专题13 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“解直角三角形实际应用”专题，覆盖背靠背、叠合、拥抱三大核心模型，通过模型定义、等量关系梳理、中考真题解析构建知识体系，设计考点分类、方法归纳、分层训练环节，帮助学生系统突破应用难点。 亮点在于以模型为载体培养数学眼光与模型意识，如总结“公共边”关键等量关系，结合风力发电、手机支架等生活实例设计例题，配套选择、填空、解答分层练习，助力教师精准把控复习节奏，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

专题15 解直角三角形之实际应用模型 目录 1 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 1 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 6 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 13 20 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（25-26九年级上·山东威海·期末）风力发电因其可再生、零排放的特性，已成为绿色能源的重要支柱．某风力发电风车三个叶片两两所成的角为，风车的塔杆与地面垂直，当叶片与塔杆叠合时，在地面处，测得塔杆顶部的仰角，测得叶片的外端的仰角，，求该风车叶片的长度．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用勾股定理求出，根据三角形内角和定理可知，由等角对等边可知，过点作，根据等腰三角形的性质可知，利用的余弦求出的长度，即可得到的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 如下图所示，过点作， 则有， ， ， ， ． 例2．（25-26九年级上·山东德州·期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线，与地面的夹角分别为，，点，分别为视线，与车窗底部的交点，，与地面垂直，点到点的距离． （参考数据：） (1)车窗底部到地面的高度的长为_____； (2)求盲区中的长度． 【答案】(1) (2)盲区中的长度为 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定和解直角三角形的实际应用，掌握相关知识点是解题的关键． （1）可知为直角三角形，根据，由可得，即可求解； （2）由题意可知四边形是矩形，则，在中， 由可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在，中， 由，可得， 车窗底部到地面的高度的长为． （2）解：由题意可知四边形是矩形， ， 在中，， 由，可得． 答：盲区中的长度为． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． (1)求右侧步道的长度； (2)两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 【答案】(1)50米 (2)78.8米 【分析】本题考查了解三角形的应用，包括已知正余弦值求解边长，解决本题的关键是熟练掌握正弦与余弦的计算． （1）根据角B的正弦值可求解的长，由此可求解的长度，即可求解的长度； （2）先求解和的长度，由此可求解的长度． 【详解】（1）解：在中，米，， ． ， ． 在中， 答：右侧步道的长度为50米． （2）解：在中，． 在中，， ． 答：的长约为78.8米． 例4．（25-26九年级上·山东威海·期末）近年来，威海千里山海自驾旅游公路成为了人们旅游观光的火热线路，沿着蜿蜒的环海路，风车错落有致地排列在海岸线，成为了游客拍照打卡的靓丽风景．周末数学兴趣小组的同学们携带卷尺、测角仪等工具来到风车附近，开展了探究风车塔杆高度的综合与实践活动．他们在距离塔杆60米（即米）的点处安放测角仪（测角仪高度米），当叶片所在直线恰好与地面垂直时，测得叶片的末端点的仰角为．同学们发现塔杆底部的标识牌上注明了此风车每个叶片的长度均为20米，三个叶片之间的夹角均为，请根据以上数据信息求出风车塔杆的高度．（参考数据：，） 【答案】风车塔杆的高度为59.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 先证明四边形为矩形，，则， 中解直角三角形得到， ． 中，解直角三角形求得，进而可求解． 【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，过点E作水平面的垂线，垂线与交于点P，过点C作的垂线与交于点F， ∵， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， 中，，， ∴， ． ∵，， ∴， 中，，， 由，得， ∵， ∴， ∴风车塔杆的高度为米． 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 叠合模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为，在楼顶A处测得塔顶的仰角为，求塔高的高及大楼与塔之间的距离的长．（参考数据：，） 【答案】塔高是32米，大楼与塔之间的距离的长为40米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角的问题，过点A作于点E，由题意可知：，，，设大楼与塔之间的距离的长为x米，则，分别在中和中，用x表示出和，利用，得到有关x的方程求得x的值即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 由题意可知：，，， 设大楼与塔之间的距离的长为x米，则， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 答：塔高是32米，大楼与塔之间的距离的长为40米． 例2．（25-26九年级上·山东东营·期末）圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为米． (1)求的度数． (2)求表的长（最后结果精确到米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)47°； (2)米． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义并建立方程是解题的关键． （1）利用三角形外角的性质，通过已知的和的度数，计算出的度数． （2）设表的长为米，在和中，分别用正切函数表示出和的长度，再根据米的关系，建立方程求解． 【详解】（1）解：∵是的外角， ∴−， ∵，， ∴−； （2）解：设米 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（米） 答：表的长米． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，、、三点共线，支杆与立杆之间的夹角为，且点距离地面的距离为，求此时滑动悬杆的长； (2)调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，如图3所示，求此时点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查可解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． （1）过点作，垂足为，利用解直角三角形求出，根据即可求出答案； （2）过点作，过点作，过点作，根据求出，即可求出，得到点到地面的高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 点距离地面的距离为，即 在中，， ， （2）过点作，过点作，过点作， ， ， ， 在中， ， 在中， ， 点到地面的高度为 例4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱连接（垂直于，垂足为H），在B，C处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变的长度，使得支架绕点A旋转，从而改变的形状，以此调节篮板的高度，但调整过程中四边形始终是平行四边形）．已知，测得时，点C离地面的高度为，调节伸缩臂，将由调节为，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（结果保留根号） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，由四边形是平行四边形，可得，当时，则，当时，则，解两次，求出比较即可． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于， 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而， ∴点C离地面的高度升高了， ∴升高的高度为：， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为的河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） (1)求鱼线的长度； (2)鱼上钩时，鱼线变短了______米． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题； （1）过点作于点，作于点，得到四边形为矩形，推出，根据，设，则，利用勾股定理求得，最后利用，求得，即可求解； （2）过点作于点，于点，得到四边形为矩形，，根据，可求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴ ∵河堤的坡度为 ， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴鱼线的长度为； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∴， ∴鱼上钩时，鱼线变短了米， 故答案为：． 例2．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，） (1)求液压杆顶端到底盘的距离的长； (2)求的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． （1）根据，即可求解； （2）利用，再利用，问题得解． 【详解】（1）解：∵液压杆与底盘夹角为，，，， ∴在中，（米）， 即的长为米； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴（米）， 即的长为米． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）小明班的数学课外活动小组进行校外研学活动，他们准备测量某建筑物的高度．如图，先将无人机升至距离地面垂直高度为25米的点处，测得建筑物最高点的仰角为，再将无人机上升15米到达点的正上方点处，此时测得建筑物最低点的俯角为，已知点在同一平面内，求建筑物的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】41.9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，理解题意，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 延长交地面于点，作交的延长线于点，先证明四边形是矩形，得到，，由题意得，，分别解和，求出和的长，再利用线段的和差求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，延长交地面于点，作交的延长线于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． 答：建筑物的高度为41.9米． 例4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）【问题情境】 孟庙有一处著名景观“寿龟卧柏”：在康熙御碑西南侧的柏树上长出一个树瘤，因其形态神似寿龟向上攀爬而得名．某学校教师带领学生到孟庙进行项目式学习，指导学生使用手机上的某款测量仪进行测量活动，并了解该测量仪的数学原理． 【问题提出】 以下是该测量仪的测量树瘤高度的步骤： 第一步：站直身体，将手机放于眼睛前方，将物体全貌（树干上从根部到树瘤的部分）包含于镜头内，并输入身高值，目的在于用身高作为镜头高度的近似值； 第二步：保持手机高度不变，倾斜手机，使手机对准物体底部（柏树根部），按下拍摄按钮，会记录此时镜头视线和水平视线的夹角； 第三步：保持手机高度不变，倾斜手机，使手机对准物体顶部（树瘤），按下拍摄按钮，会记录此时镜头视线和水平视线的夹角． 经过以上三步操作，该测量仪会自动给出树瘤高度的值，请据此分析并解决下面的问题． 【问题解决】 （1）请推导该测量仪测量树瘤高度的数学原理：用含和的式子表示树瘤的高度； （2）若输入身高值为，俯角，仰角，请计算树瘤高度． （3）在前两问求出树瘤高度的基础上，教师继续引导学生使用该测量仪测量树瘤与柏树顶部之间的距离，学生所站的位置不变，第一步输入的身高仍为，在第二步操作时将手机对准树瘤，得到镜头视线和水平视线的夹角，在第三步操作时将手机对准柏树顶部，得出镜头视线和水平视线的夹角，经过以上三步操作，该测量仪会自动给出树瘤与柏树顶部之间的距离的值，请推导得出该测量仪的测量树瘤与柏树顶部之间距离的数学原理：用含和的式子表示树瘤与柏树顶部之间的距离． 【问题反思】 （4）由于（3）中测量的数学原理与（1）中测量的数学原理不同，所以使用该测量仪测量物体高度前，需要使用者在“物体落地”或“物体不落地”两种模式中进行选择，这是运用了什么数学思想？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）分类讨论． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据得到，根据得到，根据计算即可； （2）将代入（1）中结果计算即可； （3）由（1）可知，，根据得到，进而根据计算即可； （4）使用者在“物体落地”或“物体不落地”两种模式中进行选择，运用了分类讨论数学思想． 【详解】解：（1）在中，， ． ， ． 在中， ， ． ， ． ． （2）当时，． （3）由（1）可知，． 在中， ， ． ， ． ． （4）使用者在“物体落地”或“物体不落地”两种模式中进行选择，运用了分类讨论数学思想． 一、单选题 1．如图①是门锁的局部图，如图②是其示意图，门把手为，点到门框的距离为，且．当握住门把手顺时针旋转时，点到达点的位置，此时点到门框的距离为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，，垂足分别为点，则可得四边形为矩形，那么，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：延长交于，过点作，，垂足分别为点 ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：A． 4．如图，三个长度相同的梯子在墙面的同侧，它们依次以倾斜的方式斜靠在一起，现测量得的长度为米，则梯子的长度为（   ）米． A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 作交延长线于，作于，则，根据三角形内角和定理以及角的和差求出，在中利用三角函数的知识得到，，设米，进而表示出、和的长，结合列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，作交延长线于，作于， 则， 由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 设米，则米，米， ∵， ∴是等腰直角三角形，米，米， ∵， ∴， 解得， ∴米， 即梯子的长度为米． 故选：C． 5．如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数求出，在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 二、填空题 6．为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练．如图，消防车的云梯可以绕点转动，且可伸缩，离地面的距离米，当云梯顶部在大楼所在直线上时，离大楼的距离米，，此时顶端离地面的距离 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据，，，即可求解． 【详解】解：依题意，四边形是矩形， ∴， 在中， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交延长线于，可得，，利用的三角函数得出米，设米，则，利用的三角函数列分式方程，求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于，则， ∵太阳光与水平面的夹角为，斜坡部分的坡角为， ∴，， ∵米， ∴（米）， 设米，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴大树的高为． 故答案为： 8．某公园有一秋千如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差米，假设秋千的绳索拉得很直．则秋千绳索的长度是 米．（请用含和的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，由得即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，在中，， ∵，， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 9．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）    【答案】18 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：18． 三、解答题 10．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图，是某同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且垂直，平行（点C，D，，在同一条直线上）．经测量得，铁架台与水槽之间的水平距离，，时，请求出铁夹子E点距离水平面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】铁夹子点距离水平面的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，构造直角三角形是解答的关键． 过点作于点，作于点，在中，解直角三角形求得，．再证明四边形是矩形得到，，根据等腰直角三角形的判定与性质得到，，进而可求解． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由已知可得：， ． 在中， （cm）， ． 又 ∴四边形是矩形 ， ，， ， 答：铁夹子点距离水平面的高度约为． 11．某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量．为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向．现测得灯塔A位于点D北偏西方向，灯塔B位于点C北偏东方向．已知m． （参考数据：，，，，，） (1)分别求点C距离灯塔A的距离和点D距离灯塔B的距离； (2)求A，B两座灯塔间的距离． 【答案】(1)点C距离灯塔A的距离为，点D距离灯塔B的距离为 (2)A，B两座灯塔间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确理解题意是关键． （1）在和中，根据三角函数的定义求解即可； （2）连结，过点A作于点E，先证明四边形是矩形，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向， ，， ， ，， ，， （m），（m）， 点C距离灯塔A的距离为，点D距离灯塔B的距离为； （2）解：连接，过点A作于点E， ，， 四边形是矩形， ，， （m）， （m）． ，B两座灯塔间的距离为． 12．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知于点，于点，于点．若分米，．（参考数据：） (1)求的长． (2)碓工作时举起到最高处如图3所示，此时，求点上升的高度． 【答案】(1)分米 (2)分米 【分析】本题考查了角的和差，解直角三角形的计算，角平分线性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用角的和差推出，再根据求解，即可解题； （2）作于点，根据角平分线性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，分米， ∴分米． （2）解：作于点， 由题意得，点上升的高度为的长． ∵此时， ∴， ∵，， ∴分米． 13．如图1是某地的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图．在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上的铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于桥面（即）．测角仪、在两侧．，点与点相距（点，，在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点的仰角为，在处测得铁塔顶点的仰角为，，．图中所有的点都在同一平面内．求铁塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接交于点，则，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：连接交于点，则， 由题意得：，， 设，则， 在中，， ． 在中，， ， ，解得，则， ， 铁塔的高度为． 14．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． （参考数据：） (1)如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点D作交于点，过点C作，交于点K，交于点H，则，，得，由得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，垂足为E， ， ， 在中，， ， ， ， 端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作交于点，过点C作，交于点K，交于点H， 由题意得，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15解直角三角形之实际应用模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型… 1 模型2.解直角三角形模型之叠合模型… 6 模型3解直角三角形模型之拥抱模型 .13 习题练模型 …20 例题讲模型 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 模型解读 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形求解，其 中公共边（高）CD是解题的关键。 A E D F E 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB;如图2，CE-DA,CD=EA,则CE+BD=AB: 如图3，CD=EF,CE=DF,则AD+CE+BF=AB;如图4，DE=BF,BD=EF,则AE+EF=AF; 如图5，BE-CF,CE=BF,则AE+EB=AB。 模型运用 例1.(25-26九年级上·山东威海期末)风力发电因其可再生、零排放的特性，己成为绿色能源的重要支柱 某风力发电风车三个叶片两两所成的角为120°，风车的塔杆OE与地面垂直，当叶片OA与塔杆OE叠合时， 1/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在地面D处，测得塔杆顶部O的仰角∠ED0=45°，测得叶片OB的外端B的仰角LBDE=75°，ED=90m, 求该风车叶片OB的长度.（参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321，结果精确到 0.1m) B C D 例2.(25-26九年级上山东德州期末)汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能 直接观察到的区域.如图，ABC,△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，己知视线PB,PE与地面BE的 夹角分别为∠PBE=43°，∠PEB=20°，点A,F分别为视线PB,PE与车窗底部的交点，AF∥BE, AC,FD与地面BE垂直，A点到B点的距离AB=1.6m. (参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4) D BE M (①)车窗底部到地面的高度AC的长为m; (2)求盲区中DE的长度. 例3.(25-26九年级上山东聊城期末)某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶， 观望台AM的高为3.04米，如图所示.左侧步道AB的长度为42米，倾斜角为38°，右侧步道DE的倾斜角 为28°，支架AC,NF都与地面垂直，AN,MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为2米（点B,C,F,E 在同一条直线上)· D M B CF E (I)求右侧步道DE的长度； (②)两步道的底端分别为B,E,求BE的长.（结果精确到0.1.参考数据： 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin38°≈0.62，c0s38°≈0.78，tan38°≈0.78，sin28°≈0.46，c0s28°≈0.88，tan28°≈0.52) 例4.(25-26九年级上·山东威海·期末)近年来，威海千里山海自驾旅游公路成为了人们旅游观光的火热 线路，沿着蜿蜒的环海路，风车错落有致地排列在海岸线，成为了游客拍照打卡的靓丽风景.周末数学兴 趣小组的同学们携带卷尺、测角仪等工具来到风车附近，开展了探究风车塔杆高度的综合与实践活动.他 们在距离塔杆60米（即BD=60米）的点B处安放测角仪（测角仪高度AB=1米），当叶片C所在直线恰好 与地面垂直时，测得叶片的末端点E的仰角为58°.同学们发现塔杆底部的标识牌上注明了此风车每个叶 片的长度均为20米，三个叶片之间的夹角均为120°，请根据以上数据信息求出风车塔杆的高度.（参考数 据：sin58°≈0.85，c0s58°≈0.53，tan58°≈1.6，√3≈1.7) E bca 582A B 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 模型解读 D 图1 图2 图3 图4 叠合模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共 边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC-AC;如图2，BC为公共边，DCBC=DB; 如图3，DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC;如图4，AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE。 B B D 图5 图6 图7 图8 图9 3/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图5，BE+EC=BC;如图6，EC-BC=BE;如图7，AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG; 如图8，BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG; 如图9，BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG。 模型运用 例1.(25-26九年级上山东威海·期末)如图，大楼AB高16m,远处有一塔CD,某人在楼底B处测得塔 顶C的仰角为38.5°，在楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD的高及大楼与塔之间的距离BD的长。 (参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，c0s38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80) B D 例2.(25-26九年级上山东东营·期末)圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气 的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称 为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日 影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC, 己知该市冬至正午太阳高度角（即LABC)为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC)为84°，圭面上冬至线 与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米 夏至 冬至◆ 冬至正午阳光 夏至正午阳光 表 南 日影 圭 南b 北 圭 2北 图1 图2 (I)求∠BAD的度数. 3 4 3 (②求表AC的长（最后结果精确到0.1米），（参考数据：sin37°≈兮，cos37°≈行，an37° 5 4/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan84°≈19 例3.(25-26九年级上山东聊城期末)某手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm, BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据： sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 图1 图2 图3 (I)如图2，B、C、D三点共线，支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，且点D距离地面的距离为 82cm,求此时滑动悬杆CD的长； (②)调节支杆BC,悬杆CD,使得悬杆CD=40cm,∠ABC=143°，∠BCD=23°，如图3所示，求此时点D到 地面的高度 例4.(25-26九年级上山东临沂·期末)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是 某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂 直于MN,垂足为H),在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN),EF是可以调节长度的伸缩臂 (旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变口ABCD的形状，以此调节篮板 的高度，但调整过程中四边形ABCD始终是平行四边形)·已知DH=208cm,测得∠GAE=60°时，点C 离地面的高度为288cm,调节伸缩臂EF,将∠GAE由60°调节为45°，判断点C离地面的高度升高还是降 低了？升高（或降低）了多少？（结果保留根号） [B 篮板 D伸缩臂 H 地面miK 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 模型解读 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 A 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE;如图3，BC+CE=BE; 如图4，AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE。 模型运用 例1.（25-26九年级上·山东青岛·期末)钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱.如图，一人 坐在坡度为8：15的河堤上垂钓，坡面距离AM=1.7m·.AB是一根长为10m的鱼竿，与水平方向的夹角为 53°，鱼线BC垂直于水面.当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点B到达了点B位置，鱼竿与水平方向的夹角变为 4 4 30°.在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面.(sin53°≈ ，5322，am53一其> 3 B N (1)求鱼线BC的长度： (2)鱼上钩时，鱼线变短了米 例2.(25-26九年级上·山东泰安·期末)如图是某种云梯车的示意图，云梯0D升起时，0D与底盘0C夹 角为a,液压杆AB与底盘0C夹角为B.已知液压杆AB=3米，∠BEA=90°，当a=36°，B=57°时.（结 果精确到0.01米)（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54 ,tan57°≈1.54) 6/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B B入ax E A 图1 图2 (I)求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长： (2)求A0的长。 例3.(25-26九年级上·山东青岛期末)小明班的数学课外活动小组进行校外研学活动，他们准备测量某 建筑物AB的高度.如图，先将无人机升至距离地面垂直高度为25米的点C处，测得建筑物最高点A的仰 角为21°，再将无人机上升15米到达点C的正上方点D处，此时测得建筑物最低点B的俯角为42°，已知点 A,B,C,D在同一平面内，求建筑物AB的高度（结果精确到0.1米）· (参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) 420D 210 B 例4.(25-26九年级上山东济宁.期末)【问题情境】 孟庙有一处著名景观“寿龟卧柏”：在康熙御碑西南侧的柏树上长出一个树瘤，因其形态神似寿龟向上攀爬而 得名.某学校教师带领学生到孟庙进行项目式学习，指导学生使用手机上的某款测量仪APP进行测量活动， 并了解该测量仪APP的数学原理. 【问题提出】 以下是该测量仪APP的测量树瘤高度h的步骤： 第一步：站直身体，将手机放于眼晴前方，将物体全貌（树干上从根部到树瘤的部分BC)包含于镜头内， 并输入身高值，目的在于用身高作为镜头高度h(h<h,)的近似值； 第二步：保持手机高度不变，倾斜手机，使手机对准物体底部（柏树根部C),按下拍摄按钮，APP会记 录此时镜头视线和水平视线的夹角； 第三步：保持手机高度不变，倾斜手机，使手机对准物体顶部（树瘤B),按下拍摄按钮，APP会记录此 时镜头视线和水平视线的夹角阝. 7/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经过以上三步操作，该测量仪APP会自动给出树瘤高度h的值，请据此分析并解决下面的问题. 【问题解决】 (1)请推导该测量仪APP测量树瘤高度的数学原理：用含h,α和B的式子表示树瘤的高度h: (2)若输入身高值h为180cm,俯角a=10°，仰角B=3°，请计算树瘤高度h(tan10°≈0.18，tan3°≈0.05). (3)在前两问求出树瘤高度h,的基础上，教师继续引导学生使用该测量仪APP测量树瘤与柏树顶部之间的 距离h,学生所站的位置不变，第一步输入的身高仍为h(h<h),在第二步操作时将手机对准树瘤B,得到 镜头视线和水平视线的夹角B,在第三步操作时将手机对准柏树顶部E,得出镜头视线和水平视线的夹角” ,经过以上三步操作，该测量仪APP会自动给出树瘤与柏树顶部之间的距离的值，请推导得出该测量仪 APP的测量树瘤与柏树顶部之间距离h的数学原理：用含h,,B和Y的式子表示树瘤与柏树顶部之间的距 离h. 【问题反思】 (4)由于(3)中测量h的数学原理与(1)中测量h的数学原理不同，所以使用该测量仪APP测量物体高 度前，需要使用者在“物体落地”或“物体不落地”两种模式中进行选择，这是运用了什么数学思想？ E ，树顶 树瘤 手机 学生 2 树根 图1 图2 习题练模型 一、单选题 1.如图①是门锁的局部图，如图②是其示意图，门把手OA为10cm,点0到门框I的距离为2cm,且 OA11.当握住门把手顺时针旋转60°时，点A到达点B的位置，此时点B到门框的距离为()Cm 8/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② A.5 B.6 C.7 D.8 2.如图，一根2m长的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度α为45°，当竹竿沿着墙向下滑到4'的 位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度a为30°，则竹竿向外滑动的距离BB'的长度为() A 入0≥ B B' A.0.5m B.（5-2)m c.（2-1m D.(V3-1)m 3.如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发后，一段时间后，甲步行米到达点C,乙步行n米到达点B, 若坡角为a,则甲、乙两人的水平距离BD可以表示为() z n B D a A.(m-n)cosa米 B.(m-n)sina米 C.m-”米 D.m-”米 cosa sina 4.如图，三个长度相同的梯子在墙面MN的同侧，它们依次以倾斜15°的方式斜靠在一起，现测量得DF的 长度为2√3-2)米，则梯子的长度为()米. 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A E N B D A.2W5 B.6 C.26 D.32 5.如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km,一艘货轮D在岛A 的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DC=BD,则am∠ACB的值是（参考数据： 2 sin370 ,c0s37 ,ian37e3)）（) 4 北 D 37° A C 5 7 B. 1 A.21 21 D. 1 二、填空题 6.为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练.如图，消防车的云梯OB可以绕点O转动，且可伸 缩，O离地面的距离0A=2米，当云梯顶部B在大楼所在直线CD上时，O离大楼的距离OE=5米， ∠BOE=60°，此时顶端B离地面的距离BD= 米.（结果保留根号） B可 口00 口00 000 D 7.如图，斜坡CD部分的坡角为45°，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角 为60°时，大树在斜坡上的影子BM长为10米，则大树AB的高为米（结果保留根号）. 10/13