专题14 最值模型之将军饮马模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“将军饮马模型”专题，覆盖双线段和差、多线段和、将军遛马等中考高频最值考点，按“模型条件-图形分析-结论推导-例题应用”架构知识体系，通过考点梳理、转化方法指导、分层真题训练，帮助学生系统突破几何最值问题难点。 亮点在于“模型化思维+动态转化”教学策略，如双线段和最小值中“作对称点转化为两点间距离”，培养几何直观与推理意识，多线段和最值通过“双对称点构造最短路径”发展创新思维。设置基础例题（等边三角形路径最短）、综合题（抛物线背景计算），配合即时反馈，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生解题策略与应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14最值模型之将军饮马模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.最值模型之将军饮马双线段和的最小值… 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 > 模型3最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 23 模型4.最值模型之将军遛马模型 36 习题练模型 .50 例题讲模型 模型1.最值模型之将军饮马双线段和的最小值 模型解读 条件：A,B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型(1)点A、B在直线m两侧： 模型(2)点A、B在直线同侧： 模型(1)点A、B在直线m两侧： 模型(2)点A、B在直线同侧： 图(1) 图(2) 1/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型(1)：如图(1)，连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型(2)：如图(2)，作点A关于定直线m的对称点A,连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最 小值即为：线段AB的长度。 模型运用 例1.(25-26八年级上山东潍坊·期中)如图，等边ABC中，BD平分∠ABC,点P、Q分别为AB、AD 上的点，且OD=3,BP=AQ=5,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为 例2.如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点， 则CP+PQ的最小值= 例3.(25-26八年级上山东青岛月考)已知0<x<2,求V1+x2+V1+(2-x)2的最小值 分析：如图，我们可以构造一个长方形ABCD,其中AB=1,BC=2,P是BC上的一个动点，设BP=x,则 PC=2-x,那么通过勾股定理可以用含x的式子表示AP,DP,问题可以转化为求AP与DP的和的最小值， 用几何知识可以解答， (I)AP+DP的最小值为_； (2)结合以上解题思路，求V9+x2+√9+y2的最小值.（其中x,y为两个正数，x+y=12)画出图形. 例4.(25-26八年级上·山东济南·月考)阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，A、B是直线I同侧的两个定点，问题：在直线1上找一点P,使PA+PB值最小 2/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法：如图②，作B点关于I的对称点B,连接AB交I于P点，则P为所求作的点. ·B B(3,2) 图① 图② 图③ 【模型应用】 如图③，若A、E两点在直线I同侧，分别过点A、E作AB⊥BD,ED⊥BD,C为线段BD上一动点，连 接AC、EC,已知AB=5,DE=3,BD=I5,设CD=x. (1)用含x的代数代表示AC+CE的长为 (2)图③中，当AC+CE的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由V2+1+x-3)+4=Vx-0+(0-1)2+Vx-3)2+(0-22可得代数式的几何意义：如图，建立平面直 角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则Vx-0)+(0-)2可以看成点P与点A(0,的距离， √x-3)+(0-22可以看成点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和， 它的最小值就是PA+PB的最小值 (3)求代数式Vx2-2x+10+√x2-8x+17的最小值. 模型2.最值模型之将军饮马双线段差的最大值 模型解读 条件：A,B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求APBP的最大值。 模型(1)：点A、B在直线m同侧： 模型(2)：点A、B在直线m异侧： 3/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 模型(1)：如图(1)，延长AB交直线m于点P,当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：P A-PB<AB,当A、B、P共线时，有PA-PB=AB,故PA-PBISAB,即AP-BP的最大值即为：线段AB的长 度。 模型(2)：如图(2)，作点B作关于直线m的对称点B',连接AB'交直线m于点P,此时PB=PB'。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：PA-PBI=PA-PB1<AB', 当A、B、P共线时，有PA-PB=PA-PB1=AB',故PA-PBISAB',即AP-BP的最大值即为：线段AB的长度。 模型运用 例1.如图，若ABC为等腰直角三角形，AC=BC=5,∠BCD=I5°，P为CD上的动点，则PA-PB的 最大值是 D B 例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-6,0,B(1,0)两点，与y轴交于点 C ○ (备用图) (1)求抛物线的解析式： 4/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)连接BC,点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D,点Q是抛物线对称 轴上一动点，连接PO、BQ,当PD取得最大值时，求点P的坐标及PQ-BQ的最大值： (3)在(2)中PD取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx+3沿射线AC方向平移得到新抛物线y,平移 后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线y上一动点，点H'是原抛物线顶点H的对应点，连接HH',将 线段HH'绕着点H'逆时针旋转90°得到线段HH”，,若∠HH"K=∠CAB+LOCB,请直接写出所有符合条件 的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. 例3.对于平面内的点T和图形M,给出如下定义：以点T为圆心，"为半径作圆.若T与图形M有公共 点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径”的最大值与最小值的差叫做点T视角，如图形M的点T视角， 记作dr-M· 图1 图2 图3 (1)如图1,0为坐标原点，P(0,4),Q(-3,4),则do-段Pe= (2)如图2，在菱形ABCD中，A2,0),B(6,0),∠CAB=60°，已知M(0,V3),求dM-菱形4cD: (3)如图3，E(0,-),F在第一象限且纵坐标为2，H是线段EF延长线上一点，且dH-载段r=35,则F的 坐标为 ,若点G为x轴负半轴上一动点，且点G的横坐标小于-1，则。-线段r的最大值为 例4.（24-25九年级上·重庆江北月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A, B两点，交y轴于点C,其中A0=C0=2B0 图1 图2 5/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式： (②)如图1，连接AC,点P是直线AC下方抛物线上的动点，点E是y轴上一动点，PD⊥AC于点D,当 PD取最大值时，求点P的坐标及此时能使得PE-AE取最大值的点E的坐标： (3)如图2，连接BC,将抛物线沿着射线BC平移2√5个单位得到新抛物线y,取在(2)中使PE-AE为最 大值时的点E,y上是否存在一点M,使得LMEA+∠BCO=45°？若存在，直接写出点M的坐标，若不存 在，请说明理由。 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型解读 模型(1)：两定点+两动点 条件：A,B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2)；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-2 图1-3 图2 模型(2)：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q,使三角形AP2的周长(AP+PQ+2A)最小。 图1-1 图1-2 图1-3 图2 模型(1-1)（两点都在直线外侧型） 如图(1-1)，连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型(1-2)（直线内外侧各一点型） 6/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图(1-2)，作点B关于定直线n的对称点B,连结AB,根据对称得到：QB=QB,故PA +PO+OB=PA+PO+OB', 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型(13)（两点都在直线内侧型） 如图(1-3)，作点B关于定直线n的对称点B',作点A关于定直线m的对称点A,连结AB' 根据对称得到：QB=QB',PA=PA',故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB', 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型(2)：如图（2)，作点A分别关于定直线m、n的对称点A'、A”,连结AB, 根据对称得到：QA=QA',PA=PA”,故故PA+PQ+QA=PA+PQ+QA', 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段AA'的长度。 模型运用 例1.如图，LA0B=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10,点M、N分别在OA,0B上.当△PMN周长最小 时，下列结论：①∠MPN等于120°；②∠MPN等于110°；③∠MPN等于100°；④△PMN周长最小值是5： ⑤aPMN周长最小值是10；⑥。PMN周长最小值是15.其中正确结论的序号是 例2.【问题发现】 (1)数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，再去河 岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关 于直线I的对称点B,连接AB与直线I交于C,点C就是所求位置 ●B A· D 图1 图2 图3 :直线1是点B,B的对称轴， 7/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CB=CB' .AC+CB=AC CB' 根据”可得AC+CB的最小值是AB' 【问题探究】 (2)如图3，在等边ABC中，AB=6,AD⊥BC,E是AB边上的一点，且AE=2,F是AD上的一个 动点，求△BEF周长的最小值； 【问题解决】(3)如图4，在四边形ABDC中，∠A=∠B=90°，AB=60,AC=50,BD=110,点E是 线段AB上的任一点，连接EC,以EC为直角边在AC下方作等腰直角三角形ECF,FE为斜边.CD边上 存在一个点G,且点G到BD的距离等于20，连接FG,△CFG的周长是否存在最小值？若存在，请求出 △CFG的周长最小值；若不存在，请说明理由. 图4 例3.1.【操作发现】如图1，ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，LDCE=30°，将线段CD绕 点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接AF、EF,请直接写出下列结果： ①∠EAF的度数为； ②DE与EF之间的数量关系为 【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与线段BC,CD相交于E,F(点E不与B, C重合，点F不与C,D重合)，且LEAF=45°. ①试判断线段BE,EF,DF之间的数量关系并说明理由： ②如图3，若E,F是BC,CD上的定点，点P是EF的中点，连接AP,作点E关于直线AB的对称点E ,作点F关于直线AD的对称点F,连接E'F',当4P=5,BE+DF=?时，在线段AB,AD上是否分别 存在M,N,使四边形MEFN的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由. 8/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D B B 图1 图2 图3 例4.如图①，在ABC中，LACB=90°，∠ABC=30°，AC=√3，D为ABC内部的一动点（不在边上）， 连接BD,将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°， 使点A到达点E的位置，连接CD、AD、AF、AE、EF、BF, B 图① 图② (I)求证：△BDA≌△BFE; (2)求CD+DF+FE的最小值： (3)当CD+DF+FE取得最小值时·求证：AD∥BF; (4)如图②，P,N,M分别是AE、AF、DF的中点，连接MP、NP,在点D运动的过程中，请判断 ∠MPN的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由. 模型4.最值模型之将军遛马模型 模型解读 将军遛马模型：己知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定 ,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）； 图1-1 图1-2 9/19 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作ACm,且AC-PQ,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移 PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 .PQ为定值，.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 .'ACm,AC=PQ,得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。.PA+QB=QC+QB, 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB,故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AEm,且AE=PQ,作B关于m的对称点B°，连接BE,交 直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ,PQ为定值，∴.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ,AEm,AE=PQ,得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴.PA+QB=QE+QB, 根据对称，可得QB'=QB,即QE+QB=QE+QB, 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB的最小值为EB',故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB'。 模型运用 例1.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马 【问题描述】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ A端点 P折点 图1 图2 【问题解决】 作点A关于直线的对称点，连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA+PB,当、P、B三点共线的 时候，PA+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 10/19 专题14 最值模型之将军饮马模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 7 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 23 模型4.最值模型之将军遛马模型 36 50 模型1.最值模型之将军饮马双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，等边中，平分，点P、Q分别为上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为11． 故答案为： 例2．如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用轴对称将转化为，将的最小值转化为点到的垂线段长度． 由、是中点可知是的对称轴，点关于的对称点为，故；根据垂线段最短，当、、共线且时，最小（即最小值为；利用的面积，分别以、为底计算，结合勾股定理求出的，可解得． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴是的对称轴，点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据垂线段最短，当、、三点共线且时，取最小值，即最小值为的长． 在中，，， 由勾股定理得：． ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 例3．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造一个长方形，其中，P是上的一个动点，设，则，那么通过勾股定理可以用含x的式子表示，问题可以转化为求与的和的最小值，用几何知识可以解答． (1)的最小值为 ； (2)结合以上解题思路，求的最小值．（其中x，y为两个正数，）画出图形． 【答案】(1) (2)画图见解析，最小值为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，二次根式的运算等知识点，正确利用转化的思想是解题的关键． （1）过点作关于的对称点，连接，则， 故当点三点共线时，取得最小值即为，再由勾股定理求解即可； （2）作长方形，使得，P是上的一个动点，设，，则，那么，然后同（1）作对称点求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，，， 设，则， ∴由勾股定理得，， 过点作关于的对称点，连接 ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为 ∴； （2）解：作长方形，使得，P是上的一个动点，设，，则，那么， ∴，，， ∴由勾股定理得，， 过点作关于的对称点，连接 ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为 ∴． 例4．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 模型2.最值模型之将军饮马双线段差的最大值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角的和差关系得到，根据轴对称的性质得到，，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，， 连接， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，有最大值 (3)，，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，过P作轴交于F，过D作于G，证明，得到，，设，推导出，则当最大时，最大；求出直线的表达式为，设，则，， ，利用二次函数的性质求得取最大值时的点P坐标；；再根据对称性质得到当A、P、Q三点共线时取最大值，进而求解即可； （3）先根据二次函数图象平移规则得到新抛物线的解析式，和顶点坐标，，再构造全等三角形求得 如图，过的轴，于E，于F，，利用锐角三角函数求得，分当K在直线上方时和当K在直线下方时分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过P作轴交于F，过D作于G， 则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，，， ∴， 则当最大时，最大， 当时，，则， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴； ∵点Q是抛物线对称轴上一动点， ∴， ∴，当A、P、Q三点共线时取等号， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，且，，，， ∴平移方式为将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴， ∴， 如图，过的轴，于E，于F， ∴， 由旋转性质得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，（，证明见后面，）， ∴ ∴ 当K在直线上方时，K与重合，则； 当K在直线下方时，，则， 设直线的函数解析式为，则，则， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，得， 解得（另一组解不符合题意，已舍去） ∴， 综上，满足条件的K的坐标为，． 注：证明， 如图，矩形中，，，，， 设，，， 则，， 在中，，， 在中，， 在中，，， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象的平移、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 例3．对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角，如图形的点视角，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则________； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，F在第一象限且纵坐标为2，H是线段延长线上一点，且，则的坐标为________，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为________． 【答案】(1)1 (2) (3)； 【分析】（1）根据定义可知，，再求解即可； （2）当经过点D时，，当与相切时，，利用勾股定理和解直角三角形求解即可； （3）由题易知，再根据两点距离公式代入即可求出F横坐标，的最大值为的最大值，作点E关于x轴对称点，，进而得解． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交y轴于点F，过M作于点M，过C作于点N，连接、， 由前述同理可知，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴F的坐标为； 设， ∵，， ∴，， ∴， 作E关于x轴对称点，则，连接，并延长交x轴于点， 由，可设直线解析式为， 有，解得， ∴直线解析式为， 令，得， ∴此时， ， ∴最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了圆的定义、坐标图形与性质、勾股定理、解直角三角形、菱形的性质等内容，正确理解题意是解题的关键． 例4．（24-25九年级上·重庆江北·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，其中． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，连接，点是直线下方抛物线上的动点，点是轴上一动点，于点，当取最大值时，求点的坐标及此时能使得取最大值的点的坐标； (3)如图2，连接，将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线，取在（2）中使为最大值时的点E，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点使，点的坐标为，，，， 【分析】（1）先求出，再根据得到，，代入计算即可； （2）过作轴于，交于点，通过等腰直角三角形得到，设，则，即可求出当时最大，此时，再根据，当、、三点共线时最大，求出； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，可得，再根据在下方和上方两种情况分类讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过作轴于，交于点， ∵， ∴， ∵轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， ∴直线解析式为 设， ∵过作轴于，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时最大，此时， ∵， ∴当、、三点共线时最大， 设直线解析式为， 代入，可得，解得， ∴直线解析式为， 令可得， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线 ∴将抛物线沿着向左移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度射得到新抛物线， ∴新抛物线解析式， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在下方时，取点，则，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为直线与抛物线的交点， 联立，解得， ∴，； 当在上方时，直线交与点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴设直线解析式为， 联立，解得， ∴，， 综上所述，存在点使，点的坐标为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数图象及性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与线段最值，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-2 图1-3 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-2 图1-3 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，可得的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，则，， ∴ 即的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即的周长的最小值为10， ∴①⑤正确， 故答案为：①⑤． 【点睛】此题考查轴对称——最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 例2．【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置． ∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值； 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）的周长最小值是；（3）存在；的周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）如图，过作于，连接，当三点共线时，，此时的周长最短，再结合等边三角形的性质与勾股定理计算即可； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，过作于，交于，证明，在直线上运动，当三点共线时，，此时线段和最小，可得的周长最小，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是． （2）如图，过作于，连接， ∵等边，，， ， ∴，，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，， 此时的周长最短， 而， ∴的周长最小值是； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，在直线上运动， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 当三点共线时， ，此时线段和最小， ∴的周长最小， 而此时， ， ， ∴， ∴的周长最小值为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的性质，平行线间的距离处处相等，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例3．１．【操作发现】如图，为等边三角形，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．请直接写出下列结果： 的度数为______； 与之间的数量关系为______． 【类比探究】如图，在正方形中，的两边分别与线段，相交于，点不与，重合，点不与，重合，且． 试判断线段，，之间的数量关系并说明理由； 如图，若，是，上的定点，点是的中点，连接，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，当，时，在线段，上是否分别存在，，使四边形的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】操作发现：①；②； 类比探究：①，证明见解析； ②存在，四边形的周长存在最小值为 【分析】操作发现：根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得的度数为； 根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得； 类比探究：延长至，使得，连接，则，依据，即可得出； 延长至，使得，连接，分析得到，结合，，即可得出，得到；连接交于，交于，连接，，根据，，即可得到四边形的周长为，再根据，，即可得到四边形的周长的最小值． 【详解】操作发现： 解：①的度数为，理由如下： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ，， ，即． 在与中， ， ， ． 为等边三角形， ， ． 故答案为：； 结论：，理由如下： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ． 在与中， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 线段，，的数量关系是：，理由如下： 如图所示，    将绕点顺时针旋转得到， ， ，，， ， ， ， ， ； 四边形的周长存在最小值为，理由如下： 如图，延长至，使得，连接，，， 由题可得，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 为的中点，为的中点， 又四边形为正方形，   ， 为的中垂线，为的中垂线， ，， 点是的中点， ， 又，， ， ，， ，且， ，，， ， ， 同理可得， ， 又，， ， ， 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接，， 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 为的中点，为的中点，    又四边形为正方形， ， 为的中垂线，为的中垂线， ，， 四边形的周长为 ，由①知：，且，， ， 当，，，在同一直线上时，四边形的周长有最小值，最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 例4．如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． (1)求证：； (2)求的最小值； (3)当取得最小值时求证：； (4)如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)最小值为 (3)详见解析 (4)的大小是为定值， 【分析】（1）由旋转知，、、，故由证出全等即可； （2）由两点之间，线段最短知、、、共线时最小，且最小值为，再由，，求出和，再由旋转知，，最后根据勾股定理求出即可； （3）先由为等边三角形得，再由、、、共线时最小，，最后，即证； （4）由中位线定理知道，，，，由≌得，即，再设，，则，，得，得． 【详解】（1）证明：由旋转可知：，，， 则、为等边三角形， ∴，，， ， ， 在与中， ， ； （2）解：两点之间，线段最短， 即、、、共线时最小， 最小值为， ，，， ， ， ， ， ． 的最小值为； （3）证明：，， 为等边三角形， 即， 、、、共线时最小， ， ， ， ， ， ； （4）解：结论：的大小是为定值， 理由：如图，连接， ，，分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， 且， 为等边三角形， 设，， 则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形旋转变换综合题，考查了全等的判定与性质，两点之间，线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，中位线定理，两点之间，线段最短求线段和最小值、用好全等三角形性质导角是证明平行及角度不变的关键 模型4.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 【详解】解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置． 例2．在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【问题呈现】如图1，内部有一点P，连接，求的最小值． 【问题解快】小明是这样做的：他将绕点C顺时针旋转得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因此． （1）由_______（数学依据）可知：的最小值与线段的_______的长度相等，此时_______ （2）【类比应用】如图2，在中，为内一点，连接，求的最小值． （3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中，米，米，规划部门计划在等腰区域种植花卉，其中是边上的两个动点，且始终保持．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；；；（2）；（3）米 【分析】（1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，根据两点之间线段最短可得当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，根据平角的定义可求出的度数； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，同（1）当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点E作交延长线于G，求出，则，进而可得，；由勾股定理得，则，即的最小值为； （3）过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形，则，，，，证明，得到，进一步证明米，推出是等腰直角三角形，则；可证明三点共线，由勾股定理得米，米，则点Q为的中点；证明是等边三角形，得到，则米；将绕点Q顺时针旋转得到，连接，同理可得的最小值为线段的长，据此求出的长，再利用勾股定理求出的长即可求出的长，进而可得答案． 【详解】解；（1）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∴此时； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图所示，过点E作交延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为； （3）如图所示，过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 在中，由勾股定理得米， 在中，由勾股定理得米， ∴，即点Q为的中点； ∵， ∴， 又∵米， ∴是等边三角形， ∴， ∴米； 如图所示，将绕点Q顺时针旋转得到，连接， 同理可得，的最小值为线段的长， 由旋转的性质可得米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于通过旋转把三条不在一条直线上的三条线段转换到一条直线上． 例3．（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，的最小值为300，的长为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质． （1）连接，由旋转的性质得到，，，再由勾股定理得即可解答． （2）连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，，当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，过点作于点H，交于点M，证得为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到，米，则，再根据勾股定理得的值，设交于点N，过点B作于点Q，易证，即可解答． 【详解】解：（1）如图①，连接． 根据小明的思路可知，，，则． ∵，， 在中，， 当C，P，，E四点共线时取得最小值，的最小值为． （2）存在．∵点A，关于对称， 米， 点在以点E为圆心，50米为半径的圆弧上． 如图②，连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧． 由（1）同理可得，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，， 为等边三角形， ， ∵， 米． 当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，最小值为，此时点为与弧的交点． 过点作于点H，交于点M． ∵， 为等边三角形， 米． ∵，， ， （米）， 在中，（米）． 易得米，米， 则（米），（米）， 在中，（米）， （米）， 的最小值为300． 设交于点N，过点B作于点Q． ， ， ，即， 米，米， 米， ， ， ， ， 米， 易知当取得最小值时，， 在中，（米）． 答：的最小值为300，此时的长为米． 例4．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 【答案】(1)5 (2)①10，②2 【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题． （1）为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，利用题中模型得到，最短，此时，利用对称的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，利用对称的性质得到周长为的长，根据两点之间线段最短可判断此时周长最小，最小值为的长，再证明为等边三角形，得到，从而获解； ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，同样方法判断此时的值最小，最小值为，再证明为等边三角形，得到，从而得到的值最小值． 【详解】（1）解：如答图①，为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，如答图①，则最短，此时． 平分， ． 在中，， 即的最小值为5． （2）解：①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图②， 则， 周长， 此时周长最小，最小值为的长． ， ， ， 为等边三角形， ， 即周长的最小值为10， 故答案为：10． ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图③， 则， ， 此时的值最小，最小值为． ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即的值最小为2， 故答案为：2． 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据四边形是平行四边形，，即可判断①正确；设，由，易知，通过四边形是平行四边形，，，由平移坐标规律，易得，则轴，且四边形是正方形，进而得，，，，故②③正确；点在直线上，最小值是点到直线的距离，即，故④正确；当值从小变大时，一直变小，故⑤是错误的． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故①正确； 设，其中， 由，且， 易知，点在第二象限角平分线上， 又四边形是平行四边形，，， 由平移坐标规律，易得， 则轴，且四边形是正方形， 是点到轴的垂线段 ， ，， ， 故②③正确； 点在直线上，四边形是平行四边形， ， 最小值是点到直线的距离，即， 故④正确； 当值从小变大时，，一直变大，则一直变小， 故⑤是错误的； 综上所述，只有⑤是错误的，结论中，错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的性质，旋转的性质，直角坐标系中坐标平移、旋转变换的规律等，灵活运用以上知识点、设关键点的坐标是解题的关键． 3．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 【答案】D 【分析】本题考查圆的综合应用．作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，此时，最小，最小值为，根据轴对称的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值；若是的切线，则，在 中，勾股定理求出，根据，即可求出；根据，得出当的面积最小时，的面积最大，过点E作，得出，根据相似三角形的性质求出，根据当底边上的高最小时，的面积最小，求出面积的最小值为，即可求出的面积最大值为；设，则，根据，即可得出当时，的值最小，最小值为 34． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示， 此时，最小，最小值为， ∵矩形中，，， ， ， ∴的最小值是：，故A正确； 若是的切线，则， 在 中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故B项正确； ∵， ∴当的面积最小时，的面积最大， 在中，， 过点E作， 则， ∴， 即， 解得：， ∵底边为，故当底边上的高最小时，的面积最小， ∴当与重合时，的面积最小， 此时，， 即面积的最小值为， 则的面积最大值为，故C项正确； 设，则， 则 ， ∴当时，的值最小，最小值为 34，故D项错误． 故选：D． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 4．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 二、填空题 5．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题： 几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为 ； 几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键； 几何应用1：连接，由题意易得，则点B、C关于线段对称，然后可得当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，进而问题可求解； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，由题意易得，，，，然后同理可得的最小值为线段的长，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：几何应用1：连接，如图所示： ∵是边长为2的等边三角形，D，E分别是、的中点， ∴， ∴点B、C关于线段对称， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，如图所示： ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：的最小值为线段的长， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 6．如图，中，， ，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则： （1）的最小值为 （2）周长的最小值为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质； （1）作于H，于J．证出，得到，点N的运动轨迹是直线，该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，作于G，当时，根据求出结果即可； （2）结合（1）作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，在中，利用勾股定理，计算即可． 【详解】解：如图，作于H，于J． ∵ ， ∵于H， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，该线直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． （1）当时，取最小值为； （2）在中， ， ∴的周长的最小值为． 故答案为：，． 7．阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 8．如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】求的最小值：利用轴对称的性质，作点关于的对称点，将转化为，再根据两点之间线段最短，求出的长度即为最小值．求 的最小值：通过作辅助线构造矩形和全等三角形，确定点的运动轨迹是一条垂直于的直线，再根据垂线段最短，求出点到该直线的距离即为最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，连接、、，过作，交延长线于， ∵点与关于对称， ∴，，． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． 在中， ， ∵， ∴的最小值为． 过作于，过作于． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴(AAS)． ∴， ∴即点在过点且垂直于的直线上， 当时，取最小值． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握轴对称求最短路径和确定动点轨迹的方法是解题的关键． 三、解答题 9．几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 10．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．      【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．    ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 【答案】（1）①13②（2）①100②见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，利用轴对称求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）①直接利用结论求解即可；②作点关于的对称点，连接，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为13．    故答案为：13. ②如图，同法①可得：的最小值为：；    故答案为： （2）①∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（1）中结论可得：的最小值为：； ②作点关于的对称点，连接，    则：，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为100． 11．阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则（可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，．所以由勾股定理得．即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题， (1)代数式的值可以有成平面直角坐标系中点与点，点的距离之和，求点的坐标， (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)点的坐标为：； (2)代数式的最小值． 【分析】本题考查了了轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题的关键是根据题中所给的材料画出图形再利用数形结合求解． （1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，再根据勾股定理描出各点，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和， ∴点的坐标为：． （2）解：∵， ∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 如图所示，设点关于轴的对称点为，则， ∴的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 12．在平面直角坐标系中，设点是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积，若的最大值为m，的最大值为n，则为图形Ｗ的测度面积． 例如，若图形W是半径为1的．当P，Q分别是与x轴的交点时， 如图1，取得最大值，且最大值；当P，Q分别是与y轴的交点时， 如图2，取得最大值，且最大值．则图形W的测度面积． （1）若图形W是等腰直角三角形． ①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积____________； ②如图4，当轴时，它的测度面积____________； （2）若图形W是一个边长为1的正方形，画出示意图，并写出此图形测度面积S的最大值； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形，求它的测度面积S的取值范围． 【答案】（1）①1；②1；（2）画图见解析，测度面积S的最大值为2；（3） 【分析】（1）由测度面积的定义利用它的测度面积求解即可； ②利用等腰直角三角形的性质求出，，利用测度面积求解即可； （2）先确定正方形有最大测度面积时的图形，即可利用测度面积求解． （3）分两种情况：当，或，都在轴上时，当顶点，都不在轴上时分别求解即可． 【详解】解：（1）①如图3， ，点，在坐标轴上， 它的测度面积， 故答案为：1． ②如图4， 轴，． ，， 它的测度面积， 故答案为：1． （2）如图5，图形的测度面积的值最大， 四边形是边长为1的正方形． 它的测度面积的最大值为； （3）设矩形的边，，由已知可得，平移图形不会改变其测度面积的大小，将矩形的其中一个顶点平移至轴上， 当，或，都在轴上时，如图6，图7， 矩形的测度面积就是矩形的面积，此时． 当顶点，都不在轴上时，如图8，过点作直线轴于点，过点作轴于点，过点作直线轴，分别交，于点，，则可得四边形是矩形， 当点，与点，重合时，的最大值为，的最大值为． 图形的测度面积， ，， ， ， ， ， 设，，，则，， 在中，， ， 即， ， ， 在和中， ， ，， 图形的测度面积 ， 当时，即时，测度面积取得最大值， ，， ， ， 综上所述：测度面积的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形以及用二次函数求最值等知识，解题的关键是正确的确定矩形的最大值，的最大值． 13．如图，已知抛物线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过作交于点，点为轴上一点，连接，当取的最大值时，求的最大值； (3)将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线为轴上一点，连接，将线段绕点旋转，旋转后点对应点为，且恰好落在新抛物线上，请写出所有符合条件的点的坐标，并给出其中一个点的求解过程． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）将抛物线与轴的交点、坐标代入解析式，建立关于、的方程组，求解得到抛物线解析式． （2）先求直线、的解析式，设点坐标，利用构造相似三角形表示点坐标，用线段长度公式表示并求最大值；再利用“三角形两边之差小于第三边”求的最大值． （3）先通过勾股定理确定射线的平移距离（横、纵坐标变化量），得到新抛物线解析式；设点坐标，利用旋转的“横纵距离互换符号变化”表示点坐标，代入新抛物线解析式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线中，当时，， ∴， 设直线：，代入、得 ， 解得，， ∴直线：， 设直线：，代入、得 ， 解得，， ∴直线：， 设（）， 过作轴于，过作于，延长交轴于点， ∴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴， 当时，最大，此时， ∴，即． 对于轴上的点，由三角形三边关系：（当在的延长线与轴交点时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为； （3）解：在中，∵，，， ∴， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线即抛物线向右平移个单位、向上平移个单位得新抛物线 ∵原抛物线， ∴抛物线顶点为， ∴射线平移个单位后，得新抛物线的顶点为，即， ∴新抛物线，即． 设，将绕旋转得，分两种情况： ①顺时针旋转， 到，横移，纵移； 旋转后，到的横移为，纵移为， ∴即． 代入：， 化简得， 解得， ∴或． ②逆时针旋转： 到，横移，纵移； 旋转后，到的横移为，纵移为， ∴． 代入：，化简得， 解得， ∴或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解、一次函数的图像与性质、相似三角形的判定与性质、三角形三边关系、图形的平移与旋转坐标变换．熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的构造、图形变换的坐标规律是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $