专题12 相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦相似三角形三大核心模型，一线三等角模型含同侧、异侧及变异型，手拉手模型涵盖任意三角形与直角三角形，十字架模型包含等腰直角与一般直角三角形情形，通过“模型条件-结论推导-证明思路-真题示例”四步教学，系统梳理考点内在联系，助力学生突破相似证明与计算难点。 亮点在于以核心素养为导向，如一线三等角模型分类培养几何直观，手拉手旋转相似训练推理能力，十字架“知二得五”结论强化模型意识。设计分层例题与选择、填空、解答题训练，配合5分钟模型识别速练，帮助学生高效掌握中考高频题型，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十 字架模型 目录导航 月录 例题讲模型 .1 模型1.相似模型之一线三等角模型 模型2.相似模型之手拉手模型 8 模型3.相似模型之十字架模型 19 习题练模型 .29 例题讲模型 模型1.相似模型之一线三等角模型 模型解读 1) 线三等角模型（同侧型） (锐角型) (直角型) (钝角型) 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2 ∴.∠C=∠DEB,.∠1=∠3，∴.△ACE∽△BED。 2)一线三等角模型（异侧型) 1/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 Q 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ADE∽△BEC 证明：，∠1=∠2，∴.∠CBE=∠EAD(等角的补角相等)，.∠C=∠DEB,,∠1=∠3。 ,∠2=∠C+∠CEB(外角定理)，∠3=∠DEA+∠CEB,∠2=∠3.∴.∠C=∠DEA,.△ADE∽△BEC. 3)一线三等角模型（变异型) 图1 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2=∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2，.∠C-∠DEB,∠1=∠3，.△ACE∽△BED。 AE_CE,C为AB的中点，AE=EB,.BE-_CE,BE_BD,:∠2=∠3，△BED∽△ECD BD ED BD ED CE ED ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB 证明：，∠ABD=∠AFE=90°，.∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF-90°，∴.∠CBF=∠A, ,∠ABD=∠BDE=90°，△ABC∽△BDE,,∠ABD=∠AFE=90°，∴.∠ABC=∠BFC-90°， ∴.△ABC∽△BFC,同理可证：△ABC∽△AFB,故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NWCM. 证明：，∠ABD=∠ACE=90°，.∠ABM=∠MCN=90°， ,'∠AMB=∠NMMC(对顶角相等)∴.△ABM∽△NCM.同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型运用 例1.(25-26九年级上山东济南期末)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点， EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N. 2/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E N B M (I)求证：△ABMn△EFA; (②)若AB=6,BM=2,求AE的长. 例2.(25-26九年级上山东青岛期中)已知：如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC 上，∠ADE=60°. A 60 B D (I)求证：△ABD∽△DCE; 2)如果AB=3,EC=,且DC>BD,求DC的长 例3.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，MN⊥AM,MN交CD于点N. D B M (1)求证： ABM∽MCN; (2)若AB=8,BM=4,求DN的长. 例4.【问题提出】 (I)如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为直角边在AB上方作RtAACE和RtaBCF, ∠ECF:∠CAE=∠CBF=90°，若4C=2,BF=3,求CS的值； CF 【问题探究】 3/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，连接BD,过点D作DE⊥BD,且 DE=BD,连接AE、CE,求证：AE⊥CE; 【问题解决】 (3)如图3，正方形ABCD是某公园的一片空地，现对其进行规划，在AB边上的点E处设立入口，沿CE 修一条小路，在△BCE区域种植郁金香，在CE的中点F处修一座观景台，沿BF修一条小路，再从F修一 条与小路BF垂直且相等的小路FG(FG与BF在CE异侧)，在CG、GE与CE围成的△CEG区域种植牡丹 花.已知AD=CG=200m,求点B到入口E的距离BE.(小路的宽度与观景台的大小忽略不计) 图1 图2 图3 模型2.相似模型之手拉手模型 模型解读 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的图 形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1)两个三角形相似；2)这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个 三角形可以重合；3)图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 模型证明 1)手拉手相似模型（任意三角形） 条件：如图，∠BAC=∠DAE=Q,AD=AB =k; AE AC 结论：△ADEn△ABC,△ABD∽△4CE;BD =k;∠BFC=∠BAC C 证明：：AD=AE=k,AD=AE,:∠BAC=∠DAE=a,△4DEn△ABC, AB AC AB AC 4/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BAC=∠DAE=I,∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴.∠BAD=∠CAE, :AD=4B=k,△ABD∽△4CE,BD=AB=k,∠ABD=∠ACE,,∠BFC=∠BAC=∠DAE=a, AE AC EC AC 2)手拉手相似模型（直角三角形） 条件：如图，LA0B=LC0D=90°，0C-O =k; OD OB 结论：△4OCn△BOD:AC-k,4CLBD,Sm=4BxCD BD 证明：：∠A0B=∠C0D=90°，∴.∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC,∴.∠AOC=∠BOD, :0C=OA=k,△AOC∽△BOD,4C=OA=k,∠OAB=∠OBD, OD OB BD OB 1 .∠AEB=∠AOB=90°，AC⊥BD,SARCD=ABxCD 2 模型运用 例1. (25-26九年级上山东济南期末)如图1，在ABC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,点D,E分别是边 AB、AC的中点，连接DE.现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a(0°<a<I80）,如图2，连 接CE,BD D 图1 图2 图3 ①探究C二的值， BD (2)如图3，当a=90°时，延长CE交BD于点F,求CF的长； (3)在旋转过程中，求△BCD面积的最大值， 例2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点 5/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B旋转一周，连接AE、BE、CD. 图1 图2 图3 ①)猜想： CD的值是_，直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是_； AE (2)探究：直线DE与AF垂直时，求线段CD的长； (3)拓展：取AE的中点M，连接FM,直接写出线段FM长的取值范围. 例3.综合与实践 【问题呈现】 (1)如图1， ABC和ADE都是等边三角形，连接BD,CE,求证：BD=CE, 【类比探究】 (2)如图2， 4BC和ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CB,则BD CE 【拓展提升】 (3)如图3，△ABC∽△ADE,LABC=LADE=90,连接BD,CE,若4B-5 BC 4 ①求2的值： CE ②延长CE交BD于点F,则sin/BFC=- 图1 图2 图3 例4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE∥AB与边AC、BC分别交于点D、E,连接BD, 点F、G、H分别是DE、DB、AB的中点，分别连接FG、GH. 6/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B H 图1 图2 (1)观察、猜想 观察图1，猜想C G=,∠FGH=9 (2)探究、说理 把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不 成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在ABC所在的平面内，把aCDE绕点C自由旋转，当AC=I0、CD=4时，直接写出线段GH的长度的取 值范围 模型3.相似模型之十字架模型 模型解读 1)等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC,AB⊥BC,结论：①D为BC中点，②BF⊥AD,③AF:FC=2:1,④ ∠BDA=∠CDF,⑤∠AFB=∠CFD,⑥∠AEC=135°，⑦AE=V2EC,以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③-⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H,过点A作AG垂直于CH,∴.∠BCH=90°，∴.∠CBH+∠CHB=90 .AB⊥BC,.∠ABC=90°，∴.∠BCH=∠ABC=90°，，BF⊥AD,∴.∠CBH+∠ADB=90°，∴.∠CHB=∠ADB, 7/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB=BC,.△BAD≌△CBH,∴.BD=CH,,D为BC中点，∴.BD=DC=CH,∴AB=2CH, 易证：四边形ABCG为正方形，即AB/CG,∴.△BAF~△HCF,∴AF:CF=BA:HC-2:1 .AB=BC,AB⊥BC,.∠BCA=45°，.∠BCH-90°，.∠BCA=∠GCA=45, .DC=CH,CF=CF,∴.△DCF≌△HCF,∴.∠CHF=∠CDF,∠CFH=∠CFD, ∴.∠BDA=∠CDF,,'∠CFH=∠AFB,∴.∠AFB=∠CFD, 如图2，过点C作CQ垂直于BF,.∠BQC=90°， ,AB⊥BC,∴.∠ABD=∠BQC-90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，·AB=BC,∴.△BAE≌△CBQ, .CQ=BE,AE=BQ,BF⊥AD,CQ⊥BF,易证：△EAF~△QCF,EA:QC=AF:CF=2:1。 4E=B0-BE+E0-CQ+EQ,-CQ-BQ,“△QBC为等腰直角三角形，∴∠QBC-45,QC=5 2 ∴.∠AEC=135°，AE=V2EC。 2)直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB,AB⊥BC,①D为BC中点，②BF⊥AD,③AF:FC-2:2,④∠BDA= ∠CDF,⑤∠AFB=∠CFD,⑥∠AEC=135°，⑦AE=√2EC,以上七个结论中，可知二得五”。（全等+相 似) 证明：不妨把①②作为条件，来证明③-⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证 明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型运用 例1.(24-25九年级下山东菏泽·期中)如图，在ABC中，BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为 BC边的中点，连接PM,PN·求证： 8/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1AB AC=AM AN 2ZANM =ZACB (3)当∠A=60°时，△PMN为等边三角形. 例2.(2024山东威海一模)如图1，∠ABC+∠ADC=90°，BD与AC交于点E. D B 图1 图2 (I)若ABC为等边三角形，则CD,AD2,BD2的数量关系为 ②如图2，若∠B1C=90°，AC=4D,tan∠ABC=了请写出CD,AD2,BD的数量关系，并说明理由. 例3.（24-25八年级下·山东泰安期中)如图所示，ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为BC的中点， CE⊥AD,垂足为E点，CE的延长线交AB于点F. E B (I)求证：CD2=DE·DA: (2)求证：∠DAB=∠EBD; (3若AE=4,DE=3,求 的值. E 例4.某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： M M 图① 图② 图③ 9/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题发现】(I)如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC边上任意一点，连接AM,以AM为边作等 边三角形AMN,连接CN,则∠ABC和∠ACN的数量关系为； 【变式探究】(2)如图②，在等腰三角形ABC中，AB=BC,点M是BC边上任意一点（不含端点B,C, 连接AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使∠AMN=∠ABC,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由； 【解决问题】(3)如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF,点N 为正方形AMEF的中心，连接CW,AB,AE,若正方形ADBC的边长为8，CN=√2，直接写出正方形AMEF 的边长 习题练模型 一、单选题 1.如图，A0B是直角三角形，∠40B=0度，0B=30A,点4在反比例函数y=-3的图像上，若点B在 反比例函数y=的图像上，则k=() A.9 B.-9 C.27 D.-27 2.如图，边长为10的等边ABC中，点D在边AC上，且AD=3,将含30°角的直角三角板∠F=30)绕 直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q,连接PQ,当EF∥PQ时，DQ的长为() 10/15 专题12 相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型 目录 1 模型1.相似模型之一线三等角模型 1 模型2.相似模型之手拉手模型 8 模型3.相似模型之十字架模型 19 29 模型1.相似模型之一线三等角模型 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ∴，， ， 又， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 即， ． 例2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)如果，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识； （1）根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理结合平角的定义可得，进而证得结论； （2）设，则，根据相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理可得：， 解得或（不合题意，舍去） ∴． 例3．如图，在正方形中，为上一点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的综合，正方形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据可知，由与的长度即可求出的长度． 【详解】（1）解：正方形中，， ， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， 在正方形中，，， ， ， ， ． 例4．【问题提出】 （1）如图，点是线段上一点，分别以、为直角边在上方作和，，若，，求的值； 【问题探究】 （2）如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作，且，连接、，求证：； 【问题解决】 （3）如图，正方形是某公园的一片空地，现对其进行规划，在边上的点处设立入口，沿修一条小路，在区域种植郁金香，在的中点处修一座观景台，沿修一条小路，再从修一条与小路垂直且相等的小路（与在异侧），在、与围成的区域种植牡丹花．已知，求点到入口的距离．（小路的宽度与观景台的大小忽略不计） 【答案】（）；（）见解析；（）． 【分析】（）根据同角的余角相等得出，然后证明，再通过相似三角形的性质即可求解； （）通过直角三角形的性质可得，又，则，故有，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）由正方形的性质可得，然后证明，所以，由（）可知，以点为圆心，为半径作圆，则点、、、均在上，所以，则，过点作分别交、于点、，则四边形是矩形，所以，，，再由，，则，同理得到，然后由，得，求出即可． 【详解】（）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）证明：∵，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴； （）解：由（）可知，则是直角三角形， ∵四边形是正方形，， ∴， 在和Rt中，，， ∴， ∴， 由（）可知，以点为圆心，为半径作圆， 则点、、、均在上， ∴， ∴， 过点作分别交、于点、， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理得到， ∵， 解得， ∴点到入口的距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 模型2.相似模型之手拉手模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图1，在中，，点分别是边、的中点，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，． (1)探究的值； (2)如图3，当时，延长交于点，求的长； (3)在旋转过程中，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据中点的意义得出，，从而可得，再根据旋转的性质得出，从而可证得，进而可求出； （2）先说明，再根据（1）得：，可得出，再结合，可得出，从而可证得，于是有，再根据等面积法可得：，然后利用勾股定理求得，代入，从而可求得； （3）过作于点，中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，从而可得出当点在的高所在的直线时，的面积取得最大值，再利用勾股定理求得，从而可根据面积法求得，再根据求得，从而可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，E是边，的中点， ∴，， ∴， 将绕点顺时针方向旋转，旋转角为， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，延长交于点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由等面积法可得：， ∵，，， ∴； （3）解：过作于点， 中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点在的高所在的直线时，的面积取得最大值，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为： ． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，根据旋转的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，用勾股定理解三角形，面积问题(旋转综合题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 例2．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）证明，相似比为，可以看做绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出长，即可求出； （3）延长到G使得，连接，，则为等腰直角三角形，求出，证明，根据三角形三边关系求出取值范围，问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形， ∴，，， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴当时，、、三点在一直线上时， 在中，∵， ∴， 如图2，当点在线段上时， ， ∴； 如图3，当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上所述，当时，线段的长为或； （3）解：延长到G使得，连接，， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵M为中点，F为中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 例3．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例4．如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 模型3.相似模型之十字架模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．求证： (1)； (2)； (3)当时，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解； （2）证明四点共圆，得到，等量代换得到； （3）首先求出，然后由圆周角定理得到，然后证明出，即可得到为等边三角形． 【详解】（1）在与中， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， （2）∵于点，于点， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∵ ∴； （3）∵， ∴ ∵四点共圆， ∴ ∵于点，于点，为边的中点， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 例2．（2024·山东威海·一模）如图1，，与交于点E．    (1)若为等边三角形，则，，的数量关系为________． (2)如图2，若，，，请写出，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）将绕点A逆时针选择得到，连接，，证明是等边三角形，得出，，利用证明，得出，证明，利用勾股定理可得出，即可求解； （2）过A作，过D作，两线相交于点F，连接，证明，得出，证明得出，在中，利用勾股定理得到，在中，利用勾股定理得到，然后代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解∶ 理由∶将绕点A逆时针旋转得到，连接，，    则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴； （2）解： 理由：过A作，过D作，两线相交于点F，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 例3．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）由为的中点，得到，得到，根据相似三角形的性质得到； （3）过作于，由，，，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 例4．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： 【问题发现】（1）如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC边上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ABC和∠ACN的数量关系为　 　； 【变式探究】（2）如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点M是BC边上任意一点（不含端点B，C，连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，AB，AE，若正方形ADBC的边长为8，CN＝，直接写出正方形AMEF的边长． 【答案】（1） ；（2），理由见解析；（3）10 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，证明△ABM≌△ACN，根据全等三角形的性质得到答案； （2）证明△ABC∽△AMN．得到，再证明△ABM∽△ACN，根据相似三角形的性质证明结论； （3）证明△ABM～△ACN，根据相似三角形的性质求出BM，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵△ABC与△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， 在△ABM与△ACN中， , ∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACN， 故答案为：∠ABC＝∠ACN； （2）∠ABC＝∠ACN， 理由如下：∵AB＝BC，AM＝MN， ∴, ∴ ，又∠ABC＝∠AMN， ∴△ABC∽△AMN． ∴, ∵∠BAC＝∠MAN， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△ABM∽△ACN， ∴∠ABC＝∠ACN； （3）∵四边形ADBC，AMEF为正方形， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠MAN＝45°， ∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN， ∵, ∴, 又∠BAM＝∠CAN， ∴△ABM∽△ACN， ∴，即, ∴BM＝2， ∴CM＝6， 在Rt△AMC，AC＝8，CM＝6， , 答：正方形AMEF的边长为10． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 一、单选题 1．如图，是直角三角形，度，，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则（    ） A．9 B． C．27 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，即可得出结果． 【详解】解：作轴，轴，则， ∵度， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限内， ∴； 故选C． 2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，，过点作于点，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 3．如图，在边长为12的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键．由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【详解】解：如图1，过点作，交于点， ∵在正方形中， ∴，，，， ∴、是等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴，故结论②正确； ∴，即是等腰三角形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故结论①正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确， 过点作，如图2； 设，由可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， ∵，， ∴不一定等于，， ∴ 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选C． 二、填空题 5．如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，掌握手拉手的相似模型是解题的关键． 以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，根据等腰三角形的性质，求得，再证，利用边角关系证，求得，最后利用三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，   ， ， ， ， ， ， ，， ，，即， ， ， ， 根据三角形三边关系可知， 故当三点共线时，最长，最长为． 故答案为：． 6．如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】①取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；②根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 7．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF， 根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求． 【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH， ∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称， ∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF， ∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°， ∴∠DFB= ∠CEF， 又∠B=∠C= 60°， ∴△BDF∽△CFE， ∴ ， 即 ， 设CF= x(x > 0)， ∵BF=4CF， ∴BF= 4x， ∵BD=3， ∴， ∵， ∴，， ∵△BDF∽△CFE， ∴， ∴ 解得：x=2， ∴CF=4， ∴BC=5x=10， ∵在Rt△ABL中，∠B=60°， ∴AL=ABsin60°=10×=5， ∴S△ABC=， ∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°， ∴DH=BDsin60°=， ∴S△BDF=， ∵△BDF∽△CFE， ∴， ∵S△BDF=， ∴S△CEF=， 又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴， ∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF， ∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF =， ∴． 故答案为:． 【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半． 三、解答题 8．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 9．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 10．（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 11．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 12．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 13．在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）解：①证明：四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $