； 模型探究：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明是等腰直角三角形，则，据此可得答案； 模型应用：作，过点C作于D，则；由一次函数解析式可求得，则可证明，，故，；可证明，则当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线，据此求解即可． 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，， ∴的最小值为6． 11．问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $