专题08 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录导航 目录 例题讲模型 模型1截长补短模型. 模型2.倍长中线模型. .7 习题练模型 .,,13 例题讲模型 模型1截长补短模型 模型解读 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB十BD=AC。 证明：法1（截长法）：在线段AC上截取线段AB=AB,连接DB。 ,AD为△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠BAD,,AD=AD,.△ABD≌△ABD(SAS) ∴.∠B=∠ABD,BD=BD,.·∠B=2∠C,.∠ABD=2∠C,.∴.∠ABD=2∠C,.∠BDC=∠C, .BC=B'D,.BD=B'C,:AB+BC=AC,∴AB+BD=AC。 法2（补短法）：延长AB至点C使得AC'=AC,连接BC'。 ,AD为△ABC的角平分线，.∠C'AD=∠CAD,,AD=AD,.△C'AD≌△CAD(SAS) 1/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=∠C,∠B=2∠C,∴.∠B=2∠C',.∠BDC=∠C,∴.BC'=BD, .AB+BC'=AC',:.AB+BD=ACo 模型运用 例1.(2025山东·模拟预测)(1)如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E,F分别在AD, CD边上，∠EBF=45°.为了求出aDEF的周长.小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H,使AH=CF,连接BH,先证△ABH≌aCBF,，再证△EBH≌△EBF,得EF=EH, 从而得到△DEF的周长=_cm: (2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=100°，∠B=∠ADC=90°.E,F分别是线段BC, CD上的点.且∠EAF=5O°.探究图中线段EF,BE，,FD之间的数量关系； (3)如图4，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是线段BC,，CD上的点， 且2∠EAF=∠BAD,(2)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由： (4)若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且 2∠EAF=∠BAD,请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系. 图1 图2 T D D 图3 图4 备用图 例2.(2025山东济南·模拟预测)将下列三幅图中的△ABC的边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段 AD 图1 图2 图3 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【观察猜想】 (I)如图1，将边AC绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接DE,猜想并直接写出BC与DE的数量关 系 【探究证明】 (2)如图2，连接BD,点F在BD上，且满足BC=DF,连接AF,点G为AB上一点，连接DG交AF于 点M,若∠ACB=∠BDG,∠ADB+∠ABC=180°，求证：AM=FM. 【深入研究】 (3)如图3，连接CD,若∠BAD=120°，△ABC是等边三角形，P,Q两点分别在AB，BD上，且满足 ∠PCQ=∠ABD,请探究线段DO,BP,CD之间的数量关系，并证明你的结论， 例3.（2025·山东济宁·三模)当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之 为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形， 相当于构造出两个三角形全等. 【问题初探】 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分别是AB、BC边上的点， 且∠EDF=45°，求出图中线段EF,AE,FC之间的数量关系. 如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间 的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论 【类比分析】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=10,DC=14, CF=8,求BE的长. 【学以致用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上， 且∠EMF=∠B1D.当BC=4,DC=9,CP=2时，求出△CBF的周长. 3/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D· ∠BAD=∠BCD=90° .∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠ABC+∠D=180° .∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠D=∠ABE, 在△ABE和△ADG中， 「AB=AD ∠D=∠ABE BE=DG :.△MBE≌△ADG(SAS) ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠EAF=45°， .∠EAB+∠BAF=∠DAG+∠BAF=45°， ∠BAD=90°， .∠FAG=∠FAE=45°， AE=AG,AF=AF, ∴.△AEF≌aAGF, ..EF=FG, 设BE=x, .BC=10,DC=14,CF=8, ..CE=10+x,CG=14-x,FG=CG+CF=22-x, ∴在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2, :8+10+=(22-, 解得：x=5, .BE=5: 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在DC上取点M,使得DM=BE, B D 与 互补， ∠ABC∠ADC .∠ABC+∠ADC=180°， ,∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 在△ABE和△ADM中， (AB=AD ∠ADC=∠ABE BE=BM ∴.△ABE2△ADM, ∴.AM=AE,∠DAM=∠EAB, ·∠EAF=∠BAE+∠BMF=∠BAD .∠DAM+∠BAF=∠MAF= ∠BAD 2 ∴.∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中， (AE=AM ∠EAF=∠MAF AF=AF ∴.△EAF≌△MAF, ∴.EF=MF MF=FD-DM FD-BE, ∴.EF=FD-BE, C.ECF=CE+EF+CF=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF BC=4,DC=9,CF=2, 5/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :C=BC+CD+2Cf=4+9+4=17 模型2.倍长中线模型 模型解读 1)倍长中线模型（中线型) D E 图1 图2 △ABD兰△ECD 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E,使DE-AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴.BD-CD,'∠BDA=∠CDE,∴.△ABD≌△ECD(SAS) 2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 D B 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，.BD=DC,,'∠BDE=∠CDF,∴.△EDB≌△FDC(SAS) 例1.(25-26八年级上山东德州期末)如图，在△ABC中，∠4CB=120°，BC=4,D为AB的中点， DC⊥BC,则AC的长是 C B 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(2025山东菏泽·三模)(1)方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边 的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再 连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判 断中线AD的取值范围是I<AD<5.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法： (2)探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接 EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明： (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是 ∠BAF的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系，并加以证明. D E 图① 图② 图③ 例3.【基本图形和结论】在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE,使CE∥AB,交AD的延 长线于点E,求证：AD=ED(看会下面思路，不写证明过程) 图① 图② 图③ 思路：根据全等判定方法(AAS)可证△ABD2△ECD (I)【方法应用】如图1，在△ABC中，AB=6,AC=4,则BC边上的中线AD长度的取值范围是 (2)【猜想证明】如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点若AE是∠BAD的平分线，试猜 想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB∥CF 点E是8C的中点，点P在线段上，∠BDF=∠BME,若 BC D (3)【拓展延伸】如图3，已知 AB=5,CF=2,求出线段DF的长 例4.(2025山东青岛·模拟预测)【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6,AC=4,AD是中线，求AD的取值范围. 【构建模型】 她的做法是：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解 决.她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”. 请回答： (1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：-· (2)AD的取值范围是 【模型应用】 (3)如图2，在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠CAD=45°，在AD上取一点E,连接BE，若 BE=AC=4,则“燕尾”四边形AEBC的面积为_： 图1 图2 习题练模型 一、单选题 1.已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=I2,AC=8,则边BC及中线AD的取值范围分别是() A.2<BC<20,4<AD<20 B.4<BC<20,4<AD<20 C.2<BC<10,2<AD<10 D.4<BC<20,2<AD<10 2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，AB=AD,若这个四边形的面积是4，则BC+CD等 8/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于( ) A B C A.2 B.4 C.2 D.42 3.如图所示，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB=∠CAD=90°，AD=2BC=6,AB:BC=5:3, E是BD的中点，则AE的长为() A O E B A.2 B.3 c D.5 二、填空题 4.在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且 ∠BF=BAD,当BC=4,DC=7,CF=1时，△CEF的周长等于_ 5.在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D,BC=AB+AD,则∠ABC=°. 6.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,若 ∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为 9/14 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB=∠CAD=90°，AD=2BC=6,AB:BC=5:3,点 E是BD的中点，则AE的长为一 D E B 8.如图，AP是△ABC的高，∠BAP=a,AD=AC,∠DAC=2a,过点D作DE∥AB交BC于点E.下列四 个结论中： O∠ACB=∠BDE ②当“=45 时，BD⊥BC ③BD=DE ④BC=2BP+BE 所有正确结论的序号是 三、解答题 9.(I)如图①，在△ABC中，D是BC的中点，过点C作直线CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E, 求证：AD=ED.请结合图①写出完整的证明过程. D B 图① 图② 10/14 专题08 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录 1 模型1.截长补短模型 1 模型2.倍长中线模型 7 13 模型1.截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）10；（2）；（3）成立，证明见解析；（4） 【分析】  （1）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． （2）延长到点．使．连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （4）在上截取，使，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，可得结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：10； （2）． 证明：如图2所示，延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）成立． 证明：如图3，延长到，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （4）， 理由如下：在上截取，使， ，， ，且，， ， ，， ∴， ， ，且，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 例2．（2025·山东济南·模拟预测）将下列三幅图中的的边绕其顶点A逆时针旋转α得到线段． 【观察猜想】 （1）如图1，将边绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，猜想并直接写出与的数量关系； 【探究证明】 （2）如图2，连接，点F在上，且满足，连接，点G为上一点，连接交于点M，若，求证：． 【深入研究】 （3）如图3，连接，若，是等边三角形，P，Q两点分别在，上，且满足，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】（1）由旋转的性质证出，根据可证明，从而得出结论； （2）延长到，使，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，证出，，则可得出结论； （3）过点作交于点，过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 边绕其顶点A逆时针旋转得到线段， ， 将边绕点A逆时针旋转α得到线段， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长到，使，连接， 则， ， ， 由旋转可知， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， （3），理由如下： 过点作交于点，过点作交的延长线于点， 是等边三角形，， ∴是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 例3.（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 模型2.倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，D为的中点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是利用倍长中线法构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度． 首先延长到，使，连接，构造，利用全等三角形的性质可求，，从而可得，从而可得：． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 为的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 又， ， 在中，． 故答案为：． 例2．（2025·山东菏泽·三模）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（2），证明见解析（3），证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（2）， 证明：延长至点，使，连接，，如图所示． 同（1）得：， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ． （3）． 证明：如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 例3．【基本图形和结论】在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：（看会下面思路，不写证明过程） 思路：根据全等判定方法（）可证 (1)【方法应用】如图1，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是____________． (2)【猜想证明】如图2，在四边形中，，点是的中点若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】如图3，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，求出线段的长． 【答案】(1) (2)结论：，证明见详解 (3)3 【分析】（1）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （2）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． （3）如图③，延长交的延长线于点，先证明，再证，通过等量代换得到，可得结论． 【详解】（1）解：（1）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解； （3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE， ∵是中线， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）延长至点F，使， 同（1）可证， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“燕尾”四边形的面积为， 故答案为：8． 一、单选题 1．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC， ∵∠DAB＝∠BCD＝90°， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD， ∵∠DAC+∠CAB＝90°， ∴∠BAE+∠CAB＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴△EAC是等腰直角三角形， ∵， ∴AE＝， ∴EC＝4， ∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、面积及等积变换、三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是综合运用以上知识． 3．如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：C． 二、填空题 4．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 5．在中，，平分交边于点，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 6．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过延长线构造全等三角形，得出的长度，结合勾股定理先求出的长度，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 【详解】解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形、平行线的性质，角的和差等，在线段上截取，连接，利用截长补短构建全等三角形是解题的关键． 三、解答题 9．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 10．实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 11．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 12．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）， （3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【详解】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 13．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）13 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $