专题09 全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦全等三角形三大核心模型，一线三等角模型、手拉手模型与正方形十字架型，按“模型特征-证明思路-例题解析”系统架构，通过考点梳理建立知识联系，方法指导突破推理难点，真题训练强化应用能力，实现复习的系统性与针对性。 亮点在于“模型归类+素养融合”教学策略，如对比一线三等角同侧与异侧模型培养几何直观，手拉手模型证明过程渗透推理意识。设计分层例题与限时测试，帮助学生快速掌握模型应用技巧，提升解题效率，为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生中考应考能力。

专题09 全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型与十字架模型 目录 1 模型1.全等模型之一线三等角模型 1 模型2.全等模型之手拉手模型 13 模型3.全等模型之正方形中的十字架型 21 31 模型1.全等模型之一线三等角模型 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠C=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴△ABE≌△EDC， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．已知为等腰三角形，，直线过点（不经过点），过点作于点，过点作于点． (1)如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，若点位于直线的两侧， ①（1）的结论是否还能成立，请说明理由； ②设与交于点，当时，判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）①仍然根据“”证明即可得出结论； ②根据全等三角形的性质以及题意证明，进而得出，则结论可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）（2）①成立， 同理可得， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三等角”模型证明全等是解本题的关键． 例2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，得到，，即可得到、、之间的数量关系； （2）过D作交的延长线于点F，证明，得到，，进而得到，即可证明； （3）作交于，作交于，证明，得到，进而得到，则，根据得到，得到关于的一元一次方程，求出，进而可求出秋千悬挂处O与地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，作交于，作交于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：米． 例3．（25-26八年级上·山东滨州·月考）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质： （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，再证出即可． 【详解】解：（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）如图2所示： 在中，， ， 于点点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ， ， ∵直线直线于点， 在和中，， ， 例4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 【答案】（1）8；（2）；（3）①证明见解析，②5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）①如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，即可证明；根据全等三角形的性质得到，再由求解． 【详解】（1）解：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）解：如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； （3）①证明：如图3，∵过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴； ②解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 模型2.全等模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，且，，则，，而，则，再证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，所以． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于， ，，且，， ，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积是8． 故答案为：8 例2．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键．根据条件证即可求解． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质及角的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， 在与中， ． （2），理由如下： 设交于点O， 由（1）得， ， ， ， ． 例3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 例4．（24-25七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 如图3，点D是等边外一点，若，，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）根据得，再根据，可依据判定得，，再根据三角形内角和定理得，由此即可得出与的数量关系及位置关系； （2）根据等腰直角三角形性质得，，，，进而可依据判定得，由此即可得出，，之间的数量关系； （3）以为边，构造等边三角形，连接，过点B作，交的延长线于点F，易得为等腰直角三角形，进而求出，的长，勾股定理求出的长，同（1）法可得：，得到，即可得解． 【详解】（1）解：与的数量关系为：，位置关系为：，理由如下： 设与相交于点F，交于点H，如图1所示： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：，，之间的数量关系：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以为边，构造等边，连接，过点B 作，交的延长线于点F， 则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即 ∴， ∴． 模型3.全等模型之正方形中的十字架型 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 例1．（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，正方形中，点在边上（不与重合），点在边上（不与重合）且满足，连结并交于点．线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，正方形中，点在边上（不与重合），点在边上（不与重合）且满足，连接交于点，分别取线段，的中点和，连接，请猜想线段与满足的关系，并证明： （3）如图3，在边长为8的正方形中，是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点的延长线交于点．若，求的长． 【答案】（1）相等，垂直；（2）线段与满足的关系是相等且垂直，证明见解析；（3） 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质即可得到线段与的数量关系是，再由，，即可得到线段与的位置关系； （2）证明，得出，证出，，，，则可得出结论； （3）连接，证出，同（2）理可证，得出，设，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）线段与足的数量关系是相等，位置关系是垂直；理由如下： 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：相等，垂直； （2）线段与满足的关系是相等且垂直． 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在正方形中，与互相平分， 是的中点， 又分别是的中点． ，， ； （3）连接， 折叠， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 同（2）理可证，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，分母有理化等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例2．【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，E，F，G分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交于点M、N、H．求： ①的度数： ②的值． 【答案】（1）见解析（2）（3）， 【分析】（1）作交于点，证即可得证； （2）将线段平移至处，连接，过点作，设正方形网格的边长为单位1，分别求出即可求解； （3）①平移线段至处，连接，证即可求解．②证明，根据相似三角形的面积比等于相似比，进行求解即可． 【详解】（1）证明：作交于点，如图：   四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：将线段平移至处，连接，过点作，如图所示： ， 设正方形网格的边长为单位1， 由勾股定理可得：，，， ， ， ∴， ； （3）解：①平移线段至处，连接，如图3所示：    则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ，， ， ， ， ； ②如图： ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、求角度的正切值，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握平移的方法，构造特殊图形和全等三角形是解决此题的关键． 例3．【阅读与思考】如图，在正方形中中，，，分别是，，上的点，于点，那么证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ∴，，， ， ， （依据）， ， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______ ； 【问题解决】：如图，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点则为______ ； 【拓展延伸】：如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，求的度数． 【答案】，，， 【分析】材料探究：由证明过程可知，≌的依据是全等三角形的判定定理“”； 问题解决：设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； 拓展延伸：作交于点，连接，可证明≌，得，，即可证明，则． 【详解】解：由证明过程可知，≌的条件是： ， 推理的依据是全等三角形的判定定理“”， 故答案为：； 如图， 设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得， ， ， ，， 是等腰直角三角形，且， ， 由平移得， ∴， 故答案为：； 如图，四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， 点在上， 作交于点，连接， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵在平行四边形中，， ． 【点睛】此题重点考查平移的性质、平行线的性质、平行四边形的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 一、单选题 1．如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．根据证明，设，则：，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，又是正三角形，可得，得出，再由，，可得，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 故正确，该选项不符合题意； 是正三角形， ， ， ， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且， 故正确，该选项不符合题意； 又是正三角形， ， ， 故D正确，该选项不符合题意； ，， ， 故C错误，该选项符合题意； 故选：C． 2．在和中，，，，，连接，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④平分．则一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得到，②正确；作于点M，于点N，，由全等三角形对应边上的高相等得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，证明出，得到，从而证明，与已知矛盾，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； 设与交于点E， ∵，， 又∵， ∴，故②正确； 作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∴平分，故④正确； ∴， ∵， ∴， 即， 假设平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 这与矛盾，故③错误； 正确的有①②④． 故选：B． 3．如图，在和中，，，连接，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记，的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④符合题意． 【详解】解：， ， ， ，， ， ，故①符合题意； ， 如图，记，的交点为， ， ，故③符合题意； 在上可以是个动点，仍然满足中，， 不一定等于，故②不符合题意； 如图，作于，作于． ， 由全等三角形的对应高相等可得：， ，， ， ， 平分， 故④符合题意； 故选：B． 二、填空题 4．如图，为的直径，，点为圆上一点，点为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为点，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出和求出的长．根据垂径定理求出，根据勾股定理求得，证，推出，即可求出答案． 【详解】点为的中点， ，， ， ， ， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 5．如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，证明得出是解题关键. 先证明，从而可得，再利用面积法求出斜边的高，从而可得，在中，利用勾股定理即可求出. 【详解】解：∵边长为3的正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴. 故答案为. 6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，可求出的长度，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形 ∴ ∵ ∴，   在和中： ∴， ∴， ∴，即， 解得， (舍去)， ∴． 故答案为：． 7．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 8．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． （1）当时，为 三角形； （2）当 时，是等腰三角形． 【答案】 直角 或或 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，根据可证明，利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）和是等边三角形， ， ，，， ， ， 在和中， ， ； ， ，， ， 是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：，，，， ①要使，需， ， ； ②要使，需， ， ； ③要使，需， ， ． 所以，当为或或时，是等腰三角形， 故答案为：或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键． 三、解答题 9．如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边对等角是解题的关键． 10．如图，在中，，，过点作直线． (1)如图1，当点，位于直线的同侧时，过点作于点，过点作于点，与全等吗？请说明理由； (2)如图2，当点，位于直线的异侧时，过点作于点，过点作于点，试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由，得，证得，根据等角的余角相等得到，根据可证明； （2）证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 于D，于N，（已知）， （垂直定义）， （三角形内角和定理）， ，（已知） ，（平角定义） ，（同角的余角相等） 在和中， ， ． （2）； 理由：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角的性质等知识点，熟练证明三角形全等是解题的关键． 11．已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上． (1)如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． (2)如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离． 【答案】(1)①，，证明见解析；②证明见解析 (2)点到边的距离为 【分析】（1）①根据题意证明，得，，由等腰直角三角形的性质得到，则，由此即可求解； ②由等腰直角三角形，勾股定理得到，，结合，等量代换即可求解； （2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质，结合（1）中的②得到，则，，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：①，， 证明：、都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ； 即，． ②证明：是等腰直角三角形，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， ； （2）解：过点作于， 由②知，， ， ，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ，， ，即， ，即点到边的距离为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求三角形的高等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 12．综合与实践 【问题提出】 （1）如图1，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交于点H．若，点H为的中点，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在矩形中，，，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交直线于点H．当时，求的长 【答案】（1）见详解，（2），（3）的长 【分析】（1）正方形的性质得，结合垂直得，可得，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得，则有，结合正方形的性质得，有，即可得，则，设，则，利用勾股定理得，即可求得； （3）可证明，则，设，则，当时，由（2）得，得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：∵， ， 点H为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ； （3）∵四边形为矩形形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ， ∵，， ∴， 设，则， 如图（3），当时， 则由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 则； 【点睛】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和三角形的性质． 13．综合与实践 【了解定义】 如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】 （1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】 （3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 【答案】（1）与是正方形的等垂线段，理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中定义是解答的关键． （1）过点作分别交，于点，，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，则，根据等垂线段定义可得结论； （2）过点D作于点N，交于点M，由（1）知．根据等角对等边得到．证明得到，则，进而可得，，根据等垂线段可得结论； （3）过点G作于M，则有，根据等垂线段可得．证明可得．设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可解答． 【详解】解：（1）与是正方形的等垂线段 理由：过点作分别交，于点，， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴与是正方形的等垂线段． （2）证明：过点D作于点N，交于点M， ∴由（1）知． ∵， ∴． ∴． ∴． 即． ∵四边形为正方形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴与是正方形的等垂线段； （3）解：过点G作于M，则有， ∵，为正方形的等垂线段， ∴． ∵在正方形中，有，， ∴， ∴， ∴． ∵，F是中点， ∴． 设，则，， 在中，， ． 即． （负值已舍去）． 即的长为． 14．【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）． （1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整） 【类比探究】 （2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小； （4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案． 【答案】（1）相等，垂直（2）成立，证明见解析（3），（4）或 【分析】（1）和交于点O，和交于点T，证明即可； （2）仍成立．延长交于点S，证明方法同（1）； （3）连接，，和交于点W，利用，证明，问题得解； （4）分情况讨论，当点E在线段上时，连接，根据结论，，可得，且在中，，即可，解方程即可求解；当点G在线段上时，连接，同理可求． 【详解】（1）线段和的数量关系是相等；直线和位置关系是垂直， 如图，和交于点O，和交于点T， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：相等，垂直； （2）仍成立．理由如下： 延长交于点S， 由条件可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由“8字型”可知，， ∴； （3）连接，，和交于点W， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即为定值，定值为，； （4）当点E在线段上时，连接，如图， ∵正方形和正方形，，， ∴，， ∵，， ∴，且在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； 当点G在线段上时，连接，如图， 则有， ∵， ∴， 同理解得：（负值舍去）， 综上：的长度为或者． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程等知识，正确画出图形，理解旋转的性质是解答本题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型与十 字架模型 目录导航 月录 例题讲模型 .1 模型1.全等模型之一线三等角模型 模型2.全等模型之手拉手模型 13 模型3.全等模型之正方形中的十字架型 …21 习题练模型 31 例题讲模型 模型1.全等模型之一线三等角模型 模型解读 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角(“K型图”) 钝角一线三等角 E 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE; 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 1/17 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 条件：∠DCF=∠ABC=∠AED,AE=DE;结论：△ABE兰△ECD,AB-CD=BC。 1)(同侧型)证明：：∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠C=∠AED,∴.∠AEC=∠AED+∠BAE, ,∠AEC=∠AEDH∠CED,∴.∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE=∠CED,AE-ED;∴.△ABE≌△EDC, ∴.AB=EC,BE=CD,BC=BE+EC,∴AB+CD=BC。 2)(异侧型)证明：，∠DCF=∠ABC,∠ECD=∠ABE, ,'∠ABC=LAEB+LA,∠AED=∠AEB+∠CED,LABC=LAED, ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,.∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECD=∠ABE,AE=ED;∴·△ABE兰△ECD, ∴.AB=EC,BE=CD,,BC-EC-BE,∴AB-CD=BC。 模型运用 例1.己知ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，直线DE过点C(不经过点A,B),过点A作AD⊥DE于 点D,过点B作BE⊥DE于点E. (I)如图1，当点A,B位于直线DE的同侧时，判断AD与CE的大小关系，并说明理由； D E 图1 (2)如图2，若点A,B位于直线DE的两侧， 2/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 图2 ①(1)的结论是否还能成立，请说明理由； ②设DE与AB交于点F,当∠EBF=22.5°时，判断BE与DF是否相等，并说明理由. 例2.(25-26七年级上山东泰安期中)像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我 们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索.请结合以上 阅读，解决下列问题： E B 图1 图2 图3 (I)如图2，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,过点A作直线AE,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E, 探索BD、DE、CE之间的数量关系，并证明你的结论 (2)如图3，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC,AE=DE,且点E在 BC上，连接BD,求证：LABD=90°. (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用 力一蹬，妈妈在距地面1.2m的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m的C处接住她.若妈妈与爸爸水 平距离DE为3.1m,∠B0C=90°，则秋千悬挂处O与地面的距离为.（不必书写解题过程）. B(-A D 7777777777 图4 例3.(25-26八年级上·山东滨州月考)“一线三垂直模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的 度数为90°，且三组边相互垂直，∴.称为一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定 存在全等三角形. 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B 图1 图2 图3 【模型呈现】 (1)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, 猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 (2)如图2，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点D,过点B 作BE⊥CE于点E,AD=1O,BE=4,则DE的长为· 【深入探究】 (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交 于点G.求证：DG=GE. 例4.(24-25八年级上·山东烟台期末)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型. 【模型初识】如图1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD⊥直线1于点D, CE⊥直线1于点E.易证：△ABD≌△CAE. (1)如图1，若BD=3,CE=5,则DE=: 【模型应用】 (2)如图2，平面直角坐标系中，∠A0B=90°，0A=0B,点B的坐标为1,2)，则点A的坐标为 【模型拓展】 (3)如图3，以ABC的边AB,AC向外分别作正方形ABDE和正方形ACFG,则LBAE=∠CAG=90°， AE=AB,AG=AC,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点L. ①过点E作EM⊥HI于点M,过点G作GN⊥HI于点N,试说明EM=GN; ②若BH=4,CH=6,请求出A的长. 4/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 图1 图2 图3 模型2.全等模型之手拉手模型 模型解读 1)双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠AFM=∠BCM=6O°；④CF平分∠BFD。 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD-60° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，∠CMB=∠AMF,∴.∠AFM=∠BCM-60°， 过点C作CP LAD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠ANMM=∠BCM=90°：④CN平分∠BND。 5/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD-90° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，∠CMB=∠AMN,∴.∠AMM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠COB=∠CPA=90°，又，'∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 D A 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠BCM=∠AFM;④CF平分∠BFD。 证明：，∠BCA=∠ECD,.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又，BC-AC,CE=CD,.△ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD,∠CBE-∠CAD, 又，'∠CMB=∠AMF,∴.∠BCM=∠AFM,过点C作CP LAD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) '.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4)双正方形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG,ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE;②BG=DE;③∠BCM=∠DNMM-90°；④CN平分∠BNE。 证明： ,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴.BC-CD,CE-CG,∠BCD=∠ECG-90 ∴.∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG,即∠BCG=∠DCE,∴.△BCG≌△DCE(SAS), '.BG=DE,∠CBG=∠CDE,又.'∠CMB=∠DMN,∴.∠BCM=∠DNM=90°， 6/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点C作CP LDE,CO LBG,则∠CPD=∠CPB=90°，又·∠CBG-∠CDE,BC-DC,∴.△BCQ≌△DCP(AAS ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CW平分∠BND。 模型运用 例1.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O,设E、F分别是AD、AB上的点， 若∠E0F=90°，D0=4,则四边形AE0F的面积是 B 例2.如图，大小不同的两块三角板ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC=BC,DC=EC，,连 接AE、BD,点A恰好在线段BD上 (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (②)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由. 例3.(24-25七年级上山东淄博期中)如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,LBAC=∠DAE ,点D在BC上，连接CE. D C (I)△ABD≌△ACE吗？请说明理由； (2)若DF⊥AC,点F在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长. 7/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4.(24-25七年级下山东济南·期末)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型： 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查 询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 图1 图2 图3 (1)观察猜想 如图1，在ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE, ∠BAD=∠CAE=90°，连接BE,CD,则BE与CD的数量关系为-，位置关系为- (2)类比探究 如图2，在ABC中，分别以AB,AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,∠BAD=∠CAE=90°， 点D,E,C在同一直线上，AM为△ACE中CE边上的高，猜想DC,BC,AM之间的数量关系并说明理 由； (3)解决问题 如图3，点D是等边ABC外一点，若AD=3,BD=4V2,LADB=75°，求线段CD的长. 模型3.全等模型之正方形中的十字架型 模型解读 条件：1)如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF;结论：AE=BF。 证明：：四边形ABCD是正方形，：∠ABE=LC=90°，AB=BC,∴.∠BFC+∠CBF=90° :AE⊥BF,∴.∠AEB+∠CBF=90°，∠AEB=∠BFC,.△ABE≌△BCF(SAS,∴AE=BF。 条件：2)如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF;结论：AE=GE 8/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：在FC上取一点P,使得GB=PF,连结BP。 :四边形ABCD是正方形，∴AB//CD,∴.四边形BPFG是平行四边形，∴.GF/BP,GF=BP, 同1)中证明，可得AE=GF。 条件：3)如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF; 结论：HEGF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q,使得GB=PF,AH=OE,连结BP、AQ。 :四边形ABCD是正方形，∴.AB/CD,∴.四边形BPFG是平行四边形，.GFBP,GF=BP, 同理可证得：四边形AQEH是平行四边形，.AQ/HF,AQ=HF,同1)中证明，可得HE-GF。 模型运用 例1.(24-25八年级下山东济南·期末)(1)如图1，正方形ABCD中，点E在边AB上（不与A,B重合）， 点F在边BC上（不与B,C重合）且满足AE=BF,连结AF,DE并交于点G.线段AF与DE的数量关系 是 ，位置关系是 (2)如图2，正方形ABCD中，点E在边AB上（不与A,B重合），点F在边BC上（不与B,C重合）且 满足DE⊥AF,连接AC,BD交于点O,分别取线段BE,CF的中点M和N,连接OM,ON,请猜想线 段OM与ON满足的关系，并证明： (3)如图3，在边长为8的正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接BE,将正方形ABCD沿BE折叠， 使点C的对应点M落在正方形内部，连接CM并延长，交AD边于点F,BM的延长线交AD于点G.若 FG=3DG,求CE的长 9/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GD G M 图1 图2 图3 例2.【问题情境】 (I)如图1，在正方形ABCD中，E,F,G分别是BC,AB,CD上的点，FG⊥AE于点Q.求证：AE=FG 【尝试应用】 (2)如图2，正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点O.求tan ZA0C的值. 【拓展提升】 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF, 连接DE分别交BC、PC、AC于点M、N、H.求： ①∠DMC的度数： ②、业的值。 SAABC D D G H E 0 图1 图2 图3 例3.【阅读与思考】如图1，在正方形中ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,AD上的点，GE⊥BF 于点O,那么GE=BF,证明过程如下： :GE⊥BF于点O, ∠G0B=90°， 过点A作AH∥GE交BC于点H,交BF于点M, ∠AMB=∠G0B=90°， ∴.∠ABM+∠BAM=90°， :四边形ABCD为正方形， 10/17